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1、1,第2章 应变计电路,应变计在受到应变作用时，其电阻要发生变化。若把应变计接入某种测量电路，使电路输出一个能模拟这个电阻变化的信号，之后对这个电信号进行处理就可以测定应变。常规应变测量使用电阻应变仪，它的输入回路叫做应变电桥，应变电桥能把应变计的微小阻值变化转换成输出电压的变化。本章主要讲述应变电桥的有关理论，另外一种测量电路电位计式电路，将在本章结尾简要介绍。,第1部 电阻应变测量方法,2,学习要求：,熟悉直流电桥电路和电位计电路、交流电桥原理，和应变计的温度效应、温度补偿方法，应变计串联、并联测量时应变读数与应变计应变之间的关系，掌握应变计布片及桥路设计技巧。,本章内容：,2-1 直流电
2、桥；2-2 温度效应及其补偿；2-3 应变计串联与并联；2-4 应变计布置及桥路设计；2-5 交流电桥的输出；2-6 电位计式测量电路,（计划使用2学时）,3,2-1 直流电桥,电阻应变仪中的电桥线路以应变计或固定电阻作为桥臂。可取R1为应变计，或R1、R2为应变计，亦或R1、R2、R3、R4均为应变计等多种形式；其余桥臂接入电阻温度系数很小的精密无感电阻。A、C 和B、D分别称为电桥的输入端和输出端（或电源端和测量端）。下面推导输入端有一定电压时，输出电压的表达式。,这种电桥称为电压桥。问题变为求B、D两点的间的电为差。,把通过R1、R2的电流记作I12,通过R4、R3的电流记作I43，则,
3、1.输出端为开路的情况,4,A、B两点及A、D两点之间的压降分别为,输出电压U等价于B、D两点之间的电位差,即,由此得到,（2-1）,当R1R3=R2R4,电压U=0，这时电桥是平衡的。我们假定电桥在应变计承受应变以前是平衡的，研究当应变计承受应变时电桥的输出电压dU。由于应变计的电阻变化相对微小，这里用微分学方法进行研究。,5,假定桥臂电阻Ri(i=1,2,3,4)产生了电阻变化dRi，由式（2-1），有,应变仪的使用一般采用两种电桥，一种是等臂桥，即各桥臂的电阻相等，另一种是半等臂桥，即R1=R2=R和R3=R4=R,而R R。因此,（2-2）,事实上，按增量严格推导，输出电压还存在非线性
4、项，即,（2-3）,其中,称为非线性因子。,6,因应变计电阻变化很小，且上式中误差项也可能相抵消，非线性影响很小，可以忽略。最坏的情况单臂测量，即只有一个桥臂接有应变计（如R1）,其余三个桥臂电阻不变。此时非线性引起的相对误差为,K2，故e1。即非线性部分所引入的相对误差与被测应变相当。那么，当被测应变不超过5000，则相对误差就不超过0.5%，这是满足工程上的精度要求的。由此可见，一般情况下按式（2-2）分析应变电桥的输出电压是足够精确的。,7,如果输出端有负载电阻RL。当开关断开时，电桥的输出电压（开路电压）仍如式（2-1）所示，但当开关闭合时，负载电阻中将有电流IL流过，电桥的输出电压也
5、不再是由式（2-1）表示的结果。由电工学，这时电桥的输出电压和流过负载的电流分别为,（2-5）,和,（2-6）,当R1R3=R2R4时，IL=0，UL=0，电桥平衡（与电压桥完全相同）。但电桥的输出电流和电压与负载电阻RL有关，当RL时，输出电压最大，电流为零，即成为电压桥。,有些应变仪，为了使电桥功率能有效输出，选择适当的负载电阻，使电桥功率输出最大，这种电桥称为功率桥。由电工学知，电桥输出功率为,2.输出端有负载的情况,8,使电桥输出功率最大的负载电阻值为,利用极值条件,（2-7）,将式（2-7）代入式（2-5）、（2-6），得功率桥的输出电流和电压分别为,（2-8）,（2-9）,类似于电
6、压桥的推导，可得到初始平衡的功率桥在桥臂电阻发生变化时的电流和电压输出分别为,由电工学，电桥输出功率为,9,等臂桥:,半等臂桥:,由此可见，功率桥的电压输出为电压桥的一半，但桥臂电阻变化对电压的影响完全相同。,（2-10）,（2-11）,10,式（2-12、2-13）常用于应变计桥路设计和数据处理公式的推导。,（2-12）,而当R1、R2为相同应变计，R3、R4为固定电阻（不发生电阻变化），称为半桥接线，相应的关系成为,（2-13）,应变仪电路比较复杂（见第3章），但电桥是应变仪的基本外接电路。如果R1、R2、R3、R4为相同应变计，称为全桥接线，由上述电桥输出关系及式（1-7），通过调节仪器
