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1、应用随机过程,主讲教师 段禅伦2011年秋季学期,计算机学院研究生专业基础课程应用数学基础,(Applied Stochastic processes),天道酬勤-刻苦钻研,滴水穿石,形而上(思考和应用)谓之道,形而下(基础与理论)谓之器（周易系辞）。提其要,钩其玄(韩愈劝学解);悠然心会,妙处难与君说（张孝祥,南宋）。昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路(晏殊蝶恋花:槛菊愁烟兰泣露，罗幕轻寒，燕子双飞去。明月不谙离恨苦，斜光到晓穿朱户。昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。欲寄彩笺兼尺素，山长水阔知何处)。,衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴（柳咏蝶恋花:伫依危楼风细细,望极春愁，暗暗生天际。草
2、色烟光残照里,无言谁会凭阑意。拟把疏狂图一醉，对酒当歌，强乐还无味。衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴）。众里寻他千百度，蓦然回首,那人却在，灯火阑珊处(辛弃疾青玉案：东风夜放花千树。更吹落，星如雨。宝马雕车香满路。风箫声动,玉壶光转，一夜鱼龙舞。蛾儿雪柳黄金缕,笑雨盈盈暗香去。众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在,灯火阑珊处)。,课程内容,研究生学位课程应用数学基础内容主要包括:预备知识:概率空间,随机变量及其分布,随机变量的数字特征,特征函数、母函数和拉氏变换,n维正态分布,条件期望。随机过程的概念与基本类型。Poisson过程。Markov链及连续时间的Markov链。平稳过程。,主要参考书目
3、,1刘次华.随机过程,华中科技大学出版社,2001;2陆大铨.随机过程及其应用,清华大学出版社,1986;3毛用才,胡奇英.随机过程,西安电子科技出版社,1998;4张波,张景肖.应用随机过程,清华大学出版社,2004;5Shedon M.Ross著,龚光鲁译.应用随机过程-概率 模型导论(第九版),人民邮电出版社,2007.,第1章 预备知识,1.1 概率空间 现实世界现象的任何实际模型,必须考虑到随机性的可能.也就是说所关心的量往往并不是事先可料的,这种量所展示的内在变化必须考虑在模型之中.可见通常使用的模型实质上是概率性的.课程将涉及自然现象中一些不同的概率性模型.为了既能掌握如何建立模
4、型,又能掌握随后对于这些模型的分析,我们必须具有坚实的概率论的基本知识.随机试验 随机试验是概率论的基本概念,试验的结果事先不能准确地预言,但具有如下三个特性:,(1)可以在相同的条件下重复进行;(2)每次试验的结果不止一个,但预先知道试验的所有 可能的结果;(3)每次试验前不能确定哪个结果会出现.样本空间 由(某)随机试验所有可能结果组成的集合.样本点或基本事件 随机试验的基本结果或的元素.必然事件与不可能事件:称必然事件;空集称不可能事件.的子集A由基本事件组成,通常称为事件.两个事件E与F的并EF、交EF(EF)和差E-F.称事件E与F互不相容,如果EF=.事件E的对立事件:EC=-E.
5、显然C=;EEC=,EEC=.,例1.1 设随机试验由投掷两颗骰子所组成,那么(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)此处结果(i,j)称为发生,如果第一颗骰子掷出i且第二颗骰子掷出j.若E=(1,6),(2,5),(3
6、,4),(4,3),(5,2),(6,1),则E是两颗骰子点数和为7的事件.若A=(3,1),(3,2),B=(3,2),(3,3),则AB=(3,1),(3,2),(3,3),AB=(3,2).若C=(1,1),则A,C;B,C分别互不相容.E的对立事件EC=-E,含有30个基本事件.,=,由于事件是集合,所以不仅具有并、交、差、取对立等运算；而且自然也适用于做上极限、下极限、极限等运算.在实际问题中,人们并不对样本空间的全部子集即所有的事件都有兴趣,只是更多的注意的某些子集、关心它们发生的可能性的大小即概率.将此述做数学抽象,便有以下概念:定义1.1 设是一个集合,F 是的某些子集组成的集
