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1、数学模型 动态模型,北京理工大学 王宏洲（微分方程模型）,关于动态模型,动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,微分方程模型的不同目的,预测某个时刻的状态，或者希望了解整个过程中不同时刻的状态；预测事物的长远发展趋势，了解事物长期运行下存在哪些规律。,行星定位；预测短期人口；预测生物种群数量求解析解、数值解,描绘行星运动轨道；人口稳定数量利用微分方程定性理论，不求解，分析解的性态,此前接触过的
2、微分方程模型,马尔萨斯人口模型,阻滞增长人口模型（Logistic模型）,N,将自然环境、资源的阻滞作用考虑进来。,本部分的主要内容,传染病模型药物动力学房室模型糖尿病的诊断香烟过滤嘴的功效烟雾的扩散与消失减肥计划新的人口模型离散人口模型Lanchester战争模型,自二十世纪七十年代以来，传染病再度肆虐人类，其主要表现有：被认为早已得到控制的传染病卷土重来，如结核病、STD、白喉、登革热、霍乱、鼠疫、流行性脑脊髓膜炎和疟疾等等。新发现数十种新传染病，如：AIDS、军团病、丙型肝炎、戊型肝炎、出血性结肠炎、SARS,我国目前有5亿人曾感染结核杆菌，2000年第四次全国结核病流行病学抽样调查发现
3、，我国的活动性肺结核患病率为367/10万，痰涂片阳性患病率为122/10万，估计我国现有活动性肺结核病人451万。,1、传染病概况,一、传染病模型,AIDS 正在全球范围迅速蔓延，尤其以非洲、东欧和中亚地区最为严重。据WHO估计，自首例艾滋病被发现以来至2003年底，全球约有34-46million HIV感染者和艾滋病患者，2000万人死亡。,我国近年来HIV感染人数以每年30%的速度增长。目前全国报告HIV感染者4万余人，估计约有感染者100万人(84万,WHR 2004)感染者主要分布在农村地区，男女比例约为5.2:1，其中20-29岁年龄组占57%。经静脉途径感染约占72%。,2、导
4、致新发传染病的主要因素,人类的人口增长和行为改变工业技术进步经济发展和土地开发利用国际旅游和商贸活动微生物适应与改变公共卫生措施的失衡,3、传染病的流行病学分类1、按传播方式分类：接触传播；经水和食物传播；经空气传播；经生物媒介传播；围产期传播2、按病原体在自然界的储存形式分类：人；动物；土壤；水,4、流行环节与影响因素,病人携带者受感染动物,传染源,传播途径,接触水食物医源性垂直媒介土壤,易感人群,社会因素,经济政治文化宗教风俗,自然因素,气候地理,5、患病过程(1)潜伏期(incubation period)：自病原体侵入机体到临床症状最早出现的这段时间称为潜伏期。(2)临床症状期:出现该
5、病特异性症状和体征的时期,是最主要自的传染期，因为此时病原体在人体内大量繁殖。(3)恢复期:某些传染病临床症状消失后的一段时间内仍可排出病原体,继续作为传染源。(4)传染期（communicable period):病人排出病原体的整个时期为传染期,6、传播途径(route of transmission),1、经空气传播(air-borne transmission)麻疹、流感,2、经水传播(water-borne transmission),霍乱、伤寒、细菌性病疾及甲型肝炎等,3、经食物传播(food-borne transmission),某些寄生虫病，结核、白喉等,4、接触传播(Con
6、tact transmission),狂犬病等,5、经昆虫、动物传播,6、经土壤传播(soil-borne transmission),7、医源性传播(iatrogenic transmission),建立传染病要考虑的因素非常多，如传染速度、医疗能力、死亡、新生人口数量、人口年龄性别结构等。具体到不同的疾病，还有传播途径、发作速度等问题。,此外，传染病模型可以参照用于讨论计算机病毒的传播特征等方面。,模型目标,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,模型假设,基本假设：传染病是由病人
