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1、,一、函数、极限、连续,三、多元函数微分学,二、导数与微分,微分学,四、微分学应用,一、函数、极限、连续,1.函数,定义:,定义域,值域,设,函数为特殊的映射:,其中,定义域：使表达式有意义的实数全体或由实际意义确定。,函数的特性,有界性,单调性,奇偶性,周期性,复合函数(构造新函数的重要方法),初等函数,由基本初等函数,经有限次四则运算与有限次,复合而成且能用一个式子表示的函数.,例如.函数,基本初等函数:,常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数,2 极限,极限定义的等价形式,(以 为例),极限存在准则及极限运算法则,无穷小,无穷小的性质;,无穷小的比较;,常用等价无穷小:,
2、两个重要极限,等价无穷小代换,存在(或为),定理,(洛必达法则),说明:定理中,换为,之一,条件 2)作相应的修改,定理仍然成立.,洛必达法则,3.连续与间断,函数连续的定义,函数间断点,第一类（左右极限存在）,第二类（左右极限至少有一个不存在）,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,重要结论：初等函数在定义区间内连续,例3.设函数,在 x=0 连续,则 a=,b=.,提示:,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点,极限存在,例4.设函数,试确定常数 a 及 b.,二、导数和微分,导数 定义:,当,时,为右导数,当,时,为左导数,微分:,关系:,可导,可微
3、,导数几何意义:切线斜率,1.有关概念,例5.设,在,处连续,且,求,解:,2.导数和微分的求法,正确使用导数及微分公式和法则（要求记住！）,隐函数求导法,参数方程求导法,高阶导数的求法(逐次求一阶导数）,例6.求由方程,在 x=0 处的导数,解:方程两边对 x 求导,得,因 x=0 时 y=0,故,确定的隐函数,例7.,求,解:,关键:搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,三、多元函数微分法,1.多元显函数求偏导和高阶偏导,2.复合函数求偏导,注意正确使用求导符号,3.隐函数求偏导,将其余变量固定，对该变量求导。,4.全微分,5.重要关系:,例8.求,解法1:,解法2:,在点(1,2)处的偏导
4、数.,解：设,则,例9.设,四、导数与微分的应用,1.微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,函数单调性的判定及极值求法,若,定理 1.设函数,则 在 I 内单调递增,(递减).,在开区间 I 内可导,3.函数的性态:,2.导数的几何意义,极值第一判别法,且在空心邻域,内有导数,极值第二判别法,二阶导数,且,则 在点 取极大值;,则 在点 取极小值.,例10.确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,例11.求函数,的极值.,解:1)求导数,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,因,故 为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,定理2.(凹凸判定法),(1)
5、在 I 内,则 在 I 内图形是凹的;,(2)在 I 内,则 在 I 内图形是凸的.,设函数,在区间I 上有二阶导数,凹弧凸弧的分界点为拐点,例12.求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1)求,2)求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3)列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸,点(0,1)及,均为拐点.,凹,凹,凸,的连续性及导函数,例13.填空题,(1)设函数,其导数图形如图所示,单调减区间为;,极小值点为;,极大值点为.,提示:,的正负作 f(x)的示意图.,单调增区间为;,.,在区间 上是凸弧;,拐点为,提示:,的正负作 f(x)的示意图.,形在区间 上是凹弧;,则函数 f(x)的图,(2
6、)设函数,的图形如图所示,曲线方程为参数方程,切线方程,切向量,法平面方程,4.多元函数微分法的应用,(1)在几何中的应用,求曲线的切线及法平面,曲面 在点 M 的法向量,法线方程,切平面方程,法线方程,当光滑曲面 的方程为显式,切平面方程,上求一点,使该点处的法线垂直于,例14.在曲面,并写出该法线方程.,提示:设所求点为,则该点的法向量为,利用,得,平面,法线垂直于平面,点在曲面上,说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.,极值必要条件,函数,偏导数,但驻点不一定是极值点.,且在该点取得极值,则有,存在,(2)极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,时,具有极值,极值充分条件,的某邻域内具
7、有一阶和二阶连续偏导数,且,令,则:1)当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2)当,3)当,时,没有极值.,时,不能确定,需另行讨论.,若函数,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值:,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如,引入辅助函数,则极值点满足:,方法2 拉格朗日乘数法.,解该方程组，得极值点。,例15.,要设计一个容量为,则问题为求x,y,令,解方程组,解:设 x,y,z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z 使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱,试问,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此,当高为,
