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1、1,一、位置函数与速度函数之间的联系,二、积分上限的函数及其导数,三、牛顿莱布尼茨公式,5.2 微积分基本公式,2,设物体从某定点开始作直线运动,在t时刻物体所经过的路程为S(t),速度为vv(t)S(t)(v(t)0),则在时间间隔T1,T2内物体所经过的路程S可表示为,一、位置函数与速度函数之间的联系,上式表明,速度函数v(t)在区间T1,T2上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间T1,T2上的增量.这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？,即,3,二、积分上限的函数及其导数,则积分上限的函数,证明,有,定理1 若,4,若F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数,则,
2、定理2(牛顿莱布尼茨公式),证明,因为F(x)和(x)都是f(x)的原函数 所以存在常数C 使 F(x)(x)C.,由F(a)(a)C及(a)0,得CF(a),F(x)(x)F(a).,由F(b)(b)F(a),得(b)F(b)F(a),即,三、牛顿莱布尼茨公式,5,牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.,三、牛顿莱布尼茨公式,若F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数,则,定理2(牛顿莱布尼茨公式),6,解,解,例1,例2 计算正弦曲线ysin x在0 p上与x轴所围成的平面图形的面积A,7,例3 汽车以每小时36km速度行驶,到某处需要减速停车.设
3、汽车以等加速度a5m/s2刹车.问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离？,t2(s).,当汽车停止时,有,v(t)v0at105t.,刹车后 t 时刻汽车的速度为,v(t)105t 0,汽车刹车时的初速度为,解,于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为,8,解,如被积函数有绝对值,注:,再用,去掉后,N-L公式.,应分区间将绝对值,例4 求,9,例5,已知函数,求积分上限的函数,解,10,证明,例6 设f(x)连续,u1(x),u2(x)可导,则有,设F(x)为f(x)的一个原函数,则有,于是,11,例7,解,例6 设f(x)连续,u1(x),u2(x)可导,则有,例8,解,12,例9 设f(x)
4、为连续的周期函数,周期为T,试证,证明,13,证明,因为,按假设 当0tx时,f(t)0(xt)f(t)0 所以,从而F(x)0(x0)因此F(x)在(0)内为单调增加函数,14,例11 求极限,解,原式,15,解,设,求,定积分为常数,设,则,故应用积分法定此常数.,例12,16,例13 试证:,证明,17,如果函数f(x)在闭区间a b上连续 则在积分区间a b上至少存在一个点x 使下式成立,性质7(定积分中值定理),积分中值公式,注:积分中值定理中的 x 可在开区间(a,b)内取得.,证明,令,由定理1(原函数存在定理)知:,可导,根据拉格朗日中值定理,至少存在一点,使得,即,18,作 业 习题5-2(P240):5.(3)6.(7)(12)9.10.12.,