7、通过“接触”健康人进行传播的.疾病流行区域内的人分为三类：S类易感人群；I类病人；R类移出者。为简单起见，假设本地区总人口不变，为N。,1、SI模型（只考虑S和I两类人）,(1)除染病、不染病之外，人群的个体之间没有差异。病人与易感者的个体在人群中混合均匀，即S类、I类人群的数量只与时间有关。记s(t)为t时刻健康人占总人口的比例i(t)为t时刻病人的比例，则s(t)+i(t)=1。,1、SI模型（只考虑S和I两类人）,(2)人群数量足够大，只考虑传播过程中的平均效应，即函数s(t)和i(t)可以视为连续且可微的。(3)每个I类的人每天“有效接触”的人数（包括病人、健康人）为常数。这个常数实际
8、上就是传染率，反映本地区的卫生水平。(4)不考虑出生与死亡，以及人群的迁入迁出因素。（简化问题）,构造模型,考虑t到t+t时间内病人人数的变化，根据假设(1)，应该分别是Ni(t)和Ni(t+t)，所以在t时间内受感染的人数为：,令t 0，得到微分方程：,(Logistic模型),模型求解,(Logistic模型),它的通解为,这个模型可以用于预报传染病爆发早期，患病人数的发展规律，并预测传染高峰的时间。,返回实际问题,SI模型图形分析,病人比例随时间的变化规律 病人数增长速率与病人数的关系,增派防疫、医疗人员,采取放假、隔离等措施,普及防疫措施、知识,调整临床医疗策略,SI模型结果分析,这个
9、模型的缺陷是显而易见的.比如t+时，i(t)1，这表明本地区最后所有人都会被感染。出现这种结果的原因是假设系统中只有两种人，即病人和易感人群，而且没有考虑病人会被治愈的因素。,1.假设(前面四条都和模型A一样，再添加一条)（5）病人以固定的比率痊愈，再次成为易感人群。每天被治愈的病人数占病人总数的比例为。,2、SIS模型（可治愈但不免疫模型）,表示日治愈率，表现的是本地区的医疗水平，所以1/就可以表示传染病的平均感染期，也是一个病人从发病到被治愈经历的时间。,根据假设5，Logistic模型被修改为：,构造模型,定义一个常数=，根据和1/的定义，就是一个病人在整个患病期间有效接触的平均人数，这
10、在模型里被称为接触数。将代入方程中，得到,求解这个方程，得到解为,模型求解,1时，t+则 i(t)1-1/。,画出解的图象为：,1，t+时i(t)0.,=,模型结果分析,1，t+时i(t)0.,=,1、假设：这里的假设类似于模型B，只是引入R类人群。分别记s(t)、i(t)、r(t)为病人、易感人群、移出者在总人口中所占的比例。s(t)+i(t)+r(t)=1。另外，日接触率，日治愈率。,3、SIR模型（免疫模型）,根据假设，模型被修正为,初值条件为i(0)=i0，r(0)=r0，s(0)=s0。,注意：此方程组无法求解析解。,可以求数值解,模型求解,采用常微分方程定性理论的分析办法，将方程组
11、转化成下面的形式：,其中s0，i0且s+i1。,这个方程是可以求解析解的。,求解得到：,模型求解,下面我们来看随着时间的推移，s(t)、i(t)、r(t)的变化规律。首先，t+时，分别以s,i,r记各自的极限，这些极限都存在。,模型分析,i=0?（用反证法）假设i 0，那么必然有i=0。根据极限的定义，对于充分大的t，都应该有i(t)/2，把这个结论代入方程组。,模型分析,dr/dt=i/2,这会导致r(t)+，这跟上面r(t)的极限也存在的结论有矛盾。,所以只能有：i=0。也就是说传染病最终将消失。,其次，考虑随着t的变化，i-s平面上解的轨线变化情况。大概的走势图为：,模型分析,=,1/是
