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1、第三讲 函数连续性、导数极其应用,1 函数的连续性,定义：设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果 那么就称函数f(x)在点x0连续.,一、连续函数的概念,函数连续要满足三个条件,(1)在x=x0有定义；(2)存在；(3),第三讲 函数连续性、导数极其应用,例1.,在(-，+)上连续，求 的值,解：,第三讲 函数连续性、导数极其应用,定义：若函数(x)在开区间(a,b)内的每一点都连续,则称函数(x)在开区间(a,b)内连续;,定义：若函数(x)在开区间(a,b)内连续,且在左端点 a右连续,在右端点 b 左连续,则称函数(x)在闭区间a,b 内连续.,一个函数在定义域上连续，从图像
2、上看是连续不断的，“一笔”可以画出来的。,第三讲 函数连续性、导数极其应用,二、函数的间断点极其类型,(1)在x=x0没有定义；(2)虽在x=x0有定义，但 不存在；(3)虽在x=x0有定义，且 存在,但则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点.,第三讲 函数连续性、导数极其应用,第三讲 函数连续性、导数极其应用,间断点,例2.,解：,第三讲 函数连续性、导数极其应用,例3.,解：,第三讲 函数连续性、导数极其应用,三、利用零点定理讨论方程的根,几何解释:,第三讲 函数连续性、导数极其应用,2 导数的概念,一、导数概念的引例,例1,变速直线运动的速度,-,-,
3、第三讲 函数连续性、导数极其应用,如图,如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,第三讲 函数连续性、导数极其应用,二、导数的定义,定义,第三讲 函数连续性、导数极其应用,或,即,其它形式,例3.,解：,第三讲 函数连续性、导数极其应用,例4.,证明：,第三讲 函数连续性、导数极其应用,三、可导和连续的关系及应用,1.可导和连续的关系,定理 凡可导函数都是连续函数，反之不一定.,证明：,从图像上看，可导函数除了要求像连续函数那样“一笔”画完外还要求曲线是光滑的！,第三讲 函数连续性、导数极其应用,2.左右导数,（单侧导数）,右导数:,左导数:
4、,第三讲 函数连续性、导数极其应用,3.利用函数可导或连续解题,例5.,解：,第三讲 函数连续性、导数极其应用,3 函数微分的概念,一、微分的定义,第三讲 函数连续性、导数极其应用,第三讲 函数连续性、导数极其应用,(2)充分性,第三讲 函数连续性、导数极其应用,例1,解：,例2,解：,由例2我们把微分常记为,二、可微与可 导的关系,两者是等价的,第三讲 函数连续性、导数极其应用,三、微分的几何意义,第三讲 函数连续性、导数极其应用,4 导数的计算,(1)(C)0(2)(xm)m xm1(3)(sin x)cos x(4)(cos x)sin x(5)(tan x)sec2x(6)(cot x
5、)csc2x(7)(sec x)sec xtan x(8)(csc x)csc xcot x(9)(a x)a x ln a(10)(e x)ex,第三讲 函数连续性、导数极其应用,二、反函数求导法则,第三讲 函数连续性、导数极其应用,第三讲 函数连续性、导数极其应用,三、函数求导的四则运算法则及复合函数求导,这部分知识都是我们高中时学过的内容，这里不再介绍，我们通过几个典型的例题加以复习巩固,例1,解：,第三讲 函数连续性、导数极其应用,例2,解：,第三讲 函数连续性、导数极其应用,四、隐函数的求导,1.函数的表示法,直接表示:解析式 y=f(x)xD,这样描述的函数称为显函数,把一个隐函数
6、化成显函数,叫做隐函数的显化.,第三讲 函数连续性、导数极其应用,一般地,如果变量x和y满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下当x取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y值存在,那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数,2.隐函数定义极其求解,有的隐函数可以化成显函数去求导数，但是并不是所有的隐函数都可以显化的，如：,虽然不可以显化，但是求导函数是可以的，方法就是方程两边同时关于x（或y）求导，一般来说，导函数往往是含有x和y的解析式。,需要注意的是：当关于x求导时要把y看成是复合函数；关于y求导时要把x看成是复合函数！,第三讲 函数连续性、导数极其应用,例3,解
7、：,方程两边同时关于x求导得,原方程变形为,整理，得,即,第三讲 函数连续性、导数极其应用,注：,隐函数求导一般有两种类型的题目，一种是求导函数，另一种是求具体某一点处的导数值，从本质上说两者没有什么区别，前者需要求出导函数的解析式（有时候整理化简过程很繁琐），后者可以在前者的基础上带入具体点的坐标就可以了。不过在求解具体点的导数值这类题目可以不用把导函数的解析式求出来，把已知点直接带入还没有整理化简的方程中，这样具体的数值取代了繁琐的公式符号，然后再把导数值求出来就相对简单多了！,带入,得,即,第三讲 函数连续性、导数极其应用,五、对数求导法,1.对数求导法,2.适用范围,第三讲 函数连续性
