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1、第四章 杆件基本变形的承载能力,稳定性 构件保持 原有平衡形式的能力,强度 构件抵抗 破坏的能力,刚度 构件抵抗 变形的能力,4.1 承载能力的 有关基本概念,1 承载能力,1999年1月4日，重庆市綦江县彩虹桥发生垮塌，造成40人死亡14人受伤；直接经济损失631万元。,2 变形固体,在载荷和温度等外界因素作用下发生 变形的固体，简称固体。,变形固体的基本假设：,(2)各向同性假设；,(3)小变形假设。,注意：等效力系原则只研究平衡问题时正确，在固体力学中研究变形问题时不不适用。,(1)均匀连续假设；,变形固体：,平衡方程不考虑变形,外力：构件受到其它物体所作用的力，包括载荷和约束反力。,外
2、力的分类：集中力,分布力,均布力,动载荷,静载荷,内力：物体内部的相互作用力。,内力特点：引起变形，传递外力，与外力平衡。,截面法,注意正负,内力的符号以截面法线为参照,附加内力:由于载荷作用引起的内力，简称 内力,一分为二，,去一留一，,平衡求解，,3 外力，内力与应力,应力,内力是合力，连续分布在截面上,全应力,正应力（法向应力）,切应力（剪应力）,应力单位：MPa=106 N/m2=N/mm2,应力的符号也以截面法线为参照,构件各部分相位置的改变,线位移 点的新旧坐标差,角位移 直线或平面旋转的角度,线应变,表示相对伸长或缩短,角应变,弹性变形 卸载时能够消失或恢复的变形,位移,塑性变形
3、 卸载时不能消失或恢复的变形,4 位移,变形与应变,有大小,有方向,有正负,两垂直线段变形后角度的改变,残余变形,5 单元体的应力与变形,单元体基本受力,单向受力,纯剪切受力,单元体基本变形,切应力互等定理,单元体 微元(正六面)体,简单受力下应力应变之间的关系,胡克定律,E（拉压）弹性模量,G 切变（剪切弹性）模量,剪切胡克定律,棱边的伸缩：线应变,棱边夹角的改变：角应变,6 杆件变形的基本形式,拉伸与压缩,扭转,弯曲,剪切,4.2 杆件的拉伸与压缩,1 内力,应力与强度,受力特点：外力的合力与 杆的轴线重合,变形特点：轴线伸长或缩 短,伴随横向 变细或变粗,实验表明轴向拉压时变形均匀，应力
4、分布也均匀,横截面正应力,拉应力,压应力,内力：,与杆轴线重合，称为轴力,轴力符号规则：与截面外法线 方向一致时为正；否则为负。,正的轴力表示拉伸，负的轴力表示压缩,拉压应力分布：,例 4-1 求图示等截面直杆的内力(kN)和 应力(面积 A=400 mm2),同理,解:,轴力图,强度条件,强度条件的应用：,(2)设计截面形状和尺寸,(3)确定载荷,强度以应力作为判据,n:安全因数,:许用应力,(1)校核强度,拉压强度,定性定型定载,例4-2 已知压缩机汽缸直径 D=400mm，气压 q=1.2 MPa，缸盖用 M20 螺栓与汽缸联接，d=18 mm=40 MPa，求：螺栓个数 n。,解：,应
5、取 n=16,(拉),作业:4-5(d)4-64-7,拉压斜截面应力,2 拉压变形与超静定问题,E：弹性模量,拉压胡克定律,横向应变,泊松比（横向变形系数）,拉压胡克定律,例4-4 计算图示变截面杆的轴向变形,已知：F=15kN，l=1m，a=20mm,E=200GPa求：,解：,作轴力图,拉压超静定问题,所有的约束反力(包括内力)能由静力平衡方程确定的结构称为静定结构，未知约束力的个数 m 多于平衡方程个数 f 的结构称为超静定结构或静不定结构。,超静定结构有维持平衡所不需要的约束，称为多余约束。每个多余约束都会产生一个多余约束力，多余约束力的个数就是未知约束力与平衡方程个数之差，称为超静定
6、阶数 n。,变形几何关系（变形协调方程）变形内力关系（物理方程）,补充方程,例4-5 求图示两端固定拉压杆的约束反力,几何关系,物理关系,补充方程,代入平衡方程解得,温度升高T，热膨胀系数,例 4-6 求图示桁架各杆的内力。,已知：,（一阶超静定）,几何关系：,物理方程,补充方程,联立求解,内力与刚度比值有关！,求解原理：(1)超静定结构由静定结构加多余约束构成，每个多余约束对应一个约束条件，形成变形几何关系；(2)平衡方程的数目少于未知约束反力的数目，n 阶超静定有 n 个多余约束，平衡方程少 n 个；(3)由变形几何关系与物理方程联立得到 n 个补充方程，与平衡方程联立求解可得所有约束反力
