一函数二函数的极限三函数的连续.ppt

《一函数二函数的极限三函数的连续.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一函数二函数的极限三函数的连续.ppt（139页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、一 函数二 函数的极限三 函数的连续性,第一章 函数与极限,1.1.1 常量与变量,常量：在某一变化过程中不变化，保持一定的数值的 量叫做常量。,1.1 函 数,变量：在某一变化过程中变化，可以取不同的数值的 量叫做变量。,常量与变量的划分是相对的。,定义1：设x 和 y 为同一过程两个变量，若对非空数集D 中任一x（记为），在数集M中存在 y（记为）按一定的法则 f 有 唯一确定的 值与之对应，则称 f 是定义在D上的函数。记作 y=f(x)数集D称为该函数 的定义域，x 叫做自变量，y 叫做因变量。自变量取 时的函数值 记成、或,1.1.2 函数的概念,全体函数值的集合 称为函数的值域。,

2、函数的两个要素 函数的对应法则和定义域称为函数的两个要素.（）对应法则,分段函数：在定义域的不同部分内用不同的解析式 表示的函数，称为分段函数。,分段函数,符号函数,1.1.3 函数的表示方法（1）解析法：用数学公式或方程来表示变量间的函数关系。（2）列表法：把一系列自变量的值及其对应的函数 值列成一个表格来表示函数关系。（3）图象法：用坐标平面内的图形（一般是曲线）表示 变量间的函数关系。,1.1.4 几种特殊的函数性质（1）奇偶性 设函数 f(x)的定义域为对称区间（-L,L）（也可以 是-L,L,（，），如果对于定义域的任 一 x 都满足f(x)=f(x)（f(x)=f(x)），则称函数

3、 f(x)为奇函数（或偶函数）。,（2）单调性 若函数 f(x)在区间 I 上有定义，如果对于区间 I 上 任意两点 及，当 时，有，则称函数 f(x)在区间 I 上单调增加（单调递减）。单调递增或单调递减函数统称为单调函数。,（3）有界性 设函数 y=f(x)定义在区间(a，b)上，若存在 一个常 数 k，使得当 x(a，b)时，恒有 成立，则称f(x)在(a，b)有上界（下界）。若 f(x)在(a，b)既有上界又有下界，则称f(x)在(a，b)上有界。如果函数 f(x)在其定义域内有界，则称f(x)为有界函数。,（4）函数的周期性 设有函数 f(x)，如果存在一个不为零的数 T，使得对于定

4、义域的任一实数 x，都有 f(x+T)=f(x)则称 f(x)周期函数，T 为函数的周期。,1.1.5 反函数 设函数 y=f(x)的定义域为 D，值域为 M。如对于任意的 y M，有x D，使得f(x)=y，则变量 x 是变量 y 的函数，其对应规则记作。这个定义在 M 上的函数，称它为函数 y=f(x)的反函数，而 y=f(x)称为直接函数。,1.2.1 基本初等函数,1.2 初等函数,这六种函数统称为基本初等函数，这些函数的性质、图形必须熟悉,1.2.2 复合函数,两个函数 f 与 g 构成复合函数的关键在于内函数的值域要包含在外函数的定义域中。,例2 分析下列复合函数的结构：,三、初等

5、函数,若数列,及常数 a 有下列关系:,当 n N 时,总有,记作,此时也称数列收敛,否则称数列发散.,几何解释:,即,或,则称该数列,的极限为 a,1.3 函 数 的 极 限,1.3.1 数列的极限,邻域,OK!N找到了！,nN,目的：,NO,有些点在条形域外面！,数列极限的演示,N,数列极限的演示,e 越来越小，N越来越大！,例如,趋势不定,收 敛,发 散,数列极限的演示,数列极限的演示,数列极限的演示,数列极限的演示,目标不惟一！,例1.已知,证明数列,的极限为1.,证:,欲使,即,只要,因此,取,则当,时,就有,故,例2.设,证明等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此,取,则当 n

6、 N 时,就有,故,的极限为 0.,一、自变量趋于有限值时函数的极限,自变量变化过程的六种形式:,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容:,1.3.2 函数的极限,1.自变量趋于无穷大时函数的极限,定义2.设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,直线 y=A 为曲线,的水平渐近线,A 为函数,这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点,这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点,演示表明：在直线上无论x是趋于，还是趋于，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点顶点！

