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1、一、几何概型,三、小结,1.32 几何概型和概率的公理化定义,二、概率的公理化定义,把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们引入了几何概型.由此形成了确定概率的另一方法 几何方法.,概率的古典定义具有可计算性的优点,但它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样本空间中的样本点有无限个,概率的古典定义就不适用了.,一、几何概率,定义1.4,定义1.5 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量(长度,面积,体积)相同的子区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为,说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率.,几何概型的概率的性质,(1)对任一事件A,有,那末,两人
2、会面的充要条件为,例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间 t(tT)后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.,会面问题,解,故所求的概率为,若以 x,y 表示平面上点的坐标,则有,蒲丰投针试验,例21777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题.平面上画有等距离为a(0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为b(a)的针,试求针与任一平行直线相交的概率.,解,蒲丰资料,由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题.,蒲丰投针试验的应用及意义,历史上一些
3、学者的计算结果(直线距离a=1),1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构,给出了概率的严格定义,使概率论有了迅速的发展.,二、概率的公理化定义与性质,柯尔莫哥洛夫资料,概率的可列可加性,1.概率的定义1.7,证明,由概率的可列可加性得,2.性质,证明,由概率的可列可加性得,证明,证明,证明,由图可得,又由性质 3 得,因此得,推广-三个事件和的情况,n 个事件和的情况,解,例3 在12000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?,设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”则所求概率为,解,于是所求概率为,2.最简单的随机现象,古典概型,古典概率,三、小结,几何概型,几何概率(无限等可能情形),4.概率的主要性质,Born:25 April 1903 in Tambov,Tambov province,RussiaDied:20 Oct 1987 in Moscow,Russia,柯尔莫哥洛夫资料,Andrey NikolaevichKolmogorov,蒲丰资料,Born:7 Sept 1707 in Montbard,Cte dOr,FranceDied:16 April 1788 in Paris,France,Georges Louis Leclerc Comte de Buffon,