7、。,超静定结构的特点：(1)约束反力与各杆刚度比有关，刚度越大约束反力越大；(2)温度变化制造误差等变形因素可能引起内力应力改变。,作业:4-10 4-114-29,3 材料拉压力学性质,拉伸试件,试件的装夹与加载,结果的测定与分析,压缩试件,比例加载阶段：,比例极限,弹性模量,弹性极限,屈服阶段：,屈服极限,强化阶段：,强度极限,延伸率,断面收缩率,强度指标,塑性指标,四个阶段四极限四个指标两应变弹性模量看斜率冷作硬化颈缩面,讨论：与 有何异同？,低碳钢的拉伸性质,其它塑性材料的拉伸性质,名义屈服极限：,脆性材料的拉伸性质,强度极限,弹性模量 E,变形小，强度低，弹性模量不唯一。,塑性材料没
8、法压，脆性材料强度大。,塑性材料的压缩性质,脆性材料的压缩性质,4.3 轴的扭转,1 扭矩与扭矩图,扭转内力:扭矩 Mn,扭矩矢量与截面外法线方向 一致时为正;反之为负。,扭 矩符号规则,受力特点：外力偶矩的矢量方向与杆的轴线重合。,变形特点：横截面绕轴线相对转动。,例4-7 已知：PA=40kW，PB=100kW，PC=60kW，n=955 rpm 求:作图示传动轴的扭矩图。,解:TA=400 Nm TB=1000 Nm TC=600 Nm,Mn1=400 Nm,讨论：交换 AB 轮位置 扭矩将如何变化？,Mn2=-600 Nm,扭矩图,2 圆轴扭转应力与强度,薄壁圆管扭转应力,横截面的应力
9、分量,实验结果,平衡条件,横截面保持平面，大小形状不变。,切应力垂直于半径。,圆轴扭转应力,平衡方程,变形几何方程,表面,内部,假设:直径保持直线,物理方程,平衡条件：,补充方程,扭 转强度条件,抗扭截面系数,极惯性矩,圆轴扭转强度,补充：某拉伸试验机的结构示意图如图所示。设试验机的 CD 杆与试件AB 材料同为低碳钢，其p=200MPa，s=240MPa，b=400MPa。试验机最大拉力为 100 kN。试求：1.若设计时取试验机的安全系数 n=2，则CD杆的横截面积应为多少？2.用这一试验机作拉断试验时，试件的直径最大可达多大？3.若试件直径 d=10 mm，欲测弹性模量 E，则所加载荷最
10、大不能超过多少？,作业:4-104-18,求：（1）校核轴的强度；（2）改用实心轴，确定轴的直径；（3）比较实心轴和空心轴的重量。,解：（1）Mn=T=1.5 kNm,强度安全。,（2）,（3）,空心优于实心,3 圆轴扭转变形与刚度,截面抗扭刚度,单位：弧度,扭 转刚度条件,精密轴一般轴粗糙轴,单位长度扭转角,4 扭转破坏分析,扭转破坏实验,低碳钢：横截面,灰铸铁：45斜截面,竹木材：纵截面,塑性优于脆性,低碳钢,灰铸铁,竹木材,矩形截面杆扭转,周边上的切应力与周边平行，角点上的切应力为零。,切应力大小沿周边按复杂级数分布，极值点出现在长边和短边中点。,圆形优于矩形,4.4 梁的弯曲,1 剪力
11、与弯矩图,受力特点：外力或外力偶矩的矢量方向与杆的轴线垂直,变形特点：梁的轴线变为曲线，横截面垂直于轴线转动,平面力系：,平衡方程 3 个,约束反力 3 个,静定梁 3 种,三类外载荷,集中力,集中力偶,分布力（均布力）,梁的横截面具有纵向对称线，所有对称线组成纵向对称平面，外载荷作用在纵向对称平面内，梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成一条平面曲线。,平面弯曲,剪力与弯矩,Q=F 垂直与外法线，平行 于横截面，称为剪力,M=Fx 矢量方向垂直于外 法线，称为弯矩,大小相等，方向相反，产生同样的变形。,剪力弯矩符号规则,外法线顺针向转 90 为剪力正方向；使横梁上侧受压(下侧受拉）为弯矩正方向。,描
12、述剪力和弯矩沿梁的轴线变化规律的方程,剪力方程 Q(x)弯矩方程 M(x),例4-9 求下列各梁的剪力弯矩 方程并作 Q，M 图。,解：作分离体，列平衡方程,剪力图与弯矩图,解：支反力,力区：能够用一个方程描 述内力变化的区间,力区分界点：,集中力（偶）作用点,分布载荷端点,解：支反力,作业:4-20（a,b,c）,截面对形心轴的静矩为零，静矩为零的坐标轴必为形心轴。,组合图形,静矩单位：m3,静矩和形心,可正可负可零,2 截面几何性质,惯性矩,单位：m 4,0,例4-10 计算圆形和矩形 对形心轴的惯性矩。,圆形,解：矩形,平行移轴公式,例4-11 计算 T 形截面 Izc,3 弯曲应力与强度,4 弯曲变形与刚度,互相垂直的截面上，切应力大小相等，符号相反，同时指向或者背离两截面的交线。,切应力互等定理,解：,讨论：能否吊起一个人的体重？,
