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1、9-1 压杆稳定的概念9-2 两端铰支细长杆的临界压力9-3 其他支座条件下细长杆的临界压力9-4 欧拉公式的适用范围 经验公式9-5 压杆的稳定校核9-6 提高压杆稳定的措施9-7 纵横弯曲的概念,9-1 压杆稳定的概念,例：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm。钢的许用应力为=196MPa。按强度条件计算得钢板尺所能承受的轴向压力为,P=A=3.92 KN,实际上，当压力不到 40N 时，钢尺就被压弯。可见，钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度，而是与 受压时变弯 有关。,一、稳定平衡与不稳定平衡的概念 当 F小于某一临界值Fcr，撤去横向力后，杆的轴线将恢复其原来
2、的直线平衡形态，压杆在直线形态下的平衡是稳定平衡。,当 F增大到一定的临界值Fcr，撤去横向力后，杆的轴线将保持弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态，压杆在原来直线形态下的平衡是 不稳定平衡。,两端球形绞支，长为 L的等截面细长 中心受压直杆。,9-2两端铰支细长压杆的临界压力,压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移为 y=f(x),该截面的弯矩为,杆的挠曲线近似微分方程为,其中 I 为压杆横截面的最小形心主惯性矩。,令,则有二阶常系数线性微分方程,其通解为,A，B，k 三个待定常数由该挠曲线的三个边界条件确定。,边界条件：,得,B=0,B=0，,边界条件：,要想压杆在微弯状态下平衡只
3、有,要想压杆在微弯状态下平衡只有,其最小解为 n=1 的解,即得,这就是两端绞支等截面细长中心受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式）,C为拐点,9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力,C，D为拐点,表7-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆 临界力的欧拉公式,欧拉公式 的统一形式,为压杆的长度系数;l 为相当长度。,讨论：,（1）相当长度 l 的物理意义,为长度系数,l 为相当长度,（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I,例9-3-1：图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受的压力最大，哪一根的最小？,因为,又,可知,解：,故取,例9-3-2：已知：图示压杆EI,且杆在B支承处不能转动,
4、求：临界压力,例9-3-3：由A3钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形绞。在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端绞支，z=1，长度为 l1。在xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固定 y=0.6，长度为 l2。求 Fcr。,z,y,22,12,6,6,24,解：,在xy平面内失稳时，z为中性轴,在xz平面内失稳时，y为中性轴,z,y,22,12,6,6,24,一、欧拉公式的应用范围,(1)压杆的临界应力公式（临界应力欧拉公式）,压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定的平衡时，横截面上的压应力可按=P/A 计算。,9-4 欧拉公式的应用范围 经验公式,按各种支承情况下压杆临界
5、力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为,为压杆横截面对中性轴的惯性半径,称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，杆端约束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。,越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。,若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应力cr。,(2)欧拉公式的应用范围,只有在 cr P 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界力 Fcr（临界应力 cr）。,或,当 1（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用 欧拉公式。,当 1（小柔度压杆）时，不能应用欧拉公式。用经验公式,A 3 钢(=0123),16 锰 钢(=010
6、2),右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线，虚线部分无意义。,1 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢，可取 E=206MPa，p=200MPa，得,右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线，虚线部分无意义。,1 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢，可取 E=206MPa，P=200MPa，得,右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线，虚线部分无意义。,二、压杆的临界应力总图,o,经验公式,解：,圆形截面杆：,例9-4-1 截面为圆形，直径为 d 两端固定的细长压杆和截面为正方形，边长为d 两端绞支的细长压杆，
7、材料及柔度都相同，求两杆的长度之比及临界力之比。,圆形截面杆：,所以,正方形截面杆：,由 1=2 得,Fcr 压杆的临界压力,nw 压杆的稳定安全系数,压杆稳定条件：,9-5 压杆的稳定校核,F工作压力,：稳定系数,主要与柔度有关,压杆的强度条件(强度许用应力)压杆的稳定性条件(稳定许用应力),例9-5-1 两端铰支中心受压直杆，材料、截面形状、求：,解：1.计算截面的惯性半径 i(取最小)查表算得组合截面对其形心主轴 y、z的惯性矩,3.计算稳定许用应力st 根据=97，查表得=0.575，代 入公式可得压杆的稳定许用应力为,2.计算杆件柔度(取最大),例9-5-2 一连杆尺寸如图，材料为
8、A3 钢，承受的轴向压力为 P=120KN，取稳定安全系数 nw=2，校核连杆的稳定性。,在 xy 面内失稳连杆两端为绞支，长度 l=940。,在 xz 面内失稳近似两端固定，长度 l 1=880。,在 xy 面内失稳连杆两端为绞支，长度 l=940。,解：(1)求柔度,在 xz 面内失稳近似两端固定，长度 l 1=880。,杆在 xz 面内先失稳，应用 y 计算临界力。,（2）求临界力，作稳定校核,因为 y=61 123，用经验公式计算,压杆是稳定的,（3）如果要求连杆在两平面内 失稳时的临界力相等,例9-5-3 两端绞支压杆，材料为A3钢，截面为圆环，P=180KN，l=2500mm，r=
9、60mm，稳定安全系数nw=2.5，计算钢管壁厚t。,解：按薄壁管考虑,用经验公式计算,取壁厚 t=6mm，此时,不超过10%，可按薄环处理。,例9-5-4 压杆的约束情况，轴向压力，材料均同上例，试选择工字型截面。已知材料的 E=206GPa，强度 许用应力=140MPa。,解：用试算法,先根据 A3 钢的强度许用应力求一截面作参考,考虑到稳定，取两倍的面积，约 2600mm2。,选出 18号 工字截面,查表：A=30.6cm2，Imin=122cm4，截面的最小惯性半径 imin=2cm,用欧拉公式计算,稳定性不足，再选 20a 工字截面,查表：A=35.5cm2，imin=2.12cm,用经验公式,20a 号工字钢可用。,Any question?,祝大家学习愉快!,