7、输出灵敏度，可使读得的应变读数（或指示应变）满足下面关系,11,2-2 温度效应及其补偿,贴有应变计的构件总要处于某一温度场中进行测量。当环境温度变化时，会引起应变计敏感栅电阻的变化；另外，当敏感栅材料的线膨胀系数与构件材料不同时，敏感栅要受到附加拉伸（或压缩）变形，也会引起相应的电阻变化。上述现象的综合作用效果称为温度效应。由温度引起的导体电阻变化率可近似看作与温度变化成线性关系，即,T电阻温度系数，T温度变化。若以e和g分别表示构件和敏感栅材料的线膨胀系数，则当eg时，贴在构件上的应变计在构件自由膨胀时所产生的附加应变为,据式（1-1），相应的电阻变化,12,温度效应为上述两种结果的叠加,
8、（2-14）,应变计对温度非常敏感，严重时温变1可引起数十微应变的虚假应变，必须设法排除。排除温度效应影响的措施称为温度补偿。,温度补偿的方法并不复杂，根据式（2-12）和（2-13），只要保证同一构件材料上粘贴相同型号和同一批次的应变计，并保证贴片工艺及连接导线相同、温度条件相同（可放到一起），就可认为接入电桥的各应变计受温度的影响相同，温度效应将基本上被自然抵消。温度补偿的方法可分为补偿块补偿法和工作片补偿法。（详见2-4）。温度补偿还可以从应变计本身来考虑，制作温度自补偿应变计（详见6-1），温度变化不再使敏感栅产生虚假电阻变化。用这种应变计进行应变测量，不必考虑温度补偿，用单臂进行测量
9、就行了。,13,2-3 应变计串联与并联,在实际测量中，有时需要把应变计串联或并联起来进行测量（如图2-3所示），以达到某种测量目的。那么，应变计串联或并联后的桥臂电阻变化（或应变）与单个应变计的电阻变化（或应变）之间存在什么关系，下面进行简要的分析。,14,应变计串联,假定桥臂AB中有n个同型号、同批次的应变计Ri(i=1,2,n)串联在一起，如图2-3a所示。由电工学，这时桥臂电阻R为,将上式两端取自然对数后再求微分，并注意可认为它们的初始电阻值相同，只是可能产生不同的电阻变化，得,（2-15）,桥臂电阻变化率等于各应变计电阻变化率的平均值。如果仪器的灵敏系数取应变计的灵敏系数，则桥臂应变
10、,（2-16）,桥臂应变等于各应变计应变的平均值。,若严格按增量推导得到的结果与上面按微分推导的结果相同。,15,2.应变计并联,如图2-3b所示，在桥臂上有n个应变计并联，这时桥臂电阻,类似上面的推导，可以得到,应变计并联时，桥臂电阻变化率也等于各应变计电阻变化率的平均值。相应地，桥臂应变也等于应变计应变的平均值（同式（2-16）。,（2-17）,对于并联，若严格按增量推导，导出结果中含有非线性误差，详见式（2-18）至（2-20），若各应变计产生相同的电阻变化，=0；而一般情况下，0，并与应变计个数、平均电阻变化率以及各应变计电阻变化率的差异有关。若考虑最不利的情况：并联的各应变计中，只有
11、一枚有电阻变化，其余电阻不变，可以计算，若应变计个数不超过6，灵敏系数等于2，产生的平均应变不超过2000，则相对误差不超过2%。这在工程上是完全可以接受的。因此，在实际测量中，用式（2-16）分析并联应变计的桥臂应变是足够的。,16,对于并联，若严格按增量推导，令,若各应变计产生相同的电阻变化，=0；而一般情况下，0，并与应变计个数、平均电阻变化率以及各应变计电阻变化率的差异有关。若考虑最不利的情况：并联的各应变计中，只有一枚有电阻变化，其余电阻不变，可以计算，若应变计个数不超过6，灵敏系数等于2，产生的平均应变不超过2000，则相对误差不超过2%。这在工程上是完全可以接受的。因此，在实际测
