《应用数理统计》PPT课件.ppt

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1、http:/,应用数理统计,http:/,课程概述,概率论与数理统计是一门研究随机现象量的规律性的数学学科，又称“机会的数学”，即用确切的数字来体现偶然性，研究这样做引发的概念和理论问题。,http:/,课程意义,对偶然性的认识以及统计的思维方法，就像读和写的能力一样，是现代人知识结构中应具备的成分。,http:/,课程的组成,该课程主要由：概率论和数理统计两部分组成。,http:/,概率论,概率论属于理论基础，包括：概率论的基本概念；概率论的基本定理、性质、公式；概率论常见的分布。,http:/,数理统计,数理统计是概率论的应用，即把收集的数据加以统计和分析，包括：数理统计的一些基本概念；数

2、理统计的基本理论和方法。,http:/,教学目的,概率论与数理统计是财经类专业核心课程之一，是现代经济理论的应用与研究的重要数学工具。,http:/,该课程着重于基本知识的介绍和统计观点的培养，使学生掌握概率与统计的基本概念、基本性质、基本方法，从而使学生提高逻辑思维能力、分析和解决问题的能力、统计的思维方法等，为今后专业课的学习打下基础。,http:/,课程简介,本学期要向大家介绍8章内容：（第五、六、十章不讲）,http:/,概率论有四章的内容：第一章第四章,http:/,数理统计有四章的内容：第七章第九章及第十一章,http:/,课程时间安排：,一学期，48学时（周3学时），16次课,h

3、ttp:/,概率论估计需要：24学时数理统计估计需要：24学时,http:/,指定教材,高等学校文科教材，经济应用数学基础（三）概率论与数理统计、袁荫棠 编（修订本）、中国人民大学出版社。,http:/,参考资料,1 同名的财经类教材。2 相关的辅导资料。,http:/,作业安排,1 本学期要交4次作业；2 交满4次作业方可参加考试；3 作业中有考试题（原形和变形）；4 概率论的作业2次，数理统计的作业2次。,http:/,第一章,随机事件及其概率,http:/,第一节,随机事件,http:/,一 随机试验的特点,(1)重 复 性(2)明 确 性(3)随 机 性,http:/,二 随机事件的基

4、本概念,(1)事件(2)随机事件(3)基本事件(4)必然事件(5)不可能事件,http:/,三 样本空间,(1)样本点（单点集）(2)样本空间,http:/,四 事件间的关系及其运算,(1)事件的包含 如果事件A发生必然导致事件B发生，即A 为B的子集，则称事件B包含事件A，记作B A 或 A B。对于任何事件A，有 成立。,http:/,(2)事件的相等,如果事件A包含事件B，而且事件B也包含事件A，则称事件A与B相等，或称A与B等价，记作A=B。,http:/,(3)事件的和（并）,两个事件A，B中至少有一个发生，即“A或B”，是一个事件，则称为事件A与B的和（并），记作AB或A B。,h

5、ttp:/,(4)事件的积（交）,两个事件A与B同时发生，即“A且B”，是一个事件，则称为事件A与B的积（交），记作AB或A B。,http:/,(5)事件的差,事件A发生而事件B不发生，是一个事件，则称为事件A与B的差，记作A-B。,http:/,(6)互不相容事件,事件A与B不能同时发生,即AB=,则称事件A与B互不相容,又称事件A与B互斥。,.,http:/,(7)对立事件,事件A不出现,即事件“非A”,则称为A的对立事件,又称为A的逆事件,因此A与互为对立事件.对立事件满足下列关系式:,http:/,(8)完备事件组,如果事件 为两两互不相容的事件,并且,则称 构成一个完备事件组。,h

6、ttp:/,第二节,概 率,http:/,一 频数与频率,(1)频数：m(2)频率：m/n,http:/,二 概率的定义及性质,概率的定义：在不变的条件下，重复进行n次试验，事件A发生的频率稳定在某常数p附近。随着n的增大，振幅变小，称常数p为事件A的概率，记作P（A）（概率的英译为probability）,http:/,概率应满足的三条公理,公理1 对于任何事件A，有P(A)0;公理2 对于必然事件样本空间，P()=1;公理3 对于任意可列个互不相容事件 A1,A2,An,有,http:/,概率的性质,1.不可能事件的概率为0，即,http:/,有限个两两互不相容事件有,2.概率的有限可加性