7、 合族,若(1)F；(2)如果AF,那么=-AF；(3)对n=1,2,AnF 时,必有 AnF,则称F为-代数(或Borel域).称(,F)为可测空间.,称F 中的元素为事件.由定义1.1,还可得到:(4)F；(5)若A,BF，则A-BF；(6)若AiF,i=1,2,则 F.定义1.2 设(,F)是可测空间,P()是定义在F上的实值 函数,如果(1)任意AF,0P(A)1;(2)P()=1;(3)若A1,A2,是两两互不相容(ijAi Aj=)事 件,则P()P(Ai),那么称P是可测空间(,F)上的概率.称(,F,P)为概率空间.称P(A)为事件A的概率.由定义1.2易知:(4)P()=0;
8、(5)若A,BF 且A B,则P(B-A)=P(B)-P(A)(单调性);(6)设An,n=1,2,则定义1.3 设(,F,P)为概率空间,G F,如果对任意的A1,A2,AnG,n=1,2,都有,则称G 为独立事件族。注意:概率是定义在可测空间事件上的函数,它的一个 直观性质是:若我们的试验不断地重复n次,则以概率1 地,事件A在总发生次数中的比率是P(A).P(AC)=1-P(A).因为A与AC互不相容,且AAC=,由概率定义(2)和(3)有:1=P()=P(AAC)=P(A)+P(AC)或P(AC)=1-P(A).即一个事件不发生的概率是1与它发 生概率的差.P(AB)=P(A)+P(B
9、)-P(AB).这是在A中或在B中的所有结果的概率,称之为加法公式.考虑P(A)+P(B).它是A中所有结果的概率加上B中所有,结果的概率.由于所有既在A中也在B中的结果在P(A)+P(B)中都算了两次,而在P(AB)中只算一次,所以必须有:P(A)+P(B)=P(AB)+P(AB)或P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).对概率单调性(定义1.2下的(5):若A,BF 且A B,则P(B-A)=P(B)-P(A)的一般考虑:P(B-A)=P(B-AB)=P(B(AB)=P(B)+P(AB)-P(AAB)=P(B)+(1-P(AB)-P()=P(A)+(1-P(AB)-1=P(A)-P(A
10、B);于是,若AB,则由P(B)-P(A)=P(B)-P(AB)=P(B-A)0,又可推得P(B)P(A).古典概型(基本事件有限,每个基本事件的发生都是等 可能的)下的概念与应用举例:,例1.2 设某人做反复投掷两枚硬币的试验,则该试验的样 本空间=(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)中的4个结果 都是等可能的,因而都有概率1/4.设A=(H,H),(H,T),B=(H,H),(T,H),即A是第一 枚硬币出现Head的事件,B是第二枚硬币出现Head的事 件.由加法公式,得到第一枚硬币出现Head或第二枚硬 币出现Head事件的概率:P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1
11、/2+1/2-P(H,H)=1-1/4=3/4.直接计算,也有P(AB)=P(H,H),(H,T),(T,H)=3/4.事件E或F或G中任意一个发生的概率:P(EFG)=P(EF)G)=P(EF)+P(G)-P(EF)G),=P(E)+P(F)-P(EF)+P(G)-P(EGFG)=P(E)+P(F)-P(EF)+P(G)-P(EG)-P(FG)+P(EGFG)=P(E)+P(F)+P(G)-P(EF)-P(EG)-P(FG)+P(EFG).对n个事件E1,E2,E3,En,用运归纳法可以证明:P(E1E2E3En)=即n个事件的并的概率,等于这些事件一次取一个的概率的和减去这些事件一次取两个
12、的概率的和,再加上这些事件一次取三个的概率的和,如此等等.,条件概率 假定我们投掷两颗骰子得到的36个结果是等可能的,其概率均为1/36.如果我们知到第一颗骰子是4,那么在已知这个信息时,两颗骰子的点数和为6的概率是什么?为计算此概率,我们做推理:已知第一颗骰子是4,我们的试验至多能出现6个结果:(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6).由于这些结果中的每一个本来就是以相同的概率发生的,它们应该仍旧有相等的概率.这就是说,已知第一颗骰子是4,则出现(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)中的每一个结果的(条件)概率是1/6,而同时在样
