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1、一.二阶与三阶行列式,1.二阶行列式,二元线性方程组：,由消元法，得,得,同理，得,2、n 阶矩阵的行列式,为便于记忆，引进记号,注：,(1)二阶行列式 算出来是一个数。,(2)记忆方法：对角线法则,主对角线上两元素之积 副对角线上两元素之积,因此，上述二元线性方程组的解可表示为,2.三阶行列式,类似地，为讨论三元线性方程组,引进记号,称之为三阶行列式,注：,(1)三阶行列式 算出来也是一个数。,(2)记忆方法：对角线法则,例：,n 阶行列式怎样计算呢?,3.n 阶行列式,仍记为，即,对于三阶行列式，容易验证：,可见一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来定义。,问题：一个n 阶行列式是否可以用若
2、干个 n1 阶行列式来 定义呢？,例如：,注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式。,例2：设三阶矩阵，计算各元素的余子式和代数余子式。,解：,元素 的余子式,代数余子式,元素 的余子式,代数余子式,例如，行列式,按第一行展开，得,也称为将 n 阶行列式按第一行展开。,例3：计算四阶行列式,解：,让我们先看一个例子,例4：计算下面三阶行列式分别按照第一行、第二行、第三行展开，并比较结果。,解：,按照第一行展开,在行列式的定义中，我们是按照第一行元素进行展开的，是否可以按照第二行或其它任何一行进行展开呢？说的更确切一点，对任意的，是否仍有,按照第二行展开,按照第三行展开,通过该
3、例，我们发现，行列式按照任何一行展开其值都是一样的。这并不是偶然的巧合，而是所有情况均如此，有下面的定理。,定理：n 阶行列式的值等于第 i 行的元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,正因为如此，我们计算行列式时，原则上可以按照任何一行进行展开，但直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成 n 个（n1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。,如,可按第二行展开,上一节，我们引进了行列式的定义，也试着根据定义计算了几个行列式。从中可以看出，按照某一行展开计算行列式是比较麻烦的，特别是当行列式的阶
4、数增大时，计算量迅速增加，如果要读者根据定义来计算一个10阶行列式，恐怕没有一个读者有耐心把它算完，而要计算一个20阶的行列式，既使用高速计算机也要计算很长时间。因此，有必要来研究行列式的性质，使得实际计算成为可能。不仅如此，行列式的基本性质也为求解线性方程组提供了工具。在本节里我们将不加证明地介绍几个行列式的性质。,4、行列式的性质,性质1：行列式与它的转置行列式相等。,称为D的转置行列式,推论：行列式按行展开与按列展开是一样的，即,性质2：用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数 k 乘此行列式。,记法,第 i 行乘以 k：,第 j 列乘以k:,行列式中某一行（列）的公因子可以
5、提到行列式符号外面,若行列式有一行（列）的元素全为零，则行列式等于0。,性质3：互换行列式的两行（列），行列式的值变号。,s行,t行,记法,行列式的第 s 行：,行列式的第 s 列：,交换 s、t 两行：,交换 s、t 两列：,推论1：,如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0。,推论2：,若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0。,如,性质4：,即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。,性质5：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数 k 后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。,即,记法,数 k 乘第 t 行加到第 s 行上：,5、行列式的计算,根据行列式的性质，可以简化行列式的计算，下面举几个例子加以说明。,上三角行列式,上三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积,因此，我们设法将行列式变成上三角行列式，就可计算出行列式的值。,利用行列式性质计算：,目标,化为三角形行列式,解：,例2：计算,解：,解：,该行列式的特点是每一行（列）元素之和都相等！,将2、3、4列元素都加到第一列上去，得到：,计算下列行列式的值,练习题,