12、一个边界点，为了让传染病不蔓延，需要调整s0和1/。具体的方法：一是降低s0，如接种疫苗，使S类人群直接变成R类；二是提高1/使之大于s0，=/,也就是降低而提高，强化卫生教育和隔离病人，同时提高医疗水平。,模型分析,对参数的估计：令解两端同时取t+，因为 i=0，得到,参数估计,根据历史数据和此公式就可以得到的估计值。,关于传染病模型，我们还可以进一步考虑更复杂的情形，如考虑出生率、死亡率、防疫措施的作用、潜伏期等。,其他类型的传染病模型,SIES模型健康染病潜伏期健康不免疫SIER模型健康染病潜伏期移出系统SIRS模型健康染病短时免疫健康(易感)考虑抵抗能力考虑地域传播考虑传播途径(接触、
13、空气、昆虫、水源等),二、药物动力学房室模型,药物的作用过程：,给药,药剂学过程,药物动力学过程,药物转化为可吸收状态,药物吸收入体内并参与循环，在血液中形成一定浓度。,药效动力学过程,血药浓度达到一定水平时，药物与受体相互作用产生药效。,药物动力学，定量地描述与概括药物通过各种途径（如静脉注射，静脉滴注，口服给药等）进入体内的吸收、分布、代谢和消除过程的“量-时”变化或“血药浓度-时”变化的动态规律。药物动力学研究各种体液、组织和排泄物中药物的代谢产物水平与时间关系的过程，并研究相关数学关系式。近20年来，其研究成果已经对指导新药设计、优选给药方案、改进药物剂型、提供高效、速效、长效、低毒、
14、低副作用的药剂，发挥了重要作用。,实际问题分析,药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量),血药浓度需保持在一定范围内给药方案设计,药物在体内吸收、分布和排除过程 药物动力学,建立房室模型药物动力学的基本步骤,房室机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移,本节讨论二室模型中心室(心、肺、肾等)和周边室(四肢、肌肉等),模型假设,中心室(1)和周边室(2),容积不变,药物在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比,药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外,模型建立,线性常系数非齐次方程,对应齐次方程通解,模型建立,模型分析
15、1,几种常见的给药方式,1.快速静脉注射,t=0时刻瞬时注射剂量D0的药物进入中心室,血药浓度立即为D0/V1,给药速率 f0(t)和初始条件,初始条件：,模型求解,1.快速静脉注射,模型分析2,初始条件,2.口服或肌肉注射,相当于药物(剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室。,吸收室药量 x0(t),3.恒速静脉滴注,t 较大时，c1(t)和 c2(t)趋于常数；t T,c1(t)和 c2(t)按指数规律趋于零,参数估计,各种给药方式下的 c1(t),c2(t)取决于参数k12,k21,k13,V1,V2,t=0快速静脉注射D0,在ti(i=1,2,n)测得c1(ti),由较大的 用最小二
16、乘法定A,由较小的 用最小二乘法定B,参数估计,模型评价,本案例是机理分析与数据处理相结合的有效方法，帮助我们了解处理实际应用问题时应有的思路。关于房室模型，究竟选取几个房室比较好好没有定论。通常的做法是先取一个，如果达不到满意的结果就再多取一个，甚至可以采用非线性结构，直到满意为止。可以借鉴用于物质在水源、土壤、空气中传播和检测等问题中，总的思路是把一个整体问题，分成若干个模块，讨论这些模块间的物质、能量转移,三、糖尿病的诊断,问题背景：糖尿病是一种代谢系统疾病，表现为血液和尿中含有过多的糖，主要原因是病人本身不能提供足够的胰岛素促使肝脏吸收体内多余的糖。,诊断早期糖尿病通常采用葡萄糖耐量检