12、量中，用式（2-16）分析并联应变计的桥臂应变是足够的。上述讨论没有考虑桥臂阻值非120所差生的误差，这可按阻值修正曲线修正。,(2-20),(2-19),其中为相对误差，可得,17,2-4 应变计布置及桥路设计,应变计感受的是构件表面上一点的应变。这个应变可能是由多种因素造成的，如不同的内力因素或温度等，温度的影响是必须要补偿掉的，但有时我们还想知道某种因素所引起的应变是多少，这就需要把其他因素引起的应变消除掉，而应变计本身是无法分辨各种应变成分的。因此，在应变电测工作中，根据测量目的合理的布片，并把应变计构成适当的桥路，是必须事先考虑的。合理的方案，应是使用尽可能少的应变计，有效地测取欲测
13、应变成分、消除其他应变成分，并获得尽可能高的电桥输出灵敏度，达到测量目的。,例2-1 如图2-4所示单纯受拉构件，测其拉伸应变。可举两种方案。,方案一：如图2-4（a）所示，采用补偿块补偿法，并按图2-5c半桥接线。补偿块与构件材料及温变相同，则工作应变计R1的应变成分是由拉力P和温度T两种因素造成的，补偿应变计的应变成分却只有温度T的影响，如果工作应变计和补偿应变计取自同一批，则,根据式（2-13），指示应变为,18,亦即温度效应影响被消除了，通过应变仪可直接测得欲测应变。不过设置不受力的补偿块并不是总能方便地实施（特别是现场试验）。在下面的方案中，采用工作应变计补偿法进行温度补偿。,方案二
14、：如图2-4b布置应变计，将R2垂直于R1粘贴到试样上，仍按图2-4c接线，此时,构件材料的泊松比。,与方案1同样的理由（并假定应变计横向效应可以忽略），我们得到指示应变为,拉伸应变为,由此式看出，方案2的指示应变为方案1的（1+）倍，输出灵敏度提高了，但需将应变读数除以（1+）才能确定拉伸应变。,19,例2-2 某结构中有一直径为d的圆截面杆件，在某截面处可能存在轴力N、弯矩M和剪力Q多种内力（见图2-5），在载荷无法确定的情况下，可用电测方法测定各个内力的大小。应变计的布置及接线方法，应能消除不需要的应变成分，保留有用的应变成分。设材料杨氏模量为E,泊松比为。用N表示轴力引起的应变成分,M
15、表示弯矩引起的应变成分，Q表示剪力引起的应变成分，T表示温度效应引起的虚假应变。下面介绍各内力的测定方法。,(1)测轴力N,方案一：半桥接线、补偿快补偿法。,各应变计的应变可用应变成分表示为,指示应变,轴力,20,方案二：采用全桥接线，工作应变计补偿法。,各应变计的应变分别表示为,指示应变,轴力,21,（2）测弯矩M,方案一：利用图2-5a所示的两个工作应变计，如图2-6a构成半桥接线。利用测轴力时在方案一中的分析，则指示应变为,弯矩,方案二：利用图2-5b的4个工作应变计，如图2-6b构成全桥接线。利用测轴力时方案二的分析，指示应变为,弯矩,22,（3）测剪力Q,方案一：如图2-7a所示,在
16、最大弯曲剪应力位置,即弯曲中性层处沿与杆轴线成45方向（纯剪状态的主应变方向）粘贴两枚应变计R1、R2，构成图2-7b所示半桥线路来测定该点的主应变。如果应变计位置准确，弯矩M对各应变计的应变无影响，轴力的影响是相同的，而剪力的影响等值反号。因此，各应变计的应变组成为,指示应变,由纯剪状态主应力与剪应力的关系、广义虎克定律及园截面杆的最大弯曲剪应力公式，得剪力的大小为,23,方案二：也可以如图2-7a所示，在对面相应位置在粘贴两枚应变计R3、R4，按图2-7c接线构成全桥接线。这时，R3、R4的应变成分分别于R1、R2相同。指示应变,剪力,综上所述可看出，综合考虑节约应变计和获得较高电桥输出，
17、要同时测定三种内力，至少需要6枚应变计，在上下表面杆截面的纵向对称轴处沿杆纵向和横向各粘贴一枚，在侧面中性层处沿45方向各粘贴一枚。测轴力采用方案二、测弯矩也采用方案二，测剪力则采用方案一。,24,2-5 交流电桥的输出,当应变电桥输入电压为交流电压时，必须考虑桥臂分布电容（包括应变计和导线）的影响。如图2-8所示，分布电容一般用假想的集中电容代替，并与应变计电阻并联。桥臂的阻抗用复数表示，例如，对AB桥臂，阻抗Z1为,H交流桥源电压圆频率。交流电桥的平衡条件写作Z1Z3=Z2Z4。如取半桥接线法，可认为电容的影响仅在应变计所在的半桥，Z3=R3，Z4=R4，故有,经整理，得,上式两边实部、虚
