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1、1,2.3.2离散性随机变量的方差,2,温故而知新,1、离散型随机变量 X 的均值（数学期望）,2、均值的性质,3、两种特殊分布的均值,（1）若随机变量X服从两点分布，则,（2）若，则,反映了离散型随机变量取值的平均水平.,3,复习,4,如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？,已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下：,试比较两名射手的射击水平.,如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？,显然两名选手的水平是不同的,这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性.,探究,5,方差定义,一组数据的方差：,在一组数：x1,x2,xn 中，各数据的平
2、均数为，则这组数据的方差为：,类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.,新课,6,离散型随机变量的方差和标准差:,定义,称 为随机变量的标准差,7,它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值.,8,1.已知随机变量x的分布列,求D（x）和.,解：,2.若随机变量x 满足P（x1）p，P（x0）q其中p+q=1，求E（x)和 D(x).,E(x)p,D(x)pq,练习,9,结论1：则;,结论2：若B(n，p)，则E()=np.服从二点分布则E()=p,可以证明,对于方差有下面两个重要性质：,则,结论,10,1.已知随机
3、变量x的分布列为则Ex与Dx的值为()(A)0.6和0.7(B)1.7和0.3(C)0.3和0.7(D)1.7和0.212.已知xB(100,0.5),则Ex=_,Dx=_,E(2x-1)=_,D(2x-1)=_,D,50,25,99,100,3、有一批数量很大的商品，其中次品占1，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X，求EX和DX.,2，1.98,练习,11,例题：甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数分别为，其分布列为,判断甲乙两人生产水平的高低？,解答,例题,12,E(）=00.3+10.320.230.2=1.3,E()=00.1+10.520.4=1.3,D()=(01.3
4、)20.3+(11.3)20.3（21.3）20.2（3-1.3)20.2=1.21,结论：甲乙两人次品个数的平均值相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产水平高.,期望值高，平均值大，水平高方差值小，稳定性高，水平高,13,例2:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息：,根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？,解：,在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自己能力很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强,就应选择工资方差小的单位,即甲单位.,例题,14,（2）若，则,再回顾：两个特殊分布的方差,（1）若 X 服从两点分布，则,（2）若，则,两种特殊分布的均值
5、,（1）若X服从两点分布，则,15,方差的性质,平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差.,均值的性质,推论：常数的方差为_.,0,16,机动练习,117,10,0.8,17,3.若随机变量服从二项分布，且E=6，D=4,则此二项分布是。,设二项分布为 B(n,p),则,18,对随机变量X的均值(期望)的理解：(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均；(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，也就是说随 机变量X可以取不同的值，而E(X)是不变的，它描述的是 X取值的平均状态；(3)E(X)的公式直接给出了E(X)的求法,19,例1.(2010衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱
6、产品共10件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品(1)若这箱产品被用户接收的概率是，求n的值；(2)在(1)的条件下，记抽检的产品件数为X，求X的分布列和数学期望,20,（1）利用古典概型易求.（2）X的取值为1、2、3，求出分布列代入期望 公式.,21,【解】(1)设“这箱产品被用户接收”为事件A，n2.(2)X的可能取值为1,2,3.,P(A)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,22,X的概率
7、分布列为：,23,(3)设X为签约人数X的分布列如下：,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,24,题型二 求随机变量的方差【例2】编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X.（1）求随机变量X的概率分布列；（2）求随机变量X的期望与方差.,25,分析（1）随机变量X的意义是对号入座的学生个数，所有取值为0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列;（2）直接利用数学期望与方差公式求解.,解（1）P（X=0）=,P（X=1）=,P（X=3）=,故X的
8、概率分布列为(2)E(X)=D(X)=,26,举一反三2.设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的个数.（1）求X的分布列；（2）求X的均值E(X)和方差D(X).,学后反思 求离散型随机变量X的方差的步骤：（1）写出X的所有取值；（2）计算P（X=xi）;(3)写出分布列，并求出期望E(X)；（4）由方差的定义求出D(X).,27,解析：(1)P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.故X的分布列为(2)X的均值E(X)和方差D(X)分别为E(X)=;D(X)=,28,题型三 期望与方差的综合应用【例3】(14分)（200
9、8广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为.(1)求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？,29,分析 求的分布列时，要先求取各值时的概率.,解（1）的所有可能取值有6,2,1,-21P(=6)=0.63,.2P(=2)=0.25,.3P(=
10、1)=0.1,4P(=-2)=.5故的分布列为 7,30,(2)E()=60.63+20.25+10.1+（-2）0.02=4.34.9(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E()=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+1x+(-2)0.01=4.76-x(0 x0.29).12依题意，E()4.73,即4.76-x4.73,解得x0.0313所以三等品率最多为3%.14,学后反思 本题主要考查学生运用知识，迁移知识的能力.解决该类实际问题的关键是将实际问题化为数学问题，利用已学的知识进行处理，这也是今后高考的一大热点.,31,例4.（2011辽宁理19）某农场计划种
11、植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：,分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？,其中 表示样本平均值,附：样本数据：样本方差：,例题精析,32,解：(1)x的可能取值为：0,1,2,3,
12、4，且,x的分布列为：,x的数学期望为：,例题精析,33,（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：,品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：,由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.,例题精析,34,知识回顾,求离散型随机变量的期望、方差通常有哪些步骤？,在解决上述问题中经常要用到哪些性质、公式？,求分布列求期望求方差,分布列性质,35,6.根据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上财产被盗，保
13、险公司赔偿a元（a100），问a如何确定，可使保险公司期望获利？,7、每人交保险费1000元，出险概率为3%，若保险公司的赔偿金为a（a1000）元，为使保险公司收益的期望值不低于a的百分之七，则保险公司应将最大赔偿金定为多少元？,8、设X是一个离散型随机变量，其概率分布为 求：（1）q的值；（2）EX，DX。,36,9.（11.全国）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款期数 的分布列为：,商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元，分2期或3期付款，其利润为250元，分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润。（1）求事件A：”购买该商品的3位顾客
14、中，至少有一位采用1期付款”的概率P(A)；（2）求 的分布列及期望E。,37,38,析:审清题意是解决该题的关键.1.抓住蝇子一个个有顺序地飞出,易联想到把8只蝇子看作8个元素有序排列.，由于=0“表示”，最后一只必为果蝇，所以有=1“表示”P（=0）=，同理有P（=1）=2“表示”有P（=2）=3“表示”有P（=3）=4“表示”有P（=4）=5“表示”有P（=5）=6“表示”有P（=6）=,39,40,11、（10，重庆）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司交纳900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：（1）获赔的概率；（2）或赔金额 的分布列与期望。,41,12、若随机事件A在一次试验中发生的概率为p(0p1),用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数。（1）求方差DX的最大值；（2）求 的最大值。,