7、,x趋于无穷大的演示,例 证明,证:,取,因此,注:,就有,故,欲使,即,直线 y=A 仍是曲线 y=f(x)的渐近线.,两种特殊情况:,当,时,有,当,时,有,几何意义:,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,因此，我们得到无穷远处函数极限的关系如右：,x趋于无穷大的演示,2.自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,引例.测量正方形面积.,面积为A),边长为,(真值:,边长,面积,直接观测值,间接观测值,任给精度,要求,确定直接观测值精度:,定义1.设函数,在点,的某去心邻域内有定义,当,时,有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,即,当,时,有,若,记作,几何解

8、释:,极限存在,函数局部有界,这表明:,函数极限的演示,d,d,目的：对任意的e0,要找d0，使得0|x-x0|d 时，有|f(x)-A|e.即 A-e f(x)A+e.,哈哈,d找到了!,d,d,这样的d 也能用,看来有一个d 符合要求,就会有无穷多个d 符合要求!,函数极限的演示,d1,d1,目的：对任意的e0,要找d0，使得0|x-x0|d时，有|f(x)-A|e.即 A-e f(x)A+e.,哈哈,d找到了!,例1.证明,证:,故,对任意的,当,时,因此,总有,例2.证明,证:,欲使,取,则当,时,必有,因此,只要,左极限与右极限,左极限:,当,时,有,右极限:,当,时,有,定理 3.

9、,例.设函数,讨论,时,的极限是否存在.,解:,因为,显然,所以,不存在.,思考与练习,1.若极限,存在,2.设函数,且,存在,则,是否一定有,？,当,一、无穷小,定义1.若,时,函数,则称函数,例如:,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,为,时的无穷小量，简称无穷小.,时为无穷小.,1.3.3 无穷小与无穷大,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!,因为,当,时,显然 C 只能是 0!,C,C,时,函数,(或),则称函数,为,定义1.若,(或),则,时的无穷小.,其中 为,时的无穷小量.,定理 1.(无穷小与函数极限的关系),证:,当,时,有,对自变量的其它变化过

10、程类似可证.,二、无穷大,定义2.若任给 M 0,一切满足不等式,的 x,总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X),记作,总存在,注意:,1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.,2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!,例如,函数,当,但,不是无穷大!,三、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小;,若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:,无穷小运算法则,定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.,说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!,例如，,有限个无

11、穷小之差仍为无穷小.,定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.,时,有,无穷小运算法则,定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.,证:考虑两个无穷小的和.,设,当,时,有,当,时,有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量.,说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!,例如，,类似可证:有限个无穷小之差仍为无穷小.,定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证:设,又设,即,当,时,有,取,则当,时,就有,故,即,是,时的无穷小.,推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.,例.求,解

12、:,利用定理 2 可知,说明:y=0 是,的渐近线.,第一章,都是无穷小,引例.,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.,无穷小的比较,定义.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,例如,当,时,又如，,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,例1.证明:当,时,证:,内容小结,1.无穷小的比较,设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且,是 的高阶无穷小,是 的低阶无穷小,是 的同阶无穷小,是 的等价无穷小,是 的 k 阶无穷小,1.4 极限运算法则,1.4.1

13、 函数的极限运算法则,则有,定理 1.（1）若,（2）若,则有,说明:可推广到有限个函数相乘的情形.,推论 1.,(C 为常数),推论 2.,(n 为正整数),（3）若,且 B0,则有,1.4.1 函数的极限运算法则,则有,证:因,则有,(其中,为无穷小),于是,由定理 1 可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理,知定理结论成立.,定理 1.（1）若,说明:可推广到有限个函数相加、减的情形.,（2）若,则有,说明:可推广到有限个函数相乘的情形.,推论 1.,(C 为常数),推论 2.,(n 为正整数),为无穷小,(详见P44),（3）若,且 B0,则有,证:因,有,其中,设,无穷小,

14、有界,因此,由极限与无穷小关系定理,得,为无穷小,例1,这是因为分子、分母都包含着在 x=2时为零的因子 x2。此时为求极限应设法先消去零因子，然后求极限。,解 原式=,例2 求,注 此题中若将 x=2代入分子、分母，则得到无意义的式子，,例3,解 当 时，的分母都趋于零，原式 出现“”的形式，两项均不存在极限，故不能直接使用极限运算法则，此时需先通分，变换一下形式。,原式=,（消去零因子）,解 原式=,解 当 时，分母极限为0，不能直接使用极限运算法则，若将分子有理化,例4 求,例5.求,解:x=1 时,分母=0,分子0,但因,例6.求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“抓大头”,