18、部分别相等，故,（2-21）,25,欲使交流电桥平衡，需同时满足电阻平衡和电容平衡两个条件。,对于图2-8所示电桥，假定各桥臂电阻相等，R1=R2=R3=R4=R，仅工作应变计R1发生电阻变化R,则电桥的输出电压为,将上式分子、分母同乘以分母的共轭复数进行有理化，并令C2-C1=C，C2+C1=2C0，结果为,（2-22）,如果没有电容存在，上式结果与（2-2）式结果一致。式（2-22）包括三部分：,1.应变计电阻变化造成的输出电压,如果H不高，分布电容很小，它基本接近纯电阻时的输出输出电压。相反情况下，引起的误差可近似表示为,26,若规定e0.2%,设R=120,电源频率为50KHz,则可定
19、出,双股导线每米分布电容为100至200pF,因此其长度应限定在10米以内。,2.电容不平衡造成的输出电压,如果测量前预调电容平衡，并在测量中保持C1、C2不变，此项为零。因此，在动态测量中，要求将导线固定牢固，以防分布电容发生变化。导线固定不好，分布电容发生变化，将使此项电压增大并发生剧烈变化，严重干扰预测应变信号。,3.其余部分,字母j意味着此项电压比桥源电压的相位超前/2，这样的电压不会显示到载波放大式应变仪的输出端，但当它较大时，会占去一部分放大器工作范围，使放大器灵敏度降低并影响其线性。,27,2-6 电位计式测量电路,前面应变测量电路惠斯登电桥线路。还有一种电路，也能把应变计的电阻
20、变化转变为电压变化，即电位计式电路。这种电路常用来测量超高频动态应变。比如，使用灵敏系数很大的半导体应变计测量应变幅度不太大的脉冲应变信号等，可以使用这种简单的电路，在输出端接记录仪器，构成简单测量系统。,设E为电路的直流输入电压，当电阻R1、R2一定时，输出端A、B间的开路输出电压为,当电阻R1、R2分别产生变化dR1、dR2时，电路的输出电压变化dU仍可通过微分求得,（5-23）,其中，r=R2/R1，这是一个线性公式。,28,若按增量推导，得,（5-24）,其中,为非线性项。当用线性公式（5-23）来描述电路的输出电压增量与电阻变化之间的关系时，引入的非线性误差为,假定R1为应变计，R2
21、为固定电阻，这时R1/R1=K，R2/R2=0，相对误差成为,当r=9，K=2.0，=5000时，e=0.001。可见，对这种情况，使用式（5-23）描述电路的输出电压变化是足够的，即可近似估计输出端电压变化为,29,（5-25）,令,（2-26）,称为电位计式电路的灵敏度（单位为V/）。,在图（2-10）中，设允许流过应变计的最大电流Ig，称为应变计额定电流。由,要使电路灵敏度提高，可加大E，但所加电压也不可超过,代入式（2-26），得,此式可用来选择电位计电路中的元件，并估计输出电压的大小。由此式看出，当r很大，r/(1+r)1，将使S最大。但R1既定时，增大R2，E也需增大，故一般取r9
22、。由于R2一般比R1大得多，称之为镇定电阻。它保证应变计由微小电阻变化时，通过应变计的电流无显著变化。,30,式（2-25）指出输出电压的变化U，实际上输出端的输出电压为U+U，若应变计感受的是正弦交变应变，输出端的电压信号如图2-10所示。,U一般为几伏，而U一般为微伏级的。在动态应变测量中，一般要在输出端加一个适当的高通滤波器，屏蔽掉U，而只让U通过。,31,如果R2也是一枚与R1同样的电阻应变计，根据式（2-23），也可以象前面的电桥线路那样实现温度补偿。但这不能保证灵敏度最大,如果灵敏度非常重要，就不能考虑用这种方法进行温度补偿，可以考虑使用温度自补偿应变计和镇定电阻进行测量。实际上，温度的变化是准静态的，当用高通滤波器的时候这种缓慢的变化会被屏蔽掉，因此可以不考虑温度补偿。图2-11所示为一个电位计电路中的典型的滤波器和相应曲线。由图2-11b可以看到，频率接近于零的信号将没有相应，即被屏蔽。图中为U+U的圆频率，C为滤波器电容，RMR1R2/(R1+R2)为测量仪器的电阻，U为测量仪器量出的电压。,
