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1、第四章 数字滤波器,第一节 引 言,一、什么是数字滤波器,顾名思义：其作用是对输入信号起到滤波的作用；是由差分方程描述的一类特殊的离散时间系统。它的功能：把输入序列通过一定的运算变换成输出序列。不同的运算处理方法决定了滤波器的实现结构的不同。,二、数字滤波器的工作原理,h(n),x(n),y(n),则LTI系统的输出为：,三、数字滤波器表示方法,有两种表示方法：方框图表示法；流图表示法.数字滤波器中,信号只有延时，乘以常数和相加三种运算。所以结构中有三个基本运算单元：加法器，单位延时，乘常数的乘法器。,1、方框图、流图表示法,Z-1,单位延时系数乘相加,方框图表示法：,a,2.例子,例：二阶数
2、字滤波器：,其方框图结构如下：,Z-1,Z-1,x(n),y(n),b0,a1,a2,四、数字滤波器的分类,滤波器的种类很多，分类方法也不同。1.从功能上分；低通、带通、高通、带阻。,模拟滤波器,数字滤波器,2.从实现方法上分:FIR、IIR实现线性滤波器时，通常采用如下线性常系数差分方程。系统函数1）当，系统函数分母为1，即输出仅由输入当前与过去的输入信号决定，称作有限冲激响应滤波器（FIR）。这类滤波器保证稳定，拥有良好的线性相位，但需要较高的阶次才能获得希望的频率的性。2）只要有一个ai不为零，这类滤波器是递归的，即任何时刻的输出与其过去的输出信号有关，称作无限冲激响应滤波器（IIR）。
3、这类滤波器可以用较少的阶次获得良好的频率特性，有稳定性问题，但线性相位无法保证。,假定输入信号x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自占有不同的频带。当x(n）经过一个线性系统（即滤波器）后即可将欲去除的成分有效地去除。但如果信号和噪声的频谱相互重叠，那么经典滤波器将无能为力。,|X(ejw)|,w,wc,有用,无用,wc,|H(ejw)|,|Y(ejw)|,w,wc,3.从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器1）经典滤波器,它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计出，那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。现代滤波器把信号和噪声都
4、视为随机信号，利用它们的统计特征（如自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算法，然后用硬件或软件予以实现。现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的工作，这一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器。,2）现代滤波器,第二节 理想滤波器与非理想滤波器,过渡带为零，阻带|H(j)|=0 通带内幅度|H(j)|=const.H(j)的相位是线性的。,理想滤波器,理想滤波器特点,理想低通滤波器与线性相位,低通,离散时间,连续时间,(1)连续时间,(2)离散时间,A.实际滤波器的频域特性,非理想滤波器的时域和频域特性讨论,1）通带，阻带，3）过渡带，,第三节 基于
5、窗的滤波器,窗函数设计法一、设计方法 1、设计思想 先给定理想filter的频响，所要求设计一个FIR的filter的频响为，使 逼近 2、设计过程 设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理想filter的单位抽样响应，然后加时间窗对 截断，以求得FIR filter的单位抽样响应h(n)。,二、窗函数对频响的影响 1、理想LF的单位抽样响应理想低通filter的频响 为,1,0,因为其相位，所以 是偶对称，其对称中心为，这是因为 时，即 为其最大，故 为其对称中心。又是无限长的非因果序列,n,n,0,.,.,.,.,.,.,1,2、加矩形窗 加窗就是实行乘操作，而矩形窗就是截断数据，这相当于
6、通过窗口 看，称 为窗口函数。,其他n值,因h（n）是以 偶对称的。长度为N，所以其对称中心应为，所以h（n）可写作,h（n）=,n为其他值,3、h（n）的频响 h（n）的频响 可通过傅式变换求得，为了便于与 的频响 相比较，利用卷积定理,(1)对于矩形窗的频响,其中，为幅度函数，为相位函数。,（2）对于理想LF的频响,其中幅度函数 相位函数,（3）h（n）的频响,其中，为幅度函数，为相位函数。,4、窗函数频响产生的影响从几个特殊频率点的卷积过程就可看出其影响:,（1）时，,也就 在 到 全部面积的积分。因此，H（0）/H（0）=1（用H（0）归一化）。,0,0,（2）时，正好与 的一半相重叠
7、。这时有。,(3)时，的主瓣全部在的通带内，这时应出现正的肩峰。,（4）时，主瓣全部在通带外，出现负的肩峰。,（5）当 时，随 增加，左边 旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积 也随着 的旁瓣在通带内的面积 变化而变化，故 将围绕着零值而波动。,(6)当 时，的右边旁瓣将进入 的通带，右边旁瓣的起伏造成 值围绕 值而波动。,1,0,0.5,5、几点结论（1）加窗后，使频响产生一过渡带，其宽度正好等于窗的频响 的主瓣宽度（2）在 处出现肩峰，肩峰两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少则取决于旁瓣的多少。（3）吉布斯（Gibbs）效应 因为窗函数的频响的幅度函数为这是一个很特殊的函
