3振动波动要求2.doc

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1、第二篇 机械振动和机械波第十四章 机械振动一、基本要求l 掌握描述简谐振动的各物理量(特别是相位)及各量间关系。l 掌握旋转矢量法，以及用它求位相、初相。l 掌握简谐振动的基本特征，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义。l 理解同方向、同频率两个简谐振动的合成规律。l 谐振动的能量二、基本内容本章主要研究简谐振动的基本规律。(一)简谐振动1、简谐振动的描述(1)运动学描述 如果描述物体运动的物理量满足： （141)则此运动就称为简谐振动。式（141)称为简谐振动的形式表达式。此处可以是线位移、角位移等，视具体振动系统而定。(2)动力学描述 当一物体受到合外力大小满足

2、 （142)式中 与运动无关的常量。根据牛顿第二定律，可得 又运动学特征 （143)可得： 满足式（142)或（143)称为简谐振动，式（143)称为简谐振动的微分方程或简称振动方程。式（143)的解就是振动表达式（141)。我们把作简谐振动的物体叫做谐振子，典型的谐振子是弹簧振子， 图141 弹簧振子初学者可利用此模型来理解振动定义、表达式、特征量、能量等内容。从式（141)简谐振动表达式得到其振动速度、 的表示式。即 （144) （145)2、特征量从式（141)看，要确定一个简谐振动，就要确定振幅，圆频率和初相。它们对应着简谐振动的特征量：周期、频率、圆频率它们的关系式为： （146)

3、只与谐振系统有关，是系统固有的。而与其运动状态无关。所以又称为固有周期，固有频率等。 如弹簧振子中：。式中为弹簧的倔强系数。(4)振幅 取决于运动状态。即由初始条件或某一时刻的运动状态决定的。 （149)相位)，初相 （1410)3、相位的意义相位在简谐振动中是一个很重要的物理量。对单个简谐振动：l 对于谐振子，不同的相位就对应着不同的运动状态()。换句话说，相位可以确定任意时刻的运动状态()。l 相位又能很好地体现简谐振动的周期性。谐振子两时刻相位差(为整数)则振子状态完全复原。两个同频率谐振动的比较： 若2 第二个振动超前第一个振动，若-20 则第二个振动落后第一个振动，或第二个振动超前第

4、一个振动(2-)。 (二)简谐振动的旋转矢量表示法1、简谐振动的曲线简谐振动，对应振动曲线。如图142。必须熟练掌握：已知简谐振动表达式画出振动曲线，或反过来，已知振动曲线，得到圆频率，振幅，初相，并写出振动表达式。2、旋转矢量法也叫矢量圆图法。对于给定的简谐振动，旋转矢量法描述如下：振幅矢量以角速度，沿逆时针方向匀速转动，在任意时刻，矢量与轴的夹角为。正好等于时刻振动的相位!！且矢量在轴的投影为 恰是简谐振动的表达式。Mox 图142简谐振动的振动曲线 图143简谐振动的矢量圆图旋转矢量法是：旋转矢量的投影点与谐振动曲线上的点一一对应，使简谐振动各个物理量直观化。特别是相位，可用旋转矢量与轴

5、夹角形象的体现。但它的物理意义并不是角度。灵活运用旋转矢量法，对简谐振动各个物理量特别是相位（初相位）的处理非常方便、直观。(三)简谐振动的能量 谐振动系统中既有动能，又有势能，总的机械能是守恒的。 （1411) （1412) （1413)注意：势能包含谐振动系统的所有势能。(四)简谐振动的合成主要掌握同方向、同频率的简谐振动的合成。几个同方向、同频率的简谐振动的合振动仍是一个同方向、同频率的简谐振动。可用两种方法处理。1、解析法设一个谐振子同时以下两个振动 其合振动为 （1414)那么合振动的振幅及初相为 （1415)其中： （1416)注：当两振动反向时，不用公式。只能用双矢量圆图法求初相

6、。2、旋转矢量法合振动的旋转矢量是两个分振动的旋转矢量的矢量和，是对角线。故也像分矢量一样作旋转运动。如图144所示。故由的旋转矢量圆图可得到以上的结果。可见以上两个简谐振动的合成，合振动的振幅与相位和两个分振动相位差有很大关系。当 (=0，1，2)，则 合振幅最大。当(=0，1，2)，则合振幅最小。其它类型的简谐振动合成请参考相关书籍。 第十五章 机械波一、基本要求(1)掌握描述简谐波的各物理量(特别是相位)及各量间的关系。(2)理解机械波产生的条件。掌握由已知质点的简谐振动方程得到平面简谐波的波方程的方法及波方程的物理意义。理解波形曲线图，了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念。(3)惠

