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1、2-7 拉（压）超静定问题,一.静定与超静定的概念,引例:在日常生活中乃至在工程中我们常常遇到仅靠静力平衡方程无法求得约束反力的例子。“两个和尚抬水吃，三个和尚没水吃”，恐怕是最早说到超静定问题的例子了。1774年，欧拉在研究桌子四条腿的受力问题时才真正开始研究超静定问题。,2-7 拉（压）超静定问题,静定问题：若未知力（外力或内力）的个数等于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部未知力，这类问题称为静定问题，相应的结构称静定结构。,平面力系：共线力系 汇交力系 平行力系,平衡方程数：,未知力数：,1 2 2,1 2 2,2-7 拉（压）超静定问题,超静定问题：若未知力（外力或内力
2、）的个数多于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定全部未知力，这类问题称为超静定问题或静不定问题.,平面力系：共线力系 汇交力系 平行力系,平衡方程数：,未知力数：,1 2 2,2 3 4,2-7 拉（压）超静定问题,超静定次数：未知力个数与平衡方程数之差，也等于多余约束数,多余约束：在静定结构上加上的一个或几个约束，对于维持平衡来说是不必要的约束（但对于特定地工程要求是必要的）称多余约束。对应的约束力称多余约束反力,由于超静定结构能有效降低结构的内力及变形，在工程上（如桥梁等）应用非常广泛。,相应的结构称超静定结构或静不定结构。,2-7 拉（压）超静定问题,二、超静定问题的一般解法
3、,(1)列出平衡方程；,(3)列出物理方程（即胡克定律）；,(2)根据杆或杆系的变形几何关系，建立变形几何方程,（变形协调方程、变形协调条件）；,(4)联立求解。,2-7 拉（压）超静定问题,例 4 图示两端固定直杆，已知：F，l1，E1，A1，l2，E2，A2，求：FA，FB。,解：为一次超静定问题,1静力平衡方程,2变形几何方程,(1),(2),3物理方程,(3),2-7 拉（压）超静定问题,4联立求解，得到,讨论：当E1=E2，A1=A2时,2-7 拉（压）超静定问题,解:画A结点受力图，建立平衡方程,未知力2个，平衡方程1个，为一次超静定。,例2-17 结构如图，,解超静定问题的关键是
4、找出求解所有未知约束反力所缺少的补充方程。结构变形后各部分间必须象原来一样完整、连续、满足约束条件-即满足变形相容条件。,3）代入物理关系，建立补充方程,2）如图三杆铰结，画A节点位移图,列出变形相容条件。要注意所设的变形性质必须和受力分析所中设定的力的性质一致。由对称性知,4）联立、求解：,2-7 拉（压）超静定问题,例2-18,1）变形相容条件：,图示结构，各杆EA不同列出求解该结构杆静力平衡方程和相容方程。,解：,本题为一次超静定,用几何法分析变形,A,c,b,设A点横移（左、右任选）、设右移,图中几何关系：,即：,2-7 拉（压）超静定问题,2）物理方程,3）平衡方程：,把物理方程代入
5、变形相容方程,可求得用内力表示的相容方程。,须注意各杆内力应与所设变形一致,取节点A研究：,2-7 拉（压）超静定问题,图中1，2杆伸长，对应为拉力，3杆缩短，应对应为压力。,A,2-7 拉（压）超静定问题,例2-19,(1)建立坐标系,桌腿下部四个端点坐标是,(2)平衡方程,(3)变形相容方程-四点共平面,桌腿间距2aa，高为h的长方桌，在对角线的1/4处受力F作用(如图),求出桌腿所受的力。,2-7 拉（压）超静定问题,(4)物理方程,、式联立求解：,RA=RC=F/4,RB=0,RD=F/2,例2-20刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料相同，许用应力为，材料的弹性模量为 E，杆长
6、均为l，横截面面积均为A，试求结构的许可载荷P,2-7 拉（压）超静定问题,解：静力平衡条件：,变形协调条件：,代入物理方程：,2-7 拉（压）超静定问题,三.装配应力,例2-21装配应力如图结构，中间杆短h,求装配后内力。,解：静力平衡条件：,变形协调条件：,引用胡克定律：,2-7 拉（压）超静定问题,例2-22,1）画受力图,写静力平衡方程,三个杆受力如图，列出平衡方程变形相容条件,解:,2）画变形图，找变形相容条件,变形以后三杆的端点仍共直线。,三杆下端坐标为,(-a,L+L3),(0,L+L2+),(b,L+L1),得到:b(L3-L2-)=a(L2+-L1),建立坐标系,四.温度应力