15、原式,一般有如下结果：,为非负常数),例7.求,解,原式=,定理.设,且 x 满足,时,又,则有,说明:若定理中,则类似可得,例7.求,解:令,已知,原式=,思考及练习,1.,是否存在?为什么?,答:不存在.,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,1.函数极限存在的夹逼准则,且,1.4.3 两个重要极限,2.单调有界数列必有极限,圆扇形AOB的面积,二、两个重要极限,证:当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注,当,时,注,例1.求,解:,例2.求,解:原式=,2.,例1.求,解：原式,例2.求,解:原式=,两个重要极限,或

16、,思考与练习,填空题(14),二、函数的间断点,一、函数连续性的定义,第一章,1.5 函数的连续性,对自变量的增量,有函数的增量,可见,函数,在点,一、函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2)极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在;,且,有定义,存在;,若,在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上,连续,或称它为该区间上的连续函数.,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,当,时,有,函数,在点,连续有下列等价命题:,在其定义域内连续,定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0)

17、运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,例如,1.5.3 初等函数的连续性,定理2.连续函数的复合函数是连续的.,证:设函数,于是,故复合函数,且,即,初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),例1.求,解:,原式,连续与间断,特点:,极限计算转化为函数值计算,函数值表示转化为极限表示,在x0有定义,1.在x0附近定义;2.极限存在,间断=不连续,1.在x0 及其附近定义;2.极限存在,间断的演示,间断的演示,间断的演示,注意到：这种间断点称为可去间断点.,G,间断的演示

18、,注意到：这种间断点称为可去间断点.,G,间断的演示,注意到：这种间断点称为可去间断点.,G,间断的演示,注意到：这种间断点称为可去间断点.,G,间断的演示,注意到：这种间断点称为跳跃间断点.,G,间断的演示,哎，小红点，你跑哪去了？,快救救我，我要跑到未知世界去了！,这种间断点称为无穷间断点,G,间断的演示,：Hi,小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，那可怎么连上啊？,：Hi,小蓝点，你停不住，我也停不住啊。还想连上，你可真逗！,这种间断点称为震荡间断点。,G,一、最值定理,二、介值定理,1.5.4 闭区间上连续函数的性质,第一章,一、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即:设,则,使

19、,值和最小值.,在该区间上一定有最大,(证明略),例如,无最大值和最小值,推论.,由定理 1 可知有,证:设,上有界.,二、介值定理,定理2.(零点定理),至少有一点,且,使,(证明略),在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,定理3.(介值定理),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点,使,至少有,二、连续与间断,一、函数,三、极限,习题课,函数与极限,第一章,一、函数,1.函数的概念,定义:,定义域,值域,图形:,(一般为曲线),设,函数为特殊的映射:,其中,2.函数的特性,有界性,单调性,奇偶性,周期性,3.反函数,设函数,为单射,反函数为其逆映射,4.复合函数,给定函数链,则复

20、合函数为,5.初等函数,有限个常数及基本初等函数,经有限次四则运算与复,复合而成的一个表达式的函数.,例1.设函数,求,解:,解:,利用函数表示与变量字母的无关的特性.,代入原方程得,代入上式得,设,其中,求,令,即,即,令,即,画线三式联立,即,例2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.下列各组函数是否相同?为什么?,相同,相同,相同,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数?为什么?,不是,是,不是,提示:(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.下列函数是否为初等函数?为什么?,以上各函数都是初等函数.,机动 目录 上页

21、 下页 返回 结束,4.设,求,及其定义域.,5.已知,求,6.设,求,由,得,4.解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.已知,求,解:,6.设,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、连续与间断,1.函数连续的等价形式,有,有界定理;,最值定理;,零点定理;,介值定理.,3.闭区间上连续函数的性质,例3.设函数,在 x=0 连续,则 a=,b=.,提示:,三、极限,1.极限定义的等价形式,(以 为例),(即 为无穷小),有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.极限存在准则及极限运算法则,3.无穷小,无穷小的性质;,无穷小的比较;,4.两个重要极限,5.求极限的基本方法,例6.求下列极限：,提示:,例7.确定常数 a,b,使,解:,原式,故,于是,而,2.求,解:,原式=1,1当,时，,较,等价无穷小量(B)同阶无穷小量(C)低阶无穷小量(D)高阶无穷小量,是（）,课堂测验,2下列各式中正确的是（）,B,C,D,A,3无穷小量是（）A 比零稍大一点的一个数 B 一个很小很小的数C 以零为极限的一个变量 D 数零,4.已知,，则a=_。,5.计算,