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1、第3章 微商的应用,重点：求极值难点：证明等式或不等式 微商的应用,3.1 微分中值定理,3.1.1 函数的极值与费马(Fermat)引理,函数极值的直观描述如图.,费马(Fermat)引理,f(x)f(x0).,费马引理的几何意义,若曲线 y=f(x)在极值点处可微,则此曲线在该极值点处必有一条水平切线.,对可微函数而言,极值点一定是驻点,但反过来,函数的驻点却不一定是极值点.,综上所述,函数的极值点是它的驻点或微商不存在的点.,3.1.2 微分中值定理,罗尔定理的几何意义是,在所给的条件下,曲线 y=f(x)至少有一条水平切线.,注意：罗尔定理的三个条件是结论成立的充分条件.三个条件缺任意
2、一个条件,定理的结论可能不成立.,确定方程根所在的区间,函数构造方法,练习 试证4ax3+3bx2+2cx=a+b+c在(0,1)内至少有一个根.,拉格朗日(Lagrange)中值定理,拉格朗日中值定理的几何意义是,在所给的条件下,曲线 y=f(x)至少有一条切线平行于联结曲线端点的弦.,双未知数不等式,拉格朗日中值定理主要用来证明双未知数不等式.此时,结论中应含有如下形式,或者变形后含有如下形式,有些单未知数不等式虽然也可用拉格朗日中值定理来证明，但变形技巧难于掌握,更好的方法我们在下一节里介绍.,练习,有限增量公式,证明恒等式,由拉格朗日中值定理可得,3.1.3 微分中值定理的证明,罗尔定
3、理的证明 在闭区间 a,b 上连续的函数一定存在最大值和最小值.下面分两种情况加以证明.最大值与最小值相等.函数 f(x)在a,b上恒为常数，常数的微商等于零,则罗尔定理的结论成立.,拉格朗日中值定理的证明,3.2 用微商研究函数,3.2.1 函数单调性的判别法,练习 求下列各函数的单调区间.,驻点或微商不存在的点,都可用来划分函数的单调区间.,单调性证明不等式,从而,单调性证明不等式,证 将原不等式变形为,3.2.2 函数极值的检验法,取得极值的充分条件,证明(P126),取得极值的充分条件,证明(P128),3.2.3 曲线的凸性与拐点,拐点(c,f(c),拐点的必要条件,由题设知a+b=
4、2,6a+2b=0,解之得a=1,b=3.,拐点的充分条件,注意：二阶微商不存在的点，其曲线上对应的点有可能是拐点,如(0,0)是曲线 y=x1/3的拐点.,练习 求曲线 y=3x5 5x4+4的拐点.,3.2.4 函数作图,例 作函数 y=xe x 的图形.解 函数的定义域是(,).,求y,y,并列表,y=xe x(,),渐近线,函数作图,渐近线 y=0,3.3 最优化问题,3.3.1 最大值、最小值,假设函数 f(x)在闭区间a,b上连续,且 f(x)至多有有限个驻点和微商不存在的点.,注意：对于实际应用问题而言,若求得唯一驻点,该驻点就是最值点.,3.3.2 最优化问题,最优化问题,就是
5、建立一个目标函数,再利用微商来求其最大值或最小值.,解 设每亩多种 x 株,则总产量为 f(x)=(50+x)(75 x),0 x20.问题归结为求目标函数 f(x)在0,20上的最大值.,根据实际问题,x应取整数.,f(12)=3906f(13)=3906,每亩种62株葡萄藤时,产量达到最高3906kg.,3.4 相对变化率与相关变化率,3.4.1 边际与边际分析(P143-146),了解经济学中的边际概念：,3.4.2 弹性与弹性分析,需求弹性分析,例 设某产品的需求函数为Q(p)=75 p2,p为价格.求 p=4时的边际需求与需求弹性,并说明其经济意义.,其经济意义是,当价格从 p=4上
6、涨到 p=5时,需求量会减少8个单位.,其经济意义：需求变动的幅度小于价格变动的幅度.,收益弹性分析,例 设某产品的需求函数为Q(p)=75 p2,p为价格.当 p=4,6时,若价格 p 上涨1%,总收益将变化百分之几？p为多少时,总收益最大？,因此,当p=4时,价格p上涨1%,总收益将增加0.46%；当p=6时,总收益将减少0.85%.,因此,当 p=5时,总收益最大.,3.4.3 相关变化率,如果变量 y 与变量 x 之间的关系由方程 f(x,y)=0所确定,则将变量 x,y 都当作变量 t 的函数,方程 f(x,y)=0两边对变量 t 求微商.,练习(P150例6),3.5 洛必达(LH
7、ospital)法则,3.5.1 洛必达法则,洛必达法则应用举例,运用洛必达法则比第1章的方法简单.,对的结果要有一个印象,即x sinx,tanx x,x arctanx都与x3是x0时的同阶无穷小.,说明x时指数函数远远快于幂函数,幂函数远远快于对数函数.,洛必达法则注意事项,在应用洛必达法则前,首先要检验条件是否满足.洛必达法则可以连续使用.,洛必达法则完全失效的例子.,3.5.2 洛必达法则的证明,柯西(Cauchy)中值定理 若函数 f(x),g(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可微，则在(a,b)内至少有一点,使得,注意：当 g(x)=x时,即得拉格朗日中值定理；,结论可写成,洛必达法则的证明(P158),3.5.3 其他类型不定式的极限,练习 求下列极限.,结合等价无穷小与初等变形求极限,例 求极限,解 原式=,1型的初等变换,涉及幂指函数的微商,结合变量替换求极限,为了利用 x0 时的等价无穷小,当所求极限是 x a 时可作变换 u=x a,把问题变成 u 0的形式.当 x 时可用变换 u=1/x.另外根据具体的问题,也可作其它一些变换.,第3章 重要概念与公式,微分中值定理：罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理,最值点：实际应用问题中的唯一驻点即是最值点.,相对变化率相关变化率,曲线的交点个数,把常量当作变量证明不等式,最大长度,解 如图所示,设,
