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1、第五讲微积分运算,4.1 求极限运算,Mathematica提供了计算函数极限的命令的一般形式为：Limit函数,极限过程具体命令形式为命令形式1:Limitf,x-x0功能:计算,其中f是x的函数。命令形式2:Limitf,x-x0,Direction-1功能:计算，即求左极限,其中f是x的函数。命令形式3:Limitf,x-x0,Direction-1功能:计算，即求右极限，其中f是x的函数。注意:在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时,Mathematica的默认状态为求右极限。,例1.求极限解：Mathematica 命令为In1:=Limitn2*Sin1/n2,n-Infinit
2、yOut1=1,例2:求极限解：Mathematica 命令为In2:=Limit(1+1/n)n,n-InfinityOut2=E,例3:写出求函数 在x-0的三个极限命令解：Mathematica 命令为1.LimitExp1/x,x-02.LimitExp1/x,x-0,Direction-13.LimitExp1/x,x-0,Direction-1例4.求解：Sinx/x x-的极限Mathematica 命令为In3:=LimitSinx/x,x-InfinityOut3=2Out3=0例5求解：e1/x x-0-的极限In4:=LimitExp1/x,x-0,Direction-1
3、Out4=0例6求解：1/(x*(lgx)2)-1/(x-1)2在x-1的极限In5:=Limit1/(x*Logx2)-1/(x-1)2,x-1Out5=1/12,例7.求极限解：sinxtanx(x-Pi/2)Mathematica 命令为In1:=LimitSinxTanx,x-Pi/2Out1=1,例8:求极限解 cos(1/x)(x-0)Mathematica 命令为In2:=LimitCos1/x,x-0Out2=Interval-1,1,例9:求极限解 e1/x(x-0+)Mathematica 命令为In3:=LimitExp1/x,x-0,Direction-1Out3=,例
4、10 求极限解:若输入命令In4:=Limit IntegrateArcTant2,t,0,x/Sqrt1+x2,x-+Infinity屏幕会出现如下的红色英文提示信息:On:none:Message SeriesData:csa not found.ComplexInfinity+encountered.说明不能得出正确结果。此时可以借助人工处理，如用一次洛必达法则后再求极限:In5:=LimitArcTanx2/(x/Sqrt1+x2),x-InfinityOut5=,4.2 求导数与微分 4.2.1 求一元函数的导数与微分例6:变上限函数 求导解：Mathematica 命令为In6:=
5、DIntegrateSqrt1-t2,t,0,x2,xOut6=In7:=Simplify%Out7=,显函数求导命令形式1:Df,x 功能:求函数f对x的导数。命令形式2:Df,x,n 功能:求函数f对x的n阶导数。,参数方程求导,对参数方程 所确定的函数y=f(x),根据公式和命令形式1，可用三个Mathematica命令实现对参数方程的求导:r=Dx,t；s=Dy,t；Simplifys/r 或用Mathematica自定义一个函数：pDx_,y_,t_:=Modules=Dy,t,r=Dx,t,Simplifys/r 来实现。,例7.求参数方程 的一阶导数,解:Mathematica命
6、令In8:=x=t*(1-Sint);y=t*Cost;s=Dy,t;r=Dx,t;Simplifys/r Cost-t SintOut8=-1-t Cost-Sint或In9:=pDx_,y_,t_:=Modules=Dy,t,r=Dx,t,Simplifys/rIn10:=pDt*(1-Sint),t*Cost,t Cost-t SintOut10=-1-t Cost-Sint,隐函数求导,由方程f(x,y)=0所确定的函数y=y(x)的导数可用一个自定义函数完成，这个函数为:impDeqn_,y_,x_:=Modules,r,t,s=Deqn,x,NonConstants-y;r=Sol
7、ves,Dy,x,NonConstants-y;t=Dy,x,NonConstants-y/.r;Simplifyt,例8.In11:=DTanx+a,xOut11=Seca+x 2In12:=D2(x/Logx),xOut12=In13:=Dx*Tanx-Sqrtx,xOut13=In14:=DSinxn*Cosn*x,xOut14=In15:=PlotEvaluateDSinx2,x,x,-2,2Out15=,练习.1 要对一个方程求导，应该怎么做？例如方程y5+2y-x-3x7=02 选择一道与求导有关的应用题，用mathematica数学软件命令来计算。,微分 微分是函数增量的线性主部
8、，函数y=f(x)的微分与导数的关系为:dy=df=f(x)dxMathematica命令为：命令形式：Dtf 功能:对函数f(x)求微分df例9.求微分.解:In13:=DtSinx2 Out13=2 x Cosx2 DtxIn14:=DtSinv Out14=Cosv Dtv,例.In1:=DtSinu6 Out1=6 CosuDtuSinu5In2:=Dtx*Sin2x Out2=,练习.1 一幢楼的后面是一个很大的花园，在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室深入花园宽2m，高3m，温室正上方是楼房的窗台。清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上。因为温室是