8、、导数极其应用,例4,解：,等式两边取对数得,上式两边关于x求导得,第三讲 函数连续性、导数极其应用,例5,解法二：,解法一与解法二没有本质的区别，相比而言解法二较直接，但需要对复合函数的求导熟练掌握,第三讲 函数连续性、导数极其应用,例6,解：,等式两边取对数得,上式两边关于x求导得,即,第三讲 函数连续性、导数极其应用,六、高阶导数,1.如果 的导数存在，称为 的二阶导数 记作：，或,2.仍是x的函数，还可以进一步考虑 有三阶导数 或，四阶导数 或，n阶导数 或.,第三讲 函数连续性、导数极其应用,七、参数方程所确定函数的导数,参数方程求导问题是历年必考的重点题型，但却不是难点，主要是公式
9、的应用，归结到底还是考查一般函数求导问题。,第三讲 函数连续性、导数极其应用,例7,解：,第三讲 函数连续性、导数极其应用,八、微分中值定理,关于微分中值定理，不是目前我们学习的重点，但要做到基本了解，知道它们的几何意义，会求满足定理条件的点即可。,1.罗尔(Rolle)定理,第三讲 函数连续性、导数极其应用,罗尔定理几何解释:,y,例8,第三讲 函数连续性、导数极其应用,2.拉格朗日(Lagrange)中值定理,第三讲 函数连续性、导数极其应用,拉格朗日中值定理几何解释：,例9,解：,第三讲 函数连续性、导数极其应用,利用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理,第三讲 函数连续性、导数极其应用,3
10、.柯西中值定理,拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况：,第三讲 函数连续性、导数极其应用,九、导数的应用（利用导数研究函数的性质）,单调,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率,1.函数的单调性,第三讲 函数连续性、导数极其应用,注：,（1）求函数单调区间就是解导数不等式,（2）证明方程根的个数最经典的方法就是结合函数单调性 利用零点定理,2.函数的极值,简单地说，所谓极值，就是在某一点的“附近”它的函数值是最大（小）的，则该点就称为函数的一个极值点，函数值称为极大（小）值，极大值与极小值统称为极值。,关键字：极值、极大值、极小值、极值点、驻点、不可导点,驻点是指一阶导数等于零的点，即满足 的点,
11、不可导点是一阶导数不存在的点，即 无意义的点,驻点与不可导点我们习惯上统称为“极值可疑点”,第三讲 函数连续性、导数极其应用,导数为零不是驻点,不可导点不是极值点,两个特例,第三讲 函数连续性、导数极其应用,函数极值的性质与判定,性质（必要条件）,判定（充分条件）,（1）第一充分条件,对于在x0处连续的函数，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值,第三讲 函数连续性、导数极其应用,求极值的步骤:,第三讲 函数连续性、导数极其应用,例10,解：,所给的函数定义域为.,+,+,极小值,极大值,极小值,第三讲 函数连续性、导数极其应用,（2）第二充分条件,注：,利用第
12、一充分条件判定极值一般都需要列表讨论，这样比较直观，关键步骤是判定驻点或不可导点左右导数的正负性（常把一阶导数解析式进行因式分解以方便判断正负）,第二充分条件多用于具有二阶导数的函数（多项式函数），使用起来简单快捷，但是当函数不满足条件，或者即使满足条件却不易求出二阶导数的解析式时就不能使用这种方法了,第三讲 函数连续性、导数极其应用,3.函数的最大值与最小值,先思考一个问题，在函数的定义域内，哪些点可能成为最值呢？,端点,极值点,求函数的最值十分简单，就是把函数在定义域内所有极值可疑点（驻点和不可导点）以及端点代入到原函数中比较其大小，最大为最大值，最小为最小值,例11,解：,第三讲 函数连
13、续性、导数极其应用,注：,无论是讨论函数的最值问题，还是极值问题，包括下面即将讨论的拐点问题都不能忽略函数的定义域，尤其是事先给定了讨论区间的函数！,4.函数的凹向与拐点,（1）函数的凹向,第三讲 函数连续性、导数极其应用,（2）函数的拐点,凸部与凹部的转折(分界)点,判定函数凹向和拐点方法与判定极值的第一充分条件非常相似，所不同的是对二阶导数进行相关的讨论,第三讲 函数连续性、导数极其应用,求曲线凹向与拐点的步骤：（1）求定义域（2）求（3）求 的点和 不存在的点。（4）用上述点将定义域分成若干小区间，考查每个小 区间上 的符号，并判断凹凸性。（5）若 在点 两侧异号，则 是拐点，否则 不是。,第三讲 函数连续性、导数极其应用,例12,解：,不存在,拐点,拐点,第三讲 函数连续性、导数极其应用,5.曲线的渐进线,（1）、水平渐近线,（2）、垂直渐近线,第三讲 函数连续性、导数极其应用,例13:,解：,注：可以看出求水平渐进线比较直接，求垂直渐进线时需要找到一些点来讨论，一般来说这些“点”就是使得原函数无意义的点。,
