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1、第三节 导数的应用,一、函数图形的描绘二、单调性、凹凸性应用三、最大、最小值及经济应用,一、函数图形的描绘,函数单调性、极值与凹凸性、拐点、渐进线、图形的描绘,（三）、渐进线及计算方法,（四）、图形的描绘,(一)1.单调性的判别法,定理,证,应用拉氏定理,得,例1,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,例2,解,单调区间为,2.单调区间求法,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可
2、能是单调区间的分界点,方法:,例3,解,单调区间为,例4,证,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,3.函数的极值(局部性的概念),(1)极值的定义,(2)极值存在的条件(一必要条件、两充分条件）,注意:,性质（第一充分条件）设f(x)在 处连续,且在 的 去心邻域内可导,(是极值点情形),求极值的步骤:,(不是极值点情形),例5,解,-,+,不存在,0,+,极小值,极大值,极大值为f(0)=0;,证,例6,
3、解,注意:,（二）1.曲线凹凸的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,求拐点的步骤：,求二阶导数等于零和不存在的点判断二阶导数在这些点的左右两侧是否异号,-,+,+,0,不存在,(三)、渐近线及计算方法,定义:,1.铅直(垂直)渐近线,例如,有铅直渐近线两条:,2.水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,3.斜渐近线,斜渐近线求法:,注意:,(四)、图形描绘的步骤,第一步,第二步,第三步,讨论函数的单调性、凹凸性、极值、拐点,第四步,求渐近线,第五步,例10,解,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:,拐点,极值点,作图,小结,函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.,最大值,最小值,极大值,极小值,拐点,凹,凸,单增,单减,二、单调性、凹凸性应用,0,