9、不能承受梯子压力的，所以梯子太短不行，现有一架7m长的梯子。问：它能达到要求吗？通过mathematica计算至少需要多长？2 在你所学的微积分教材中，选择两道有关泰勒公式计算的习题，用mathematica数学软件命令来计算。,4.2.2 求多元函数偏导数与全微分偏导数对多元函数f(x1,x2,xn)的求导数的命令有如下几个：命令形式1:Df,x或 Df,x,n 功能:求函数f对x的偏导数；命令形式2:Df,x1,x2,功能:求函数f高阶混合偏导数；命令形式3:Df,x,NonConstants-v1,v2,功能:求函数f对x的偏导数，其中v1,v2,是关于x的函数。,例10:求z=asin
10、(xy)对y和 对z的偏导数.解:Mathematica命令In15:=Da*Sinx*y,y Out15=axCosx yIn16:=DExpx+y+z2,z Out16=例11:对函数,求解:Mathematica命令In17:=Dx3*y2+Sinx*y,x,y Out17=,例12:对函数,求解:Mathematica命令 In18:=Dx3*y2+Sinx y,x,3;Out18=例13.，其中y，z是x的函数。解:Mathematica命令In19:=Dx2+y2+z2,x,NonConstants-y,zOut19=2 x+2 y Dy,x,NonConstants-y,z+2
11、z Dz,x,NonConstants-y,z,例,例,全微分多元函数f(x,y,z,)的全微分命令同一元函数的微分，其命令为：命令形式:Dtf 功能:求函数f的全微分。例14:求 的全微分dz。解:Mathematica命令In20:=Dtx2+y2Out20=2 x Dtx+2 y Dty,Mathematica有如下两个求全导数的命令：命令形式1:Dtf,x 功能:求函数f的全导数。命令形式2:Dtf,x,Constants-c1,c2,功能:求函数f的全导数，其中f中的变元与x无关。,例15:求 的全导数，其中y是x的函数。解:Mathematica命令In21:=Dtx2+y2,xO
12、ut21=2 x+2 y Dty,x,例16:求，其中y是与x无关的独立变量。解:Mathematica命令In22:=Dtx2+Sinx y+z2,x,Constants-yOut22=2 x+y Cosx y+2 z Dtz,x,Constants-y,4.3求不定积分命令形式:Integratef,x功能:计算不定积分。例17:计算解:Mathematica命令In23:=Integrate1/(Sinx2 Cosx2),xOut23=-(Cos2 x Cscx Secx),4.4求定积分命令形式1:Integratefx,x,xmin,xmax功能:计算定积分，xmin，xmax分别表
13、示积分变量的下限和上限。命令形式2:NIntegratefx,x,xmin,xmax功能:计算定积分的数值积分，xmin，xmax必须是数字，不能是字母。命令形式3:Integratefx,y,x,xmin,xmax,y,ymin,ymax功能:计算重积分,xmin,xmax,ymin,ymax表示积分限。,例18.计算定积分解:Mathematica命令In24:=Integrate(1+x-1/x)*Expx+1/x,x,1/2,2Out24=例19.计算广义积分解:Mathematica命令In25:=Integrate1/x4,x,1,+InfinityOut25:=例20.计算瑕积分
14、解:Mathematica命令In26:=Integratex/Sqrt1-x2,x,0,1Out26=1,例21:计算定积分解:本题用定积分基本公式是积不出来的，用上面命令2可以计算出结果：In27:=NIntegrateExpx2,x,0,1Out27=1.46265例22：计算，D由y=1,x=4,x=2y所围解:对二重积分要先化为累次积分，定好积分限后，再使用命令形式3。本题的Mathematica命令为In28:=Integratex*y,x,2,4,y,1,x/2 Out28=例23.计算解:Mathematica命令In29:=Integratex2+y,x,0,1,y,x2,S
15、qrtxOut29=,4.5函数展开成幂级数,命令形式:Seriesf,x,x0,n功能:把函数f在x=x0点展开成幂级数，最高项为n次。命令形式:Normalexpr功能:去掉幂级数表达式expr中的截断误差项，获得剩余的多项式。例24.将函数 展开为x的最高次为6的幂级数。解:Mathematica命令In30:=Seriesx*ArcTanx-LogSqrt1+x2,x,0,6Out30=,例25.将函数 展开为关于(x-2)的最高次为4的幂级数。解:Mathematica命令In31:=Series1/x2,x,2,4Out31=In32:=Normal%Out32=数学实验:用正弦函数sin x的不同Taylor展式观察函数的Taylor逼近特点。,练习.1 在某化学反应里，由实验得到生成物的浓度y与时间t有如下表所示的关系，求浓度与时间的关系的经验公式。2 在你学习过的数学教材中，分别选择一道有关偏导数和全微分的习题，用mathematica数学软件命令来计算。,第五讲结束谢谢,