13、本空间中的其他30个点的(条件)概率是0.因此要求的概率是1/6.,如果以B和A分别记骰子的点数和为6的事件及第一颗骰子是4的事件,那么上述概率即已知A发生的条件下B发生的条件概率:P(B|A).对于一切事件E和F,当已知事件F发生,那么为了E发生,实际出现的结果必须是一个既在E中又在F中的结果,也就是必须在EF中的结果.现在,因为我们已知F已经发生,进而F就成为我们新的样本空间,因此,事件EF发生的概率就等于EF的概率相对于F的概率,即:P(E|F)=P(EF)/P(F).(P(F)0)例1.3 假定在帽子中混杂地放了写有1到10的10张卡片,然后抽取了其中的一张.如果我们被告知抽出的卡片上
14、 的数字至少是5,那么它是10 的条件概率是多少?,解:以E记抽出的卡片上的数字为10的事件,以F记抽出的 卡片上的数字至少为5的事件,要求的概率是P(E|F).由于卡片上的数字既是10又要至少为5当且仅当它是 10,所以EF=E.故 P(E|F)=P(EF)/P(F)=1/6或P(E|F)=P(E)/P(F)=1/6.例1.4 某家庭有两个孩子.已知两个孩子中至少有一个男 孩,问两个都是男孩的条件概率是多少?假设给定的样 本空间=(b,b),(b,g),(g,b),(g,g)且四种结果都 是等可能的.解:以B记两个孩子都是男孩的事件,A记两个孩子中至少,有一个男孩的事件,则所求的条件概率 P
15、(B|A)=P(BA)/P(A)=P(b,b)/P(b,b),(b,g),(g,b)=(1/4)/(3/4)=1/3.例1.5 薛云可以选修计算机基础课,也可以选修大学语文 课.如果他选修计算机基础课,那么得到A的概率为1/2.如果他选修大学语文课,那么得到A的概率为1/3.薛云 用投掷硬币来决定.此时,薛云在大学语文课上能得A的 概率是多少?解:令E为薛云选修大学语文课的事件,F为不管他选修哪 一课程都得A的事件,则所要求的概率是P(FE).由条件,概率公式并计算得:P(FE)=P(E)P(F|E)=(1/2)(1/3)=1/6.例1.6 假定在一个坛子中放有7个黑球,5个白球.我们不 放回
16、地从中摸取两个球.假设从坛中摸到哪一个球都是 等可能的,求摸取的两个球都是黑色球的概率.解:以F和E分别记摸取的第一个球是黑球的事件和摸取 的第二个球是黑球的事件.当已知摸到的第一个球是黑 球时,坛中还有6个黑球和5个白球,故P(E|F)=6/11.而 P(F)=7/12.所以要求的概率是 P(EF)=P(F)P(E|F)=(7/12)(6/11)=7/22.,例1.7 假定参加聚会的三个人都将他们的帽子扔到了房 间的中央.这些帽子先被弄混了,随后每个人在其中随 机地选取一个.问三人中没有人选到自己帽子的概率是 多少?解:为计算简单,我们首先计算问题的对立概率即至少有 一人选到他自己帽子的概率
17、.当以Ei(i=1,2,3)记第i个 人选到自己帽子的事件时,即要求P(E1E2E3).注意到P(Ei)=1/3,i=1,2,3;P(EiEj)=P(Ei)P(Ej|Ei)=(1/3)(1/2)=1/6,ij;P(E1E2E3)=P(E1E2)P(E3|E1E2)=(1/6)1=1/6.即知 P(E1E2E3)=3(1/3)-3(1/6)+1/6=2/3.从而知 P()=1-P(E1E2E3)=1/3.,对独立事件概念的进一步理解 独立事件E,F满足P(EF)=P(E)P(F).由条件概率公式 P(E|F)=P(EF)/P(F)知,这蕴涵了P(E|F)=P(E)(也蕴涵了P(F|E)=P(F)
18、.它说明,如果F已经发生这个事实并不影响E发生的概率,那么E和F就是独立的,即E的发生独立于F是否发生.不独立的两个事件E和F称为相依的.例1.8 假定我们扔两颗均匀的骰子.令E1表示两颗骰子的 点数和等于6的事件,F表示第一颗骰子的点数是4的事 件.那么 P(E1F)=P(4,2)=1/36;P(E1)P(F)=(5/36)(1/6)=5/216.可见E1和F不是独立的,即是相依的.,其原因是显然的:因为如果我们关心的是扔出和为6的可能性,那么当第一颗骰子停在4(或1,2,3,4,5)时,我们将高兴,那是我们还有机会得到总和为6;另一方面,当第一颗骰子停在6时,我们并不高兴,因为不再有机会得
