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1、一、函数的连续性,二、函数的间断点,1.8 函数的连续性与间断点,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、函数的连续性,变量的增量,若变量u从初值u1变到终值u2 则u2-u1就叫做变量u的增量 记作Du 即Du=u2-u1,设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义 当自变量x在该邻域内从x0变到x0+Dx时 对应的函数 y 的增量为Dy=f(x0+Dx)-f(x0),函数的增量,y=f(x),提问 变量的增量一定大于零吗？,下页,设函数 y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义 如果,函数连续的定义,那么就称函数 y=f(x)在点x0处连续,等价关系:,设x=x0+Dx 则当Dx0时 x
2、x0 因此,下页,讨论 如何用e-d 语言叙述函数的连续性定义？,e 0 d 0 x:|x-x0|d 有|f(x)-f(x0)|e,提示,设函数 y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义 如果,函数连续的定义,那么就称函数 y=f(x)在点x0处连续,下页,设函数 y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义 如果,函数连续的定义,那么就称函数 y=f(x)在点x0处连续,左右连续性,左右连续与连续的关系,函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续,下页,函数在区间上的连续性,在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续 如果区间包括端
3、点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续,连续函数举例,1 多项式函数P(x)在区间(-+)内是连续的,这是因为 函数P(x)在(-+)内任意一点 x0处有定义 并且,下页,2 函数 y=sin x 在区间(-+)内是连续的,这是因为 函数y=sin x在(-+)内任意一点x处有定义 并且,函数在区间上的连续性,在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续 如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续,连续函数举例,首页,二、函数的间断点,间断点的定义,设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提下 如果
4、函数 f(x)有下列三种情形之一,(1)在x0没有定义,则函数 f(x)在点x0不连续 而点x0称为函数 f(x)的不连续点或间断点,(2)虽然在x0有定义 但 f(x)不存在,(3)虽然在x0有定义且 f(x)存在 但 f(x)f(x0),下页,间断点举例,例1,下页,例2,当x0时 函数值在-1与+1之间变动无限多次,所以点x=0是函数的间断点,所以点x=0称为函数的振荡间断点,间断点举例,下页,所以点x=1是函数的间断点,如果补充定义 令x=1时y=2 则所给函数在x=1成为连续 所以x=1称为该函数的可去间断点,间断点举例,例3,下页,所以x=1是函数f(x)的间断点,如果改变函数f(
5、x)在x=1处的定义 令f(1)=1 则函数在x=1成为连续 所以x=1也称为此函数的可去间断点,间断点举例,例4,下页,因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象 我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点,间断点举例,例5,下页,通常把间断点分成两类 设 x0是函数f(x)的间断点 如果左极限f(x0-0)及右极限f(x0+0)都存在 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点 不属于第一类间断点的间断点 称为第二类间断点 在第一类间断点中 左、右极限相等者称为可去间断点 不相等者称为跳跃间断点 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点,间断点的类型,下页,例6,解:,下页,从而,在点x=1处连续，试确定常数a,b的值.,要使f(x)在点x=1处连续，必须满足,例7,解:,从而,确定常数a的值，使f(x)在x=0处连续.,要使f(x)在点x=0处连续，必须满足,结束,