8、数，分析表明，当改变N时仅能改变 的绝对值的大小，和主瓣的宽度，旁瓣的宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，也就是说，不会改变归一化频响 的肩峰的相对值。对于矩形窗最大相对肩峰为8.95%，不管N怎样改变，最大肩峰总是 8.95%，这种现象称作吉布斯效应。,三、各种窗函数 1、基本概念（1）窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。（2）对窗函数要求 a）希望窗谱主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带，这 是因为过渡带等于主瓣宽度。b）尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，这样可使肩峰 和波纹减少。2、矩形窗 时域表达式：频域表达式（频谱）：幅度函数：,3、三角形（Bartlett）窗时域表达式：,1,0 1
9、 2 3 4,频谱：,第一对零点为，即，所以主瓣宽度，比矩形宽一倍。,4、汉宁窗（升余弦窗）其窗谱可利用如下方法求出，将 变形为又由于 其中又考虑到，这里,所以有,当 时，窗谱分析 可知，它等于三部分之和，旁瓣较大程度地互相抵消，但主瓣加宽一倍，即为,汉宁窗是 时，特例,5、海明窗，又称作改进升余弦窗 其窗函数为仿照汉宁窗的分析方法可以得其频响的幅度函数为 其主瓣宽度仍为，（旁瓣峰值/主瓣峰值）1%有99.963%的能量集中在主瓣内。海明窗是下一类窗的特例,6、布拉克曼窗，又称二阶余弦窗 加上余弦的二次谐波分量，可以进一步抑制旁瓣相应的幅度函数为 其主瓣宽度为，是矩形窗的三倍。,7、五种窗函数
10、的比较（1）时域窗,布拉克曼,三角,矩形,海明,（2）各个窗的幅度函数，如P.137，图4-15，注意图中 是dB表示的。（3）理想LF加窗后的幅度函数（响应）如P136，图4-14所示。,四、窗函数法的设计 1、设计步骤（1）给定频响函数（2）求出单位抽样响应（3）根据过渡带宽度和阻带最小衰减，借助窗函数 基本参数（图4-15）确定窗的形式及N的大小（4）最后求 及 2、设计举例,例：分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的 FIR 低通滤波器，具体要求：,其他,并画出相应的频响特性,解：（1）由于 是一理想LF，所以 可以得出（2）确定N 由于相位函数，所以 呈 偶对称，其对称中心为，因此
11、,（3）加矩形窗,则有,可以求出h（n）的数值，注意偶对称，对称中心,由于h（n）为偶对称，N=25为奇数，所以,例如 H（0）=0.94789，可以计算 的值，画如下图,（4）加汉宁窗 由于 可以求出序列的各点值,通过 可求出加窗后的h（n）,相应幅度函数可用下式求得：,如H（0）=0.98460，图如下,凯泽（Kaiser）窗及其滤波器设计,上述几种窗函数：矩形窗、汉宁窗、海明窗等，为了压制旁瓣，是以加宽主瓣为代价的。而且，每一种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的，而凯泽窗,可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择。,一、凯泽窗,凯泽在1966（1974）发现，利用第一类零阶修正（变形）贝赛尔函数
12、可以构成一种近似最佳的窗,函数。凯泽窗定义为：,1、定义,其中，为第一类零阶修正贝塞尔函数，,，,是一个可自由选择的参数。,2.特点,可同时调整主瓣宽度与旁瓣;,越大，窗越窄。频谱旁瓣越小，而主瓣,相应增加；,相当于矩形窗;,通常选择,，它们相当于旁瓣与主,瓣幅度为,3.1%-0.047%；,凯泽窗随 变化的曲线如下图：,注：第一类零阶修正贝塞尔函数为,由图可以看出,为对称中心，且是偶对称,即,3.凯泽经验公式,该公式可使filter设计人员根据filter的设计指标,估算出,值和 N 值。,且，,：通带截止频率，由 定;,：止带截止频率，由 定.,过渡带宽度,4.设计举例,利用凯泽窗设计一F
13、IR低通filter，要求,解：,取38,将N=38,=5.653代入 表达式，得,0 37 0.0 1.000 0.0204 0.02,1 36 1.8336 2.030 0.0415 0.04,2 35 2.5568 3.345 0.0704 0.07,8 29 4.6548 19.96 0.4082 0.41,3 34 3.086 5.251 0.1074 0.11,4 33 3.5111 7.441 0.1522 0.15,5 32 3.8656 10.11 0.2067 0.21,6 31 4.1678 13.10 0.2679 0.29,7 30 4.4286 16.44 0.33