19、到总和为6了.换言之,我们得到总和为6的机会依赖于第一颗骰子的结果,因此,E1和F不独立而是相依的.如果令E2表示两颗骰子的和等于7的事件,则E2和F独立.因为:P(E2F)=(4,3)=1/36;且 P(E2)P(F)=(1/6)(1/6)=1/36.n个事件的独立性.n个事件E1,E2,E3,En称为独立的,如果对于这些事件,的每个子集,rn,有 直观地看,事件E1,E2,En是独立的,如果其中任意一些事件发生的事实并不影响其他任何事件的概率.例1.9(不独立的两两独立事件)假定从装有号码分别为 1,2,3,4的四个球的瓮中抽取一个球.设E=1,2,F=1,3,G=1,4.如果取到每个球的
20、概率是等可能的,那么 P(EF)=1/4=(1/2)(1/2)=P(E)P(F);P(EG)=1/4=(1/2)(1/2)=P(E)P(G);P(FG)=1/4=(1/2)(1/2)=P(F)P(G).但 1/4=P(EFG)(1/2)(1/2)(1/2)=P(E)P(F)P(G).可见,即使E,F,G是两两独立的,也并非三个事件独立的.,贝叶斯公式 设E和F是事件,我们可以将E表示为 E=EFEFC.因为为了使一个试验结果点在E中,那么它或者既在E中也在F中,或者只E中而不在F中.考虑到EF和EFC是互不相容的,我们有 P(E)=P(EF)+P(EFC)=P(E|F)P(F)+P(E|FC)
21、P(FC)=P(E|F)P(F)+P(E|FC)(1-P(F).此式说明,事件E的概率是已知F发生时E的条件概率与已知F未发生时E的条件概率的加权平均,权重为各个条件事件发生的概率.,(),例1.11 考虑两个瓮.第一个瓮中有2个白球7个黑球,第二 个瓮中有5个白球6个黑球.我们抛掷一枚均匀的硬币,由其结果是正面还是反面,决定是从第一个瓮中还是从 第二个瓮中抽取一个球.已知取到的球是白球,问抛掷 的结果是正面的条件概率是多少?解:以W记取到的球是白球的事件,以H记抛掷的硬币是正 面向上的事件.要求的概率为P(H|W).P(H|W)=,例1.12 学生在回答多项选择题时,或者知道答案或者猜 测答
22、案.假定她知道答案的概率是p,而猜测的概率是1-p.假设她猜对的概率是1/m,这里m是多项选题可选的项 数.问在已知学生答题正确时,她确实知道答案的概率 是多少?解:以C和K分别记学生回答正确和她确实知道答案这两 个事件.于是 P(K|C)=如果m=5,p=1/2,那么学生对于她答得正确的题确实知 道答案的概率等于5/6.,例1.13 某化验室检测某种疾病的血液检查,当确实有病 时的有效率是95%.可是,该检测也在1%的健康人中产生“假阳性”结果(即一个健康人去检查,检测结果为阳性 的概率是0.01).如果总体人群中有0.5%真有此病,问已 知某人检测结果为阳性时,他有病的概率是多少?解:以D
23、记被检测的人有病的事件,以E记他的测试结果是 阳性的事件.要求的概率 P(D|E)=因此测试结果是阳性的人中,只有约32%确实患上了病.,贝叶斯公式的一般形式 对公式()做推广:假定F1,F2,Fn是互不相容的事件,使得=即F1,F2,Fn中正好有一个事件发生.通过 E=并由事件EFi,i=1,2,n互不相容的事实,可得 P(E)=此式展示了:对于给定的有且只有一个发生的事件F1,F2,Fn,我们可以通过首先对Fi中发生的一个事件取条件计算P(E).也就是说,P(E)等于P(E|Fi)的加权平均,每项用被取条件的那个事件的概率加权.,.,假定现在E已经发生,而我们关心的是确定Fi中哪个也发生了
24、.为此,我们由上式和条件概率公式,可得 P(Fj|E)=此式即所谓贝叶斯公式(Bayesformula).例1.14 你知道某一封信等可能地夹在三个不同的文件夹 的任意一个之中.若此信实际上在文件夹i(i=1,2,3)中 而你对文件夹i的快速翻阅发现你的信的概率记为i(i1).假定你查看了文件夹1但没有发现此信.问信 在文件夹1中的概率是多少?解:以Fi(i=1,2,3)记此信在文件夹i中的事件,而E是通,过对文件夹1搜索但并未看到信的事件.我们要求P(F1|E).由贝叶斯公式,得 P(F1|E)=习题1.假定所有n个参加聚会的人将他们的帽子扔在房间 的中央.然后每个人随机地取一顶帽子.证明没
25、有人选 到自己的帽子的概率为 并证明n时,此值e-1.,1.2 随机变量及其分布,随机变量 在做随机试验时,考虑的是试验结果本身,但具有更为重要意义的还是在试验结果上建立的某些函数.定义在概率空间(,F,P)上的实值函数,称为随机变量,如果 对任意实数x,e:X(e)x,eF.并称X(e)为F上的随机变量,简记为X.例2.1 以X记随机变量,它定义为两颗均匀骰子的和,那么 PX=2=P(1,1)=1/36;PX=3=P(1,2),(2,1)=2/36;PX=4=(1,3),(2,2),(3,1)=3/36;PX=5=(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)=4/36;PX=6=(1,5)