7、（加法公式）,http:/,3.若n个事件 构成一 个完备事件组，则有,http:/,4.若,则,http:/,5.广义加法公式P（AB）P（A）P（B）P（AB）,http:/,三 古典概型(等可能概型),http:/,古典概型的特点,1.有限性 2.等可能性,http:/,古典概型概率的公式：,P(A)=m/n,http:/,补充内容,1.排列 2.组合,http:/,第三节,条件概率 全概率公式 贝叶斯公式,http:/,一 条件概率,对于两个事件A与B，若P(A)0,则称 P(B|A)=P(AB)/P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率（即在“事件A已经发生”的条件下事件

8、B发生的概率）。,http:/,二 乘法公式,对于两个事件A与B，若P(A)0,则有 P(AB)=P(A)P(B|A);若P(B)0,则有 P(AB)=P(B)P(A|B).,http:/,三 全概率公式,若事件 构成一个完备事件组，且P()0，i=1,2,n,则对于任何一个事件B，有 P(B)=,http:/,四 贝叶斯公式(有称假设概率公式),设事件 构成一个完备事件组，i=1,2,n,对于任何一个事件B，若P(B)0,有,http:/,第四节,独立性与独立试验序列,http:/,一 随机事件的独立性,事件独立的三种定义方式,http:/,1.两个事件A与B，若其中任何一个事件发生的概率不

9、受另外一个事件发生与否的影响，则称事件A与B是相互独立的，简称A与B独立。,http:/,2.若两个事件A与B，P(B)0，且P(A|B)=P(A)，则称事件A与事件B相互独立。,http:/,3.若两个事件A与B满足等式P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立。此定义可以推广到有限个事件。,http:/,事件独立性的五个结论,1.事件A与B独立的充分必要条件是 P(AB)=P(A)P(B).,http:/,2.设事件A与B，则下列四对事件：A与B；中，只要有一对事件独立，其余三对也独立。,http:/,3.设两个事件A与B的概率都大于0且 小于1，则下面等式等价，即其中任何一个成

10、立，其它三个也一定成立：,http:/,4.若事件 相互独立，则有,http:/,5.若事件 相互独立，则有,http:/,注意：,1.独立与互不相容无必然的联系。2.n个事件独立与两两独立不是同一概念。,http:/,二 独立试验序列概型,在概率论中，把在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型。,http:/,二项概率公式（即贝努里定理）,设在独立试验序列中事件A的概率为p,则在n次试验中事件A恰发生m次的概率为,http:/,第二章,随机变量及其分布,http:/,第一节,随机变量的概念,http:/,一 随机变量的定义,设E为随机试验，它的样本空间Se.若对于每一个样本点e

11、 S，有一个实数X（e）与之对应，这样就得到一个定义在S上的单值实值函数XX（e）,则称X为随机变量,http:/,样本点与随机变量的函数关系为：e X(e),http:/,二 随机变量的特点,随机变量作为样本点的函数，有两个基本特点：一是变异性；二是随机性。,http:/,随机变量的分类,随机变量按其取值情况分为两大类：离散型随机变量和非离散型随机变量（主要研究连续型随机变量）。,http:/,第二节,随机变量的分布,http:/,一 离散型随机变量的分布,若随机变量X只可能取有限个或至多可列个值，则称X为离散型随机变量。,离散型随机变量的定义,http:/,概率分布的定义,设X为离散型随机

12、变量，它的一切可能取值为 记 此式称为X的概率函数，又称概率分布，简称分布。,http:/,离散型随机变量 概率分布基本性质,1.,http:/,2.,http:/,几个简单的分布,http:/,两点分布概率分布表,1.两点分布,http:/,2.01分布,01分布概率分布表,http:/,3.均匀分布,均匀分布概率分布表,均匀分布概率分布表,http:/,4.几何分布,几何分布概率分布表,http:/,5.退化分布,退化分布概率分布表,http:/,二 随机变量的分布函数,若X为一个随机变量,对于任何实数x,有 成立，则称为随机变量X的分布函数。,http:/,随机变量的分布函数性质,1,h

