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1、微 分 法 建 模,胡 红 亮,优化问题可以说是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常见的一类问题。,然后用数学工具（变量、常数、函数等）表示它们。,当你打算用数学方法类处理一个优化问题的时候，要考虑如下的几个方面：,要确定优化的目标是什么；,寻求的决策是什么；,决策受到那些条件的限制（如果有的话）；,最后要对结果做一些定性、定量的分析和必要的检验。,微分法建模，实际上就是利用微积分中讨论函数极值的方法建模，从而得到问题的优化结果。,回忆学习过的有关知识：,微积分：极 值,一元 y=f(x)f(x)0,f(x);f(x)0,极;f”(x)0,极单调分界点实际应用：驻点极值点最优点多元
2、z=f(x,y)zx=zy=0,驻点(x,y)最优点,看如下的四个例子：,1、不允许缺货的存贮模型,2、允许缺货的存贮模型,3、最优价格模型,4、森林救火模型,1、不允许缺货的存贮模型,问 题,配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。,已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。,要 求,不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。,问题分析与思考,一次生
3、产一天量，每次100件，无贮存费，准备费5000元。,日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。,一次生产10天量，每次1000件，贮存费900+800+100=4500元，准备费5000元，总计9500元。,平均每天费用950元,每天费用5000元,一次生产50天量，每次5000件，贮存费4900+4800+100=122500元，准备费5000元，总计127500元。,平均每天费用2550元,10天生产一次平均每天费用最小吗?,周期短，产量小,周期长，产量大,问题分析与思考,这是一个优化问题，关键在建立目标函数,显然不能用一个周期的总费用作为目标函数,目标函数每天总费用的平均值
4、,模 型 假 设,1.产品每天的需求量为常数 r；,2.每次生产准备费为 c1,每天每件产品贮存费为 c2；,3.T天生产一次（周期）,每次生产Q件，当贮存量 为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；,4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。,建 模 目 的,设 r,c1,c2 已知，求T,Q 使每天总费用的平均值最小。,模 型 建 立,贮存量表示为时间的函数 q(t),t=0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.,一周期总费用,一周期贮存费为,A=QT/2,每天总费用平均值（目标函数）,模型求解,求 T 使,模型分析,模型应用,c1=5000,c2=1，r=1
5、00,回答问题,经济批量订货公式（EOQ公式）,每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2，,用于订货、供应、存贮情形,T天订货一次(周期),每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货。,不允许缺货的存贮模型,问：为什么不考虑生产费用？,2、允许缺货的存贮模型,当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失。,原模型假设：贮存量降到零时，Q件立即生产出来(或立即到货),现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费 c3,缺货需补足,A,B,周期T,t=T1贮存量降到零,一周期贮存费,一周期缺货费,一周期总费用,总费用平均值（目标函数）,求 T,Q 使,为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作
6、T,Q记作Q,不允许缺货模型,允许缺货模型,记,允许缺货模型,注意：缺货需补足,Q每周期初的存贮量,每周期的生产量R（或订货量）,Q不允许缺货时的产量(或订货量),3、最优价格模型,问题,根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大,假设,1）产量等于销量，记作 x,2）收入与销量 x 成正比，系数 p 即价格,3）支出与产量 x 成正比，系数 q 即成本,4）销量 x 依赖于价格 p,x(p)是减函数,建模与求解,收入,支出,利润,进一步设,求p使U(p)最大,使利润 U(p)最大的最优价格 p*满足,最大利润在边际收入等于边际支出时达到,建模与求解,结果解释,q/2 成
7、本的一半,b 价格上升1单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度）,a 绝对需求(p很小时的需求),b p*,a p*,思考：如何得到参数a,b?,4、森林救火,森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，灭火费用大；队员少，森林损失大，灭火费用小。综合考虑损失费和灭火费，确定队员数量。,问题分析,问题,记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).,损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.,损失费正比于森林烧毁的面积，烧毁面积与失火、灭火的时间有关，灭火时间又取决于消防队员的数目。,灭火费既与消防队员的人数有关，又与
8、灭火时间长短有关。,关键是对B(t)作出合理的简化假设.,问题分析,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形,分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.,存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小,灭火费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.,灭火费：一部分器材消耗和队员薪金，与队员人数与灭火所用时间均有关；另一部分是运送队员和器材等的一次性支出，只与队员人数有关。,当 时，火势越来越大；,当 时，如果消防队员救火能力足够强，火势会越来越小，且 时，有,模型假设,3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位
9、面积损失费）,1）0tt1,dB/dt 与 t成正比，系数(火势蔓延速度）,2）t1tt2,降为-x(为队员的平均灭火速度）,4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3,假设1）的解释,火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径 r与 t 成正比,模型建立,目标函数总费用,模型建立,目标函数总费用,模型求解,求 x使 C(x)最小,结果解释,/是火势不继续蔓延的最少队员数,其中 c1,c2,c3,t1,为已知参数,模型应用,c1,c2,c3已知,t1可估计,c2 x,c1,t1,x,c3,x,结果解释,c1烧毁单位面积损失费,c2每个队员单位时间灭火费,c3每个队员一次性费用,t1开始救火时刻,火势蔓延速度,每个队员平均灭火速度.,为什么?,可设置一系列数值,由模型决定队员数量x,