26、,(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)=5/36;PX=7=P(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)=6/36;,PX=8=P(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)=5/36;PX=9=(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)=4/36;PX=10=(4,6),(5,5),(6,4)=3/36;PX=11=(5,6),(6,5)=2/36;PX=12=(6,6)=1/36.换句话说,随机变量X能取由2到12的任一整数值,而且取每个值的概率由上式给出.因为随机变量X必须取2到12中的一个值,所以必定满足 1=.例2.2 假定我们
27、抛掷一枚出现正面概率为p的硬币直至正 面首次出现.以N记需要抛掷的次数,而且假定抛掷的结 果是相互独立的,那么,N是取值于1,2,3,中某个值的,随机变量,而且分别具有概率 PN=1=PH=p;PN=2=P(T,H)=(1-p)p;PN=3=P(T,T,H)=(1-p)2p;PN=n=P(,H)=(1-p)n-1p,n1.同样,满足,例2.3 假定我们的试验是观察电池在损耗前能用多久,但 我们并不关心电池的实际寿命,而只关心电池是否至少 能用两年.在这种情形下,我们可以定义随机变量I为 1,若电池的寿命是两年或更长,0,其他情形.如果以E记电池能使用两年或更长的事件,那么随机变量I称为E的示性
28、(indicator)随机变量(I的取值依赖于E是否发生).例2.4 假定相继地做独立试验,其中每次试验有m种可能 的结果,其概率分别为p1,p2,pm,=1.以X记直 至每一个结果至少出现一次所需的试验次数.该问题与其直接考虑PX=n,不如首先确定PXn,I=,这是在做n次试验后,至少有一个结果还没有出现的概率.以Ai记起初的n次试验后还没有出现结果i的事件,i=1,2,m,那么 PXn=现在,P(Ai)是起初的n次试验中,每一次结果在非i中的概率,所以由独立性,有 P(Ai)=(1-pi)n;类似地,P(AiAj)是起初的n次试验中,每一次结果在既,ij,ijk,),非i又非j的结果中的概
29、率,所以有 P(Ai)=(1-pi-pj)n;鉴于所有其他的概率都类似,因而我们可得 PXn=因为PX=n=PXn-1-PXn,利用代数恒等式(1-a)n-1-(1-a)n=a(1-a)n-1,我们即有 PX=n=.,ij,ijk,ij,ijk,在前面所讨论的四个例子中,被关心的随机变量,或者取有限个,或者取可数无限个可能的值.这类型的随机变量称为离散的.可是也存在取连续多个可能值的随机变量.该类型的随机变量称为连续的.如如果假定汽车的寿命取某个区间(a,b)中的任意值,则随机变量“汽车寿命X”连续.随机变量X的(概率累积)分布函数F()定义为:对于任意实数x,-x,F(b)=PXx.简言之,
30、F(x)记随机变量X取一个小于或等于x的值的概率.分布函数F()的性质:(1)F(x)是x的非减函数(x1x2F(x1)(x2);(2)lim F(x)=F()=1,lim F(x)=F(-)=0;(3)F(x)是x的右连续函数(F(x+0)=F(x).,x,x-,X的所有概率问题都可以用分布函数F()回答.例如,对于所有的ab PaXb=F(b)-F(a).如果我们需要X严格地小于b的概率,可以通过 PXb=lim PXb-h=lim F(b-h)这里 表示我们是在h递减到0时取的极限.注意:PXb不必等于F(b),因为F(b)还包括X等于b的 概率(X连续时等于;X离散时未必等于).离散随
31、机变量 一个最多取可数无限个可能值的随机变量,称为离散型随机变量.对于一个离散随机变量X,我们用 pk=PX=xk,k=1,2,h0+,h0+,定义其概率分布函数pk(k=1,2,)并称之为X的分布律.pk(k=1,2,)最多在可数可xk的值上是正的.也就是说,如果X必须假定是值x1,x2,之一,那么 p(xi)0,i=1,2,;p(x)=0,所有其他x值.而且有=1.概率累积分布函数F可以用概率分布列pk(即Px=k)示为 F(x)=.例如,假定X是由 p(1)=1/2,p(2)=1/3,p(3)=1/6,一切xix,给出的概率分布律,那么X的概率累积分布函数由 0,a1 1/2,1a2 5