14、62 0.34,17 20 5.6350 48.03 0.9822 0.98,9 28 4.8512 23.83 0.4873 0.49,10 27 5.0215 27.73 0.5671 0.57,11 26 5.1682 31.72 0.6489 0.65,12 25 5.2931 35.33 0.7225 0.72,13 24 5.3980 39.01 0.7978 0.80,14 23 5.4838 41.93 0.8575 0.86,15 22 5.5515 44.67 0.9135 0.91,16 21 5.6017 46.74 0.9558 0.96,18 19 5.6515 4
15、8.90 1.0 1.00,0,4,8,12,16,18,19,25,29,33,37,21,的图形如下所示,第四节 切比雪夫逼近,Chebyshev低通滤波器的设计方法,Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数Chebyshev低通滤波器幅度平方函数特点Chebyshev低通滤波器的三个参量Chebyshev低通滤波器幅度平方函数的极点分布Chebyshev低通滤波器的设计步骤,提出的背景 巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。因此当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内
16、，或者同时分布在两者之内。这样，就可用阶数较低的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。,1）Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数,Chebyshev型滤波器的幅度平方函数（续）,当N=0时，C0(x)=1；当N=1时，C1(x)=x；当N=2时，C2(x)=2x 2-1；当N=3时，C3(x)=4x 3-3x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为 C N+1(x)=2xCN(x)-C N-1(x),前两项给出后才能迭代下一个,Chebyshev多项式的特性,N=0,4,5切比雪夫多项式曲线,N的影响：N越大阻带衰减越快阶数N影响过渡带的带宽，同时也影响通带内波动
17、的疏密，因为N等于通带内最大值与最小值的总个数,2）Chebyshev低通滤波器幅度平方函数特点：,通带外：迅速单调下降趋向0,N为偶数,N为奇数,通带内：在1和 间等波纹起伏,切比雪夫型与巴特沃斯低通的幅度函数平方曲线,3）Chebyshev低通滤波器的三个参量：,：通带截止频率，给定,：表征通带内波纹大小,由通带衰减决定,设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用s表示，在s处的A2(s)为：,令s=s/p，由s1，有,可以解出,滤波器阶数N 的确定,3dB截止频率c的确定,按照(6.2.19)式，有,通常取c1，因此,上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：,令,4）Chebyshev低通
18、滤波器幅度平方函数的极点分布,以上p,和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/p。有用的结果:设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明：,上式是一个椭圆方程，因为ch(x)大于sh(x)，长半轴为pch(在虚轴上)，短半轴为psh(在实轴上)。令bp和ap分别表示长半轴和短半轴，可推导出：,(6.2.29),(6.2.30),(6.2.31),因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在长半轴为bp，短半轴为ap的椭圆上的点。,设N=3，平方幅度函数的极点分布如图所示(极点用X表示)。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即,(6.2.32),式中c是待定系数。根据幅度平方
19、函数(6.2.19)式可导出：c=2 N-1，代入(6.2.32)式，得到归一化的传输函数为,(6.2.33a),去归一化后的传输函数为,图6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布,5）Chebyshev低通滤波器的设计步骤:,归一化：,1）确定技术指标：,2)根据技术指标求出滤波器阶数N及：,其中：,3）求出归一化系统函数：,或者由N和，直接查表得,其中极点由下式求出：,4）去归一化,例设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减p=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=60dB。解(1)滤波器的技术指标：,(2)求阶数N和：,此过程可直接查表,(3)求归一化系统函数Ha(p):,由(6.2.38)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到：,(4)将Ha(p)去归一化，得到：,此过程也可直接查表完成,