17、查(GTT)：空腹一夜，先测量血糖G0，再服用或注射大量葡萄糖。在随后的三到五个小时内，测量病人血糖若干次，观察血糖曲线与标准曲线的偏差。,血糖调节机制,实际问题分析,医学背景知识：1、葡萄糖是人体的能量源泉，人体有一个最佳的血糖浓度，过高过低都会致病；,2、血糖调节系统框架：,葡萄糖输入系统,葡萄糖,肝脏,组织吸收,内分泌,激素,激素代谢,记G 为血糖浓度，H 为激素浓度，以此判断早期糖尿病。,模型假设,1、在血糖调节系统中只考虑G和H；2、假定受检者到医院时，体内G、H达到稳定值G0、H0，平衡状态；3、只考虑在平衡状态G0、H0附近的小偏差；4、G增则刺激H增，促进体内吸收葡萄糖而降低血
18、糖浓度；H增则G降，最后导致H也降下来。,G 为血糖浓度，H 为激素浓度,模型构造,由假设 1 和 4 可以得到下面方程组：,1、在血糖调节系统中只考虑G和H；4、G 刺激 H 增，促进体内吸收葡萄糖而降低血糖浓度；H 增则 G 降，最后导致 H 也降下来。,其中F1 表示G、H 对血糖浓度变化的影响；,F2 表示G、H 对激素浓度变化的影响；,J(t)为做 GTT 时，外加葡萄糖的速率，可以认为是一个脉冲函数。,由假设 2，GTT 前有J(t)0，且G、H 都达到平衡状态(不变化)，所以应有,模型分析,再由假设 3，g 和 h 都非常小，所以可以将F1、F2 在(G0,H0)附近做泰勒展开。
19、,模型分析,先考虑简化调整后的模型系数的正负。,设t=0时外部输入的葡萄糖被完全吸收，则当t 0时J(t)=0，g(0)=J(0),即所有注入的糖都转化成了血糖。,模型分析,g 0,h=0 时，,血糖恢复正常时，g=0,h 0，,根据微分方程平衡点的稳定性理论，0时特征根为实负的，故 t 时g(t)0，即GG0.,这表明血糖浓度最终会趋于稳定浓度，与实际情况吻合。,模型分析,当 0时特征根为一对共轭复根，可以计算得到,最终得到人体内血糖浓度的变化函数：,参数估计,注意到模型中含有5个未知参数，估计参数的办法有两个：,1、病人注射糖前，先测G0，然后在随后 4 个时刻测量血糖浓度，代入模型中。列
20、方程计算求解；,2、最小二乘法：病人注射糖前，先测G0，然后在随后 n 个时刻测量血糖浓度，代入模型中，利用最小二乘法求解。,第一种方法操作简单，但精度差；第二种方法精度较高，但操作起来有些复杂。,模型的灵敏度分析,则称模型在 M 的水平下对参数不灵敏。,则称参数在 M 的水平下对模型不灵敏。,所谓“灵敏”、“不灵敏”的具体含义,下面尝试对我们的糖尿病诊断模型进行灵敏度分析。,灵敏度分析,所以应该在注射糖之后多等一段时间再开始测量、估计参数较好。,灵敏度分析,从上面还能看出，模型对w 的反应并不很敏感，所以w可以作为GTT的基本指标来对糖尿病进行诊断。,模型评价,诊断指标：一般采用自然周期T=
21、2/w作为诊断的依据。一般而言，正常人的T=4小时，当受检人的T明显大于4小时后，可以确诊得了糖尿病。注意：4小时正是正常两餐的间隔。模型缺陷1：只适用于轻微患者(模型中假设g、h都非常小)；模型缺陷2：有时正常人也会出现指标异常，需要进一步检验，可能是其他激素在起作用，模型失效。,模型评价,1、对于相对复杂的问题，这里先建立概略模型，描述变量之间的大致关系，然后利用数学方法转变成相对简单的问题加以分析和讨论；,2、这里引入了灵敏度分析的概念，对于模型获取参数以及实用化具有重要意义。,西班牙安达鲁西亚是欧洲阳光最充裕、最干燥的地方之一，每年阳光照射时间平均达到1500小时。这里准备建设欧洲最大的太阳能发电站，预计2013年竣工以后，可以满足18万个家庭的用电需要，相当于每年减排60万吨温室气体。,太阳能集热塔共有超过1000块镜板，每块约为120平方米，它们就像向日葵一样，总是面朝太阳方向。这些镜板将阳光聚集到两座高塔之上，每座塔高165米。高塔顶端的水被加热，产生水蒸气，驱动涡轮机发电。,问题：这笔投资划算吗？,算算环保经济帐,