32、/6,2a3 1,3a给出.分布函数F(x)的图形是,F(a)=,F(x),x,1/2,5/6,1,1,2,3,或 X 1 2 3 P 1/2 1/3 1/6,离散随机变量常以概率分布列分类.我们研究一些这样的随机变量.伯努利随机变量 假定一个试验,其结果可以分为成功或者失败.如果我们在试验结果是成功时,令X等于1;而在试验的结果是失败时,令X等于0.X的概率分布列由 p(0)=PX=0=1-p,p(1)=PX=1=p给出,其中p,0p1为试验结果成功的概率.这样的离散随机变量称为伯努利随机变量.二项随机变量 假定做了n次独立试验,其中每次结果为成功的概率为p,结果为失败的概率为1-p.如果以
33、X代表出现在n次试验中的成功的次数,那么X称为具有参数(n,p)的二项随机变量.参数为(n,p)的二项随机变量的概率质量函数由 p(i)=pi(1-p)n-i,i=0,1,2,n给出,其中=n!/(n-i)!i!.而且例2.5 抛掷4枚均匀硬币.假定其结果都是独立的.问得到 两个正面两个反面的概率是多少?解:以X记出现正面(即成功)的数目,那么X是参数为n=4,p=1/2的二项随机变量.因而知,PX=2=例2.6 已知某机器生产的一个产品是废品的概率为0.1,且与生产其他产品独立.在三个产品的样本中，至多有 一个废品的概率是多少?解:假定X是在此样本中废品的数目,那么X是参数为(3,0.1)的
34、二项随机变量.因而所求的概率由 PX=0+PX=1=0.972 给出.例2.8 假定在飞行中,飞机发动机失效的概率为1-p,且各,发动机独立地工作.如果至少50%的发动机保持运行,飞 机就能完成一次飞行,那么p取什么样的值,四个发动机 的飞机比两个发电机的飞机更可靠?解:因为题设每个发动机失效还是运行,都独立于其他发 动机,所以可以推定保持运行的发动机的个数是二项随 机变量.从而由 四个发动机的飞机完成一次成功飞行的概率=;两个发动机的飞机完成一次成功飞行的概率 及,即 化简该式,得 或.此式等价于3p-20或p2/3.因此,当发动机成功的概率p至少大到2/3时,四个发 动机的飞机更安全;而当
35、发动机成功的概率p低于2/3时,两个发动机的飞机更安全.例2.8 假定一个人的特殊特征(如眼睛的颜色,左撇等)是 以一对基因加以区分的.设d为显性基因,r为隐性基因.一个有dd基因的人纯显性,有rr基因的人纯隐性,而有 rd基因的人是混合型.纯显性与混合型外貌相像.孩子 从每个双亲那里得到一个基因.如果对于一个特殊的特,征,两个混合型的双亲共有四个孩子,问其中恰有三个 孩子有显性基因的外貌的概率是多少?解:如果我们假定每个孩子都等可能地从双亲的每一个 那里遗传一个基因,两个混合型双亲的孩子有一对基因 dd,rr,rd的概率分别为1/4,1/4,1/2.因为一个后代有显性基因的外貌,那他的基因对
36、或 是dd或是rd.于是,我们可以认定这样孩子的个数是按 二项分布(若X是参数为(n,p)的二项随机变量,则我们 就说X有参数为(n,p)的二项分布)的,其参数为(4,3/4).从而所求概率为,.,几何随机变量 假定进行独立试验直到出现成功的一个结果,其中每一个试验成功的概率都是p.以X记直到出现首次成功所需要做的试验次数,那么称X为具有参数p的几何随机变量.几何随机变量的概率分布列是:p(n)=PX=n=(1-p)n-1p,n=1,2,.当然,该分布律必定满足 泊松随机变量 取值于0,1,2,的随机变量X,称为具有参数的泊松随机变量,如果对于某个0,有,P(i)=PX=i=,i=0,1,2,
37、.该式定义了一个概率分布列,因为泊松随机变量在不同的数学领域有着广泛的应用.说明:泊松随机变量的重要性质是它可以用来近似二项随 机变量(如果二项参数n大,p小).例2.9 假定在书的一页上的印刷错误是一个具有参数=1的泊松随机变量,计算在此页上至少有一个错误的概 率.解:PX1=1-PX=0)=1-e-10.633.,例2.10 假定每天在高速路上发生的事故的数目是一个具 有参数=3的泊松随机变量,问今天没有发生事故的概 率是多少?解:PX=0=e-30.05.例2.11 考察计算1克放射性物质在一秒钟内释放的粒 子的数目的试验.如果我们已知平均有3.2个这样的 粒子被释放,那么出现不多于两个