7、更斯原理和波的叠加原理。理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析确定相干波叠加后振幅加强、减弱的条件。(4)机械波的驻波形成条件，了解驻波和行波的区别。二、基本内容(一)机械波的产生与传播1、机械波的基础知识(1)机械波产生的条件 机械振动在弹性介质中传播形成机械波，波产生的条件有两个：一是波源，二是传播振动的弹性介质。(2)横波与纵波 媒质元振动方向与波传播方向:两者垂直为横波，两者平行为纵波。(3)波面、波前与波线 振动相位相同的点所连成的曲面，叫作波面。其中沿传播方向上最前面的一个波面叫波前。波的传播方向称为波线。2、波传播的特点机械波的最基本形式是简谐波，即：作简谐振动的波源以振动在

8、弹性介质中传播形成。我们讨论的都是简谐波。波向前传播的是位移、相位等(或者说是振动状态)。3、波长、波速及频率它们是波的三个特征物理量(1)波长 (2)频率 (3)波速 关系： （151） （152）波速大小只由弹性介质决定，与波源无关。但频率与介质无关。 (二)简谐波函数表达式 1、波函数表达式的建立波函数表达式：按以下思路来建立波函数表达式。l 首先写出某一已知a点的振动方程。l 设某一波线上任意一点b，写出波从a传播到b所需的时间。l 写出b点的振动表达式。l 由于该b点任意。它代表该波线上所有点的振动，即各点偏离平衡时的位移，故此方程就是波函数表达式。l 写出波函数的其它标准形式（包括

9、反向传播情形）。由于 ，可得波的标准式共有（155）（156） （157)（158) （159）2、波函数表达式的物理意义 (1)若给定值()，得 表示坐标为处的质点的振动表达式。注意点的振动初相是，不是。(2)若给定，且又是的周期函数，。表示在给定时刻，波线上各点相对各自平衡位置的位移。是时刻的波形图。(3)若与均变化，从波动观点看：表示波形的传播。 在不同时刻(如t与时刻)，波形相同，整体向前平移，故平面简谐波亦称行波（行进波）。相关的题型： 由波动方程求出物理量等。 由给出的物理量（或给定条件）和波传播方向波动方程 由某点的振动方程写出波动方程另一点的振动方程 由某点的振动方程另一点的振

10、动方程 由t0刻的波形写出某点的振动方程写出波动方程 由波动方程画出某点的振动曲线（三）波的能量1、波的能量质元的动能，由于质元具有振动速度而具有的能量。 （159） 质元的势能是质元对应的体积元发生形变具有的能量（不是简单的位移）。质元的势能与动能同步变化，大小相等。即 (1510)所以，质元的机械能为 讨论：、孤立的单个物体振动时，总能量不变，只是动能、势能交替变化。但波动是能量的传播，任一媒质元的振动总能量是随时间变化的，且动能、势能不能相互转换，任何时刻都有 ：势能等于动能。位移最大处，动能为零，势能也为零，总的机械能也为零。平衡位置处，动能到最大，势能也达到最大，总的机械能最大 、波

11、动总能量： 表明媒质元不断地接受能量，又不断地释放能量即传播能量。a)在给定的x处的媒质元总能随t作周期性变化。从0 0如此周期变化，能量就从波源沿介质的波速方向传输出去了。所以，波是能量传输的一种形式。b) 由于介质的各个部分是由弹性力彼此联系着，振动在介质中传播过程，也就是能量传播过程。波源是能量的来源，能量是沿着波速的方向传播的。2、能量密度 周期平均能量密度() （1512)3、能流及能流密度平均能流(波的功率)单位时间中通过某垂直截面的能量 （1513）能流密度：单位面积上的平均能流. 能流密度又称波的强度，在声学中即为声强。光学中为光强。 (四)波的干涉1、惠更斯原理介质中波动某时

12、刻波前上各点都可以看作发射子波的波源，这些子波的包迹就是此后任一时刻的新的波前。2、波的独立传播和叠加原理(1)几列波在同一介质中传播，每一列波都独立地保持自己原有的特征(频率、波长、振动方向等)独立地传播。(2)在几列波相遇处，媒质元的振动位移是各列波单独存在时，在该点引起分振动位移的矢量和。3、波的干涉(1)定义 满足一定条件的两列波，在空间相遇，使某些点处，振动始终加强，而另一些点处，振动始终减弱或完全抵消。这种现象叫作波的干涉现象。这两列波称为相干波，相应的波源称为相干波源。(2)相干条件 两列波的波源必须满足以下三个条件：1) 波源的振动频率必须相同；2) 波源的振动方向必须相同；3