13、ttp:/,2 的不减函数（既可以是递增函数，也可以是水平不变函数），即 当 成立；,http:/,3,http:/,4F（x）至多有可列个间断点，在间断点处是右连续的F(x+0)=F(x).,http:/,分布函数与概率分布满足下列关系式：,http:/,三 连续型随机变量的分布,若对于随机变量X的分布函数F（x）,存在非负函数f(x),使对于任意实数x有,则称X为连续型随机变量,http:/,f(x)称为X的概率分布密度函数，简称概率密度,简记为Xf(x).,http:/,概率密度具有下列性质;,1.;,http:/,2.3.;,http:/,4.若f(x)在点x处连续，则有.,http:

14、/,第三节,二维随机变量及其分布,http:/,一 二维随机变量的概念,设随机试验的样本空间为S=e,X=X(e)和Y=Y（e）是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y）称为二维随机向量或二维随机变量。,http:/,二维随机变量的分布函数,设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，简称二维随机变量的分布函数。,http:/,二 二元离散型随机变量,若二维随机变量（X，Y）的全部取值(数对)为有限个或至多可列个，则称随机变量（X，Y）为离散型随机变量。,http:/,联合分布,设随机变量（X，Y）的所有可能取值为,且相对应的概

15、率为，则称 为随机变量（X,Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。,http:/,具有下列两个性质1；2.,http:/,边缘分布,对于随机变量（X，Y），称其分量X或Y的分布为（X，Y）的关于X或Y的边缘分布.,http:/,当（X，Y）为离散型，且其联合分布律为,http:/,则X的边缘分布为则Y的边缘分布为,http:/,条件分布,当（X，Y）为连续型，且其联合分布律为,http:/,则在已知Y 的条件下，X取值的条件分布为在已知X 的条件下，Y取值的条件分布为 其中 分别为X，Y的边缘分布.,http:/,三、二元连续型随机变量,对于二维随机变量（X，Y），若存在非负函数p(x,y)(

16、x,y为任意实数)，使得对于平面上的任意可度量的区域D，均有 则称（X，Y）为连续型随机变量，,http:/,联合分布密度,p(x,y)为（X,Y）的分布或称为X和Y密度的联合分布密度.,http:/,p(x,y)具有下列两个性质：1.p(x,y)0;2.,http:/,边缘分布密度,一般来说，当（X，Y）为连续型随机变量，且其联合分布密度为p(x,y),则X和Y的边缘分布密度为,http:/,联合分布函数,设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数 称为二维随机变量（X，Y）的分布函数或称为随机变量X 和Y的联合分布函数.,http:/,分布函数F(x,y)基本性质,1,htt

17、p:/,2F(x,y)分别为变量x和y的单调不减函数,http:/,3.对于任意固定的y或x,http:/,4.F（x,y）关于x右连续，关于y也右连续,http:/,5对于任意有下列不等式成立，即.,http:/,条件分布密度,当（X，Y）为连续型随机变量，且其联合分布密度为p(x,y),则在已知Yy的条件下，X的条件分布密度为,http:/,在已知Xx的条件下，Y的条件分布密度为.,http:/,四 随机变量的独立性,设（X，Y）是二维随机变量，若对于任意的ab,cd有 P（aXb,cYd）=P(aXb)P(cYd),则称随机变量X与Y相互独立.,http:/,对于离散型随机变量，X与Y独立的充要条件是,http:/,对于连续型随机变量，X与Y独立的充要条件是它们的联合密度等于两个边缘密度的乘积,即,http:/,第四节,随机变量函数的分布,http:/,随机变量函数,设X是一个随机变量，g(x)是x的一个函数，若当随机变量X取值x时，另一个随机变量W取值g(x),则称随机变量W为X的函数，记作W=g（X）.,http:/,离散型随机变量函数的概率分布,http:/,连续型随机变量函数的概率分布,设X是连续型随机变量，其概率密度为，且函数 处处可导,有（或），则W 概率密度为 其中:的反函数。,