7、,超静定问题中有了多余约束限制了杆温度变化所引起的变形，从而在杆中产生内力。这种内力产生的应力则称为温度应力。,例2-23图示的等直杆AB的两端分别与刚性支承连接。设两支承间的距离(即杆长)为L,杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为，试求温度升高t时杆内的温度应力。,解：温度升高以后，杆将自由地伸长(图b)。现因刚性支承B的阻挡，使杆不能伸长，相当于在杆的两端加了压力而将杆顶住。由平衡方程可知两端的轴向压力相等，而压力的大小仍不知道。,变形几何方程,L=Lt-LF=0,2-7 拉（压）超静定问题,物理方程,计算表明，在超静定结构中，温度应力是一个不容忽视的因素。在铁路钢轨接头处
8、，以及混凝土路面中，通常都留有空隙；高温管道隔一段距离要设一个弯道，都为考虑温度的影响，调节因温度变化而产生的伸缩。如果忽视了温度变化的影响，将会导致破坏或妨碍结构物的正常工作。,说明原先认为杆受轴向压力是对的，该杆的温度应力为压应力。若杆为钢杆，其=1.210-5/()，E=210GPa，则当温度升高t=40时，杆内的温度应力上式算得,由此得温度应力为=FN/A=Et,=Et=100106Pa=100 Mpa(压应力),例2-23温度应力：如图所示，钢柱与铜管等长为，置于二刚性平板间,受轴向压力.钢柱与铜管的横截面积、弹性模量、线膨胀系数分别为s、s、s，及c、c、c。试导出系统所受载荷仅由
9、铜管承受时，所需增加的温度。（二者同时升温）,CL2TU22,解：变形协调条件为铜管伸长等于钢柱伸长，即,五.拉（压）杆超静定问题解法的讨论,解拉（压）超静定问题必须正确地画出结构的变形图，然后分析结构特点，找出结构变形前后的不变量或者等量关系，再用数学方法刻画它,从而给出补充方程。观察问题的角度不同所采用的方法也会有很大差异。同一题，不同的解法难、易、繁、简也相去甚远。我们必须仔细分析找出最恰当的办法来。,1.比较变形法,常用于结构较为简单，一些特定节点位移已知且计算也较为简单的问题。,2.几何法分析变形,是求解超静定杆系的基本方法，常用于各杆的变形关系较为简单，超静定次数较低的杆系的求解。
10、但是，一般情况下分析变形寻找等量关系较为困难。要注意利用对称与反对称关系。,对称与反对称的利用,例如：三根杆EA相同，求杆的内力。,解：本题可将荷载P向C点平移,正对称,反对称,正对称部分,反对称部分,N2=0,3.解析法分析变形,如下非对称问题也可以转化为对称与反对称问题。,=,+,对于变形较为复杂，几何分析较为困难的问题可以把结构放到坐标系中，给出变形后各节点的坐标。根据约束条件，就重要节点的共线、共面、共圆以及直线和圆的共点等特征，用解析几何的方法刻画变形相容关系。,（2）三角形的面积关系：,（1）变形相容方程：,以如图不对称结构为例，各点座标为：AO(xo,yo),B(xB,yB),C
11、(xC,yC),D(xD,yD),+,=,5.用能量法解超静定问题,6.有限元法解超静定问题,对一些结构超静定次数很高的结构，只有借助有限元法利用计算机进行计算。这要等到以后再继续学习这方面的内容。,4.比拟法,可以把桌子腿受力问题比拟成合质量与质心坐标已知，求四个位置上质点的质量分布问题（如图）。,较为复杂的结构用能量法求解就会稍微容易些由于各杆的内力与变形方向一致,所以各杆的内力功之和必等于外载荷所做的功,补充方程为:,5.用能量法解超静定问题,作业：2-24,6-1,6-2,6-4,6.有限元法解超静定问题,对一些结构超静定次数很高的结构，只有借助有限元法利用计算机进行计算。这要等到以后再继续学习这方面的内容。,4.比拟法,可以把桌子腿受力问题比拟成合质量与质心坐标已知，求四个位置上质点的质量分布问题（如图）。,较为复杂的结构用能量法求解就会稍微容易些由于各杆的内力与变形方向一致,所以各杆的内力功之和必等于外载荷所做的功,补充方程为:,谢 谢 大 家!,