38、粒子的近似概率是 多少?解:我们将这1克放射性物质想象为是由n个原子组成的,每个以概率3.2/n分解并且在随后的那一秒钟释放粒 子,这样我们看到粒子的数目非常近似于一个具有参 数=3.2的泊松随机变量.,因而,所求的概率是:PX2=0.382.连续随机变量 我们说X是一个连续型随机变量,如果存在一个定义在所有实数x(-,)上的非负函数f(x),使得对于任意实数集合B,都有性质 PXB=f(x)dx.函数f(x)称为随机变量X的概率密度函数.而且f(x)满足 1=PX(-,)=f(x)dx.,在实际中,常用的随机变量有两种类型:除离散型随机变量外,还有连续型随机变量.,关于X的所有概率陈述都能通
39、过f(x)回答:如 PaXb=f(x)dx;特别,当取a=b时,PX=a=f(x)dx=0.这说明,连续随机变量在假定为某个特殊值时的概率为零.概率累积分布函数F()与概率密度函数f()的关系是 F(a)=PX(-,a)=f(x)dx.对该式两边求导数,有=f(a)即密度函数是分布函数的导数(在连续点a处).密度函数的一个更为直观的解释可由下式描述:当为小实数时,即X包含在点a附近长度为的区间内的概率近似地为 f(a).由此,我们可以认定f(a)是随机变量在a附近的可能性大小的量度.有几个重要的连续随机变量常常出现在概率论中.均匀随机变量 一个随机变量称为均匀分布在区间(0,1)上,如果它的概
40、率密度函数给定为 1,0 x1 0,其他.由于f(x)0,说它是一密度函数,因为 f(x)dx=dx=1.,f(x)=,且对任意满足0ab1的a、b,有 PaXb=f(x)dx=b-a.此说,X在(0,1)的任意特定子区间中的概率等于该子区间的长度.一般地,称X是一个在区间(,)上的均匀随机变量,如果它的概率密度函数给定为,若x 0,其他.例2.12 计算均匀分布在(,)上的随机变量的概率累 积分布函数.解:由F(a)=f(x)dx并代入上式积分,得,f(x)=,0,a,a 1,a.例2.13 如果X均匀分布在(0,10)上,计算 X3;X7;1X6.解:PX3=;PX7=;P1X6=.均匀随
41、机变量X在(0,10)的每个子区间中的概率等于该子区间长度与(0,10)区间长度的比.,F(a)=,指数随机变量 如果一个连续随机变量X,其概率密度函数给定为:对于某个0,e-x,如果x0 0,如果x0则称X为具有参数的指数随机变量.指数随机变量X的分布函数F()为 F(a)=1-e-a,a0.且 F()=1.伽玛随机变量 概率密度函数给定为:对于0,0,f(x)=,若x0 0,若x0的连续随机变量,称为具有参数和的伽玛随机变量.()称为伽玛函数,()被定义为()=.对于整数,如=n,运用分部积分和归纳法容易证明(n)=(n-1)!正态随机变量 我们说X是具有参数和2的正态随机变量(或X服从参
42、数为和2的正态分布),如果X的概率密度函数,由,f(x)=,f(x)=,-x给出.这一密度函数是一条钟形曲线,该曲线关于x=对称.正态随机变量的一个重要性质是:如果X以参数和2正态地分布那么Y=X+以参数+和22正态地分布 对此事实,仅就0的情形证明如下(0同理可证).,x,f(x),-,记随机变量Y的分布函数为FY(),并有 FY(a)=PYa=PX+a=PX=FX()=做变量v=x+替换,得=对FY(a)关于a求导数,得 fY(v)=因而知Y是参数为+和22的正态分布.,前述事实的一个推论是:如果X以参数和2正态地分布,那么 Z=(X-)/以参数0和1正态地分布.即 f(t)=,-t.这时
43、随机变量Z的分布称为标准正态分布,记为 ZN(0,1).并称Z为X的标准化变量.这就是说:若XN(,2),则Z=(X-)/N(0,1).,常见随机变量的分布 分 布 分布律(离散型)或密度函数(连续型)0-1分布 PX=1=p,PX=0=q,0p1,p=q=1二项分布 PX=k=(n,k)pkqn-k,0p1,p=q=1,k=1,2,n泊松分布 PX=k=ke-/k!,0,k=0,1,2,几何分布 PX=k=pqk-1,0p1,p=q=1,k=1,2,均匀分布 f(x)=正态分布 f(x)=指数分布 f(x)=或f(x)=,n维随机变量及其概率分布,设(,F,P)是概率空间,X=X(e)=(X
44、1(e),Xn(e)是定义在上的n维空间Rn中取值的向量函数.如果对任意x=(x1,x2,xn)Rn 都有e:X1(e)x1,X2(e)x2,Xn(e)xnF,则称X=X(e)为n维随机变量或n维随机向量.称 F(x)=F(x1,x2,xn)=P(e:X1(e)x1,X2(e)x2,Xn(e)xn),x=(x1,x2,xn)Rn为X=(X1,X2,Xn)的联合分布函数.n维联合分布函数F(x1,x2,xn)具有性质:(1)对于每一个变元xi(i=1,2,n),F(x1,x2,xn)都是非降函数;(2)对于每一个变元xi(i=1,2,n),F(x1,x2,xn)都,是右连续函数;(3)对于Rn中