13、) 波源的振动的相位差恒定或相位相同。4、干涉加强、减弱位置的确定根据波的叠加原理及相干条件，设两个相干波源，处振动方程分别为 ： （1515) ： （1516)式中：波源的振幅； 波源的振幅； 波源的初相； 的初相。 如图154所示，波在空间点相遇，各自引起点的振动方程分别为 （1517) （1518)则点合振动也为谐振动即 （1519)记 （1520) 其中：，是对应波传播所在媒质中的。则点合振动的振幅为 （1521) 所以振动加强及减弱的区域分别为 其中：(0，1，2) 振动加强 （1522) 振动减弱 （1523)若时，再引入波程差 （1524)则式（1522)和（1523)可改写为

14、振动加强 （1525) (0，1，2) 振动减弱 （1526) 12周4：交运13周4：测控09！ (五)驻波1、定义 驻波是振幅相同，传播方向相反的两列相干波叠加而成的。2、驻波的表达式 = （1527)= （1528)则驻波为 =+=2 （1529)3、驻波的特点(1)波腹与波节1)波腹 在驻波波线上，振动振幅最大的那些点，如图155中B，D，F点。2)波节 在驻波波线上，始终静止的点，如图155 图155 驻波中A，C，E，G点。两相邻波节间距离为原相干波波长的1/2，波腹的振幅等于原相干波振幅的二倍。(2)相邻波节间各点振动的位相相同，振幅不同；在一个波节的左右两侧各点位相始终完全反相

15、(差)。(3)驻波的能量 当达到最大位移时，系统能量全部为势能，波节处势能最大；当牌平衡点时，系统能量全部为动能，波腹处的动能最大。所以驻波能量在波腹与波节间传播，不能向空间传播能量。4、驻波与行波的比较(见表71)5、驻波是由两列等振幅相向相干波叠加而成的，所以，一列波与其反射很容易形成驻波。反射点的特点不同。形成的驻波不同，分下面两种情况： 表71 驻波与行波的比较波类型行波驻波表达式各点振幅不变(均为变化(波腹为2，波节为零)各点相位沿波速方向依次落后相邻两波节内相同，一波节两侧反相。能量 能量沿波速方向向外传播，动能与势能同时达到最大。能量在驻波内传递，不向外传播，动能与势能不能同时达

16、到最大。波形形状不变，整体向波速方向移动，称为行波。波形变化，没有整体移动。(1)反射点是固定端 该处的反射波与入射波反相，称为半波损失，故反射点为波节，这种反射称为半波反射。(2)反射点是自由端 该处的反射波与入射波同相，故反射点为波腹，这种反射称为全波反射。(六)多普勒效应由于波源或观察者的运动，形成观察者观测的频率与波源的频率不同的现象，称为多普勒效应。下面分三种情况加以讨论。为简单起见，假设波源和观察者的运动都在其连线上。1、波源不动，观察者相对介质运动 设波的速度为，当波源与观察者都相对介质不动，其波源频率为，当观察者向着波源运动时，观察者的速度取为正，观察者离开波源运动时，速度取为

17、负，由图156可知，观察者以速度向着波源运动时，相当于的速度通过观察者， 图156 观察者向着波源运动观察者接收到的频率为 = （1530)2、观察者不动，相对介质运动设波源以速度向着观察者运动(此时为正，波源离开观察者运动时，为负)由图157可知，若波源振动一个周期，所发出的波便向前传过一个波长到达点，与此同时，波源前进了距离，由运动到，这个波被挤在之间，结果使波长变短了，故周期时间内，实际的波长为 =()=由于波速不变，故观察者实际观测到的单位时间内波长的个数(即观测到的波的频率)为 = （1531) 图157 波源向着观察者运动3、波源和观察者同时相对介质运动若波源与观察者相向而行，由为正，为正，则波相对观察者以速度传播，而在周期时间内，波的波长变为，故观察者单位时间内观测到的波长的个数(即观测到的波的频率)为 = (1532)由式（1532)可知，当观察者与波源相向而行时(0，0)，观察者观测到的频率变大，当观察者与波源相背而行时(0，0，观察者观测到的频率变小。