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1、一、变上限定积分,第四章函数的积分学,第六节微积分的基本公式,二、微积分的基本公式,一、变上限定积分,如果 x 是区间 a,b上任意一点，定积分,表示曲线 y=f(x)在部分区间 a,x 上曲边梯形AaxC 的面积，,如图中阴影部分所示的面积.,当 x 在区间 a,b 上变化时,阴影部分的曲边梯形面积也随之变化，,所以变上限定积分,是上限变量 x 的函数.,记作(x)，,即,(x),定理 1 若函数 f(x)在区间 a,b 上连续，,则变上限定积分,在区间 a,b 上可导，,并且它的导数等于被积函数，,即,证按导数定义，,给自变量 x 以增量 x，x+x a,b，,由(x)的定义得对应的函数(
2、x)的量(x)，,即,(x)=(x+x)-(x),x+x,根据积分中值定理知道，在 x 与 x+x 之 间至少存在一点 x，,(x),又因为 f(x)在区间 a,b 上连续，,所以，当x 0 时有 x x，f(x)f(x)，,从而有,(x),故,使,成立.,定理 1 告诉我们，,是函数 f(x)在区间 a,b 上的一个原函数，,这就肯定了连续函数的原函数是存在的，,所以，定理 1 也称为原函数存在定理.,变上限定积分,解根据定理 1，得,例 2,求 F(x).,解根据定理 1，得,例 3,求(x).,解,(x),例 4,解,二、微积分的基本公式,定理 2 如果函数 f(x)在区间a,b上连续，,F(x)是 f(x)在区间 a,b 上任一原函数，,那么,证由定理 1 知道,f(x)在 a,b 上的一个原函数，,又由题设知道 F(x)也是 f(x)在 a,b 上一个原函数，,由原函数的性质得知，同一函数的两个不同原函数只相差一个常数，,即,把 x=a 代入式中，,则，常数 C=F(a)，,于是得,令 x=b 代入上式中，,移项，得,再把积分变量 t 换成 x，,为了今后使用该公式方便起见，把 式右端的,这样 式就写成如下形式：,得,例 5 计算下列定积分.,解,例 6 计算下列定积分.,解,解把被积函数化简.,例 8 计算,解,