45、的任意区域(a1,b1;an,bn),其中aibi,i=1,2,n,成立 F(b1,b2,bn)-F(b1,bi-1,ai,bi+1,bn)+F(b1,bi-1,ai,bi+1,bj-1,aj,bj+1,bn)+(-1)nF(a1,a2,an)0;(4)F(x1,x2,xi,xn)=0,i=1,2,n,而 F(x1,x2,xn)=1.重要事实:定义在Rn上的实值函数F(x1,x2,xn),如果具有上述四个性质,则必存在一个概率空间(,F,P)及其上的n维随机变量X=(X1,X2,Xn),X的联合分布函数为,F(x1,x2,xn).在应用中,常见的n维随机变量也有两种类型:(1)若随机向量X=(
46、X1,X2,Xn)的每个分量Xi,i=1,2,n都是离散型随机变量,则称X是离散型随机向量.离散型随机向量X=(X1,X2,Xn)的联合分布列为:=P(X1=x1,X2=x2,Xn=xn)其中xiIi,Ii是离散集,i=1,2,n.X的联合分布函数 F(y1,y2,yn)=(y1,y2,yn)Rn.(2)若存在定义在Rn上的非负函数f(x1,x2,xn),对于任意(y1,y2,yn)Rn,随机向量X=(X1,X2,Xn)的联合分布函数F(y1,y2,yn)=则称X是连续型随机向量,f(x1,x2,xn)称为X的联合概,率密度.设Xt,tT是一族随机变量,若对任意的n2及t1,t2,tnT,x1
47、,x2,xnR,有 P(x1,x2,xn)=则称Xt,tT是独立的.若Xt,tT是一族独立的离散型随机变量,则上式等 价于P(=x1,=x2,=xn)=;若Xt,tT是一族独立的连续型随机变量,则上式等 价于(x1,x2,xn)=,其中(x1,x2,xn)是随机向量(X1,X2,Xn)的联合概率密度且 是随机变量 的边缘概率密度,i=1,2,n.独立性是概率论中的重要概念,独立性的判断通常是根 据经验或具体情况来决定的.,n维随机变量,以二维随机变量应用最广二维联合分布函数 尽管我们讨论了一般n维随机变量的概率分布.然而,被常常关注的是两个随机变量的概率分布陈述.为此我们着重予以讨论.任意两个
48、随机变量X和Y的联合概率累积分布函数为 F(a,b)=PXa,Yb,-a,b.X的边缘分布函数可以由X和Y的联合累积概率分布得到 FX(a)=PXa=PXa,Y=F(a,);Y的累积分布函数也可由X和Y的联合累积概率分布得到 FY(b)=PYb=PX,Yb=F(,b).在X与Y都是离散随机变量时,X和Y的联合概率分布律被定,义为 p(x,y)=PX=x,Y=y.X和Y的边缘分布律可由p(x,y)分别给出 pX(x)=p(x,y);pY(y)=p(x,y).我们说X和Y联合地连续,如果存在一个对于所有的实数x和y定义的函数f(x,y),对于所有的实数集合A和B满足:PXA,YB=f(x,y)dx
49、dy.函数f(x,y)称为X和Y的联合概率密度函数.X的边缘概率密度函数可以通过f(x,y)获得,方法是:,PXA=PXA,Y(-,)=f(x,y)dxdy=fX(x)dx.式中fX(x)=f(x,y)dy就是X的边缘概率密度函数.类似地,Y的边缘概率密度函数同样给出:fY(y)=f(x,y)dx.命题2.1 将上述讨论可引申叙述为:如果X和Y都是随机变量,g是一个二元(双变量)函数,则 g(x,y)p(x,y),离散情形;Eg(X,Y)=g(x,y)p(x,y)dxdy,连续情形.,例2.28 设X和Y联合地连续.如果g(X,Y)=X+Y,求EX+Y.解:EX+Y=(x+y)f(x,y)dx
50、dy=xf(x,y)dxdy+yf(x,y)dxdy=EX+EY.同样的推导在离散情形仍然有效.而且,对于任意常数a,b,有 EaX+bY=aEX+bEY.对于n个随机变量,象n=2一样地定义联合概率分布.此时,上式所对应的结果叙述为:若X1,X2,Xn是n个随机变量,则对于n个常数a1,a2,an(它们的线性组合)有 Ea1X1+a2X2+anXn=a1EX1+a2EX2+anEXn.,例2.29 掷三颗均匀的骰子,计算其期望和.解:以X记投掷三颗均匀的骰子得到的点数和,则 X=X1+X2+X3,Xi表示第i颗骰子的值.于是 EX=EX1+EX2+EX3=3(7/2)=21/2.例2.30
