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1、概率统计与随机过程,宋 晖 2012年秋,第二章 样本估计,统计基础区间估计单样本：估计均值预测区间两样本：估计均值差,区间估计（interval estimation）,引入点估计方法简单，意义明确，但无法判断估计结果的稳定性、估计值因样本不同产生误差考虑寻找参数存在的范围，以及落入该范围的概率根据样本数据，求得两个数值，构成一个置信区间（confidence interval，C.I.），给出参数的可能范围。估计大学生平均每月可用零用钱为1000元，该估计为单一数值，是点估计；若估计大学生平均每月可用零用钱介於6002000元，为区间估计。关系置信区间估计量基于点估计随着样本容量增大，2/
2、n随之减少，估计区间变小,则称随机区间 为 的置信水平为1-的置信区间,分别称为置信下限和置信上限。,置信水平也称为置信度,通常较小，1-较大,连续型总体,则取,例1：假设容器中装的硫磺酸容量逼近正态分布，7个容器中的容量分别为：9.8，10.2，10.4，9.8，10.0，10.2和9.6L。求所有容器均值的95%的置信区间。,问题分析：样本 xi N(,2)根据抽样数据，可得：1）样本均值 2）标准差求解：估计均值的置信区间,单样本：估计均值,样本均值符合正态分布 N(,2/n)存在历史经验参数 没有经验参数，未知？,故对于给定的置信水平 1-，查表可求得 Z/2 使得,等价地有：,的样本
3、均值为，根据Lindeberg-Levy定理,样本均值估计，=0已知,1-,Z1-/2,1-,于是 的置信水平为0.95 的一个置信区间为,未知参数 的置信水平为1-的置信区间,给出了 的点估计,给出了 所在的一个范围,，都可以作为 的点估计,其估计误差:,以上分析的可信度为95%,即若反复抽样100 次，则包含真值的区间 约有95 个，不包含的区间大约只有 5 个.,样本均值估计,未知,对给定的置信水平1-，可求得，使得,2的无偏估计分别为，那么,等价地有,故的置信水平为1-的置信区间为,均值的置信水平为1-的置信区间,例1 解答：假设容器中装的硫磺酸容量逼近正态分布，7个容器中的容量分别为
4、：9.8，10.2，10.4，9.8，10.0，10.2和9.6L。求所有容器均值的95%的置信区间。,解：根据抽样数据，样本均值和标准差分别为10.0和0.283.共有7个样本，自由度 n=6，=0.05查表可得 t=2.447。由此，的95%的置信区间为：,即：9.47 10.26,单边置信 某些应用中，只需要单边界，如：某条河流中汞的含量上限、C硬盘的寿命下限,对于给定的置信水平 1-，查表可求得 Z 使得,单边上界：,单边下界：,预测区间预测区间给出新样本可能出现的数据范围，以及置信度 在质量控制中，利用估测样本预测新样本的观测值。,例2：Citizen银行收到抵押申请，最新50个申请
5、样本中，平均值为257 300美元，假设总体标准差为25 000美元，那么置信度为95%时下一名顾客借贷金额？,问题分析：样本 xi N(,2)根据抽样数据，可得：样本均值、标准差 求解：预测值的置信区间,预测值的分布,假设：新观测值为X0，随机误差的方差为2，所有样本都来自于正态分布总体。构造统计量：,Y N(0,1)，利用统计量Y 的概率分布可以计算：,例2-解答：Citizen银行收到抵押申请，最新50个申请样本中，平均值为257 300美元，假设总体标准差为25 000美元，那么置信度为95%时下一名顾客借贷金额？,解：总体方差为25,000，样本值为257,300。y0.025=1.
6、96,即：207 812.43 x0 306787.57,预测区间计算，未知：对于未知均值、方差2未知的正态抽样分布，新观测值x0置信度为1-的预测区间为：,例3：随机检验30包瘦牛肉，样本结果的均值为瘦肉含量96.2%，标准差为0.8%，就一个新样本的99%置信的预测区间。,解：自由度n=29,t0.0005=2.756,99%置信的预测区间为：,即：93.96 x0 98.44,（其中，t/2是自由度为n-1，其右边面积为/2的t值）,总结单样本：估计均值,样本来自一个总体的置信区间：2已知、2未知单边置信区：2已知，2未知预测区间：2已知、2未知,例4：为了提高某化学产品得率,试采用新工
7、艺.在对比试验中,用老工艺进行了8 次试验，计算出得率的 样本方差，用新工艺进行了8 次试验,计算出得率的平均值,样本方差。假定老、新工艺的得率 且两样本相互独立。试求1-2的置信水平为0.95 的置信区间.,问题分析：已知：两个总体，均值分别为1和 2 方差12和221-2点估计值：为目标：找出其概率分布,两样本：估计均值差,根据中心极限定理的推论,抽样分布近似正态分布（n1,n230）均值：标准差：,1-2的1-置信区，12和22已知：,说明：在实例中，如果1-20的置信度很高，可以推断 12,例4-解答：老工艺进行8 次试验,得率的平均值 样本方差，新工艺进行8 次试验,得率的平均值,样
8、本方差。假定老、新工艺的得率分别为 两样本相互独立。试求1-2的置信水平为0.95 的置信区间。,解：由题给条件有，,求得1-2的置信度为0.95的置信区间为,问,新工艺是否能显著提高产品得率?,故不能认为新工艺显著提高了产品得率。,方差未知,12=22=2,为自由度n1-1和n2-1的卡方分布,T 符合自由度n1+n2-2的 t 分布,由此可知：,且,水平为1-的置信区间.,的无偏估计分别为,故 的置信度为 的置信区间为,/2,1-/2,总结两样本,样本来自两个总体均值差置信区 2已知，正态分布2未知，t分布方差比置信区间F分布,作业,推导 未知时，预测区间计算公式编程实现单样本均值和方差的区间估计。输入：样本（已收集的样本.xls文件）、置信度输出：均值估计、区间、样本均值和方差的概率分布图实现：1）xls文件读写C+或JAVA实现2）调用Matlab函数实现数据计算、画图3）分析结果，意义续在报告中4）设计自己的系统，以便不断扩充数据分析功能,
