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1、2023/7/18,微积分-无穷大量与无穷小量,1,上课,2023/7/18,微积分-无穷大量与无穷小量,0|xx0|时,X0,nN,正整数N,|x|X,X0,xX,X0,x X,d 0,0 x0 x 时,d 0,0 xx0时,d 0,2023/7/18,微积分-无穷大量与无穷小量,3,绝对值无限增大的变量称为无穷大(量).,一、无穷大量,1.定义:,记作:,分析定义:,0|xx0|时,d 0,有|f(x)|M,M 0,|x|X 时,X 0,有|f(x)|M,M 0,2.3 无穷大量与无穷小量,f(x)在X上无界,比较:,2023/7/18,微积分-无穷大量与无穷小量,4,3.单说变量是无穷大
2、量是无意义的，要指明自变量的变化过程。,注意,1.无穷大量是变量,不能与很大的数混淆;,4.无穷大量是无界变量,但无界变量未必是无穷大量.,当n是无界变量,但不是无穷大量;,例:,f(x)xsinx,当x是无界变量,但不是无穷大量.,2023/7/18,微积分-无穷大量与无穷小量,5,2023/7/18,微积分-无穷大量与无穷小量,6,2.正无穷大、负无穷大:,注：正(负)无穷大不可笼统地写作无穷大;,例:,2023/7/18,微积分-无穷大量与无穷小量,7,图示：,2023/7/18,微积分-无穷大量与无穷小量,8,1.定义:,极限为零的变量称为无穷小(量).记作:,二、无穷小量,分析定义:
3、,0|xx0|时,d 0,X0,|x|X,2023/7/18,微积分-无穷大量与无穷小量,9,例如,注意,1.无穷小量是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小量的唯一的数；,3.单说变量是无穷小量是无意义的，要指明自变量的变化过程。,ex当 时是无穷小量;lnx当 时是无穷小量.,x-,x 1,2023/7/18,微积分-无穷大量与无穷小量,10,2.变量极限与无穷小量的关系:,证,仅对xx0的情形证明。,|f(x)-A|e,0|x-x0|d时,|(x)|e,0|x-x0|d时,即|f(x)-A|e,定理,2023/7/18,微积分-无穷大量与无穷小量,11,3.无穷小的运算性质:
4、,(1)有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量.,证,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,e,当|x|X1时,有|,当|x|X2时,有|.,2023/7/18,微积分-无穷大量与无穷小量,12,(3)无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量.,证,(2)有限个无穷小的乘积仍为无穷小量.,0|xx0|d2时,|(x)|e.,推论 常数与无穷小的乘积是无穷小.,例如:,e,f(x)在x0的某空心邻域内有界,即,2023/7/18,微积分-无穷大量与无穷小量,13,(4)无穷小量除以极限不为零的变量，其商仍为无穷小量.,证,设A0.,？,?,?,0,结论？,思考!,2023/7/18,微积分-无穷大量与
5、无穷小量,14,4.无穷小量阶的比较,例如,极限不同,反映了它们趋近于零的“快慢”程度不同.,两个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量。商呢?,=0,=3,=1,无穷小量的商未必是无穷小量。,2023/7/18,微积分-无穷大量与无穷小量,15,定义:,例,注：常数零是比任何其它无穷小量更高阶的无穷小量。,(后面我们会利用等价无穷小量简化某些极限的计算),2023/7/18,微积分-无穷大量与无穷小量,16,定理 在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷小量;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.,证,三、无穷大量与无穷小量之间的关系,意义:关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,2023/7/1
6、8,微积分-无穷大量与无穷小量,17,当 时是无穷大量;,当 时是无穷小量.,当 时是无穷大量;,当 时是无穷小量.,x 1,或 x 2,x,x,x+,练习:,无穷大:,ln(2x)记作lnt为无穷小,t2x 1,无穷小:,ln(2x)记作lnt为无穷大,t2x+,x 或 x 2,x 1,或 t2x0,2023/7/18,微积分-无穷大量与无穷小量,18,试说出下列极限的数学定义：,P67 7(6),2023/7/18,微积分-无穷大量与无穷小量,19,解答,1.不能保证.例,2.未必例,不存在且不为无穷大,思考题:,2.任何两个无穷小量都可以比较阶的高低吗？,故当x0时,无穷小 与x不可以比
7、较阶的高低,2023/7/18,微积分-无穷大量与无穷小量,20,小结,1.主要内容:,三个定义;两个定理;四个性质;一个推论.,2.几点注意:,无穷小量与无穷大量是相对于过程而言的.,(1)无穷小(大)量是变量,不能与很小(大)的数混淆,零是唯一的无穷小的数；,(2)无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小;,(3)无界变量未必是无穷大量.,3.无穷小量的比较:,反映了同一过程中,两个无穷小量趋于零的速度快慢.,高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.,2023/7/18,微积分-无穷大量与无穷小量,21,作业：,P67 8(2)(3)(4)(5)(6)9(2)(3)(4)(5)12 做在书上,2023/7/18,微积分-无穷大量与无穷小量,22,下 课,
