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1、第五章矩阵的对角化及二次型,1 向量的内积与施密特正交化方法,向量的内积,定义：设有n 维向量令 x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn，则称 x,y 为向量 x 和 y 的内积说明：内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时，x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y,定义：设有 n 维向量令则称 x,y 为向量 x 和 y 的内积,向量的内积,x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量，l 为实数）：对称性：x,y=y,x线性性质：l x,y=lx,y x+y,z=
2、x,z+y,z 当 x=0（零向量）时，x,x=0；当 x 0（零向量）时，x,x 0施瓦兹（Schwarz）不等式x,y2 x,x y,y,x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量，l 为实数）：对称性：x,y=y,x,x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量，l 为实数）：对称性：x,y=y,x线性性质：l x,y=lx,y x+y,z=x,z+y,z,x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量，l 为实数）
3、：对称性：x,y=y,x线性性质：l x,y=lx,y x+y,z=x,z+y,z 当 x=0（零向量）时，x,x=0；当 x 0（零向量）时，x,x 0 x,x=x12+x22+xn2 0,x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量，l 为实数）：对称性：x,y=y,x线性性质：l x,y=lx,y x+y,z=x,z+y,z 当 x=0（零向量）时，x,x=0；当 x 0（零向量）时，x,x 0施瓦兹（Schwarz）不等式x,y2 x,x y,y,回顾：线段的长度,x1,x2,x1,x2,x3,P(x1,x2),O,P,O,若令
4、 x=(x1,x2)T，则,若令 x=(x1,x2,x3)T，则,x,x=x12+x22+xn2 0,向量的长度,定义：令称|x|为 n 维向量 x 的长度（或范数）当|x|=1时，称 x 为单位向量向量的长度具有下列性质：非负性：当 x=0（零向量）时，|x|=0；当 x0（零向量）时，|x|0齐次性：|l x|=|l|x|,向量的长度,定义：令称|x|为 n 维向量 x 的长度（或范数）当|x|=1时，称 x 为单位向量向量的长度具有下列性质：非负性：当 x=0（零向量）时，|x|=0；当 x 0（零向量）时，|x|0齐次性：|l x|=|l|x|三角不等式：|x+y|x|+|y|,x,y
5、,x+y,y,向量的正交性,施瓦兹（Schwarz）不等式x,y2 x,x y,y=|x|y|当 x 0 且 y 0 时，定义：当 x 0 且 y 0 时，把称为 n 维向量 x 和 y 的夹角当 x,y=0，称向量 x 和 y 正交结论：若 x=0，则 x 与任何向量都正交,x,y,定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组定理：若 n 维向量a1,a2,ar 是一组两两正交的非零向量，则 a1,a2,ar 线性无关证明：设 k1a1+k2a2+kr ar=0（零向量），那么 0=a1,0=a1,k1a1+k2a2+kr ar=k1 a1,a1+k2 a1,a2+kr a1,ar=k
6、1 a1,a1+0+0=k1|a1|2从而 k1=0同理可证，k2=k3=kr=0综上所述，a1,a2,ar 线性无关,例：已知3 维向量空间R3中两个向量 正交，试求一个非零向量a3，使a1,a2,a3 两两正交分析：显然a1a2 解：设a3=(x1,x2,x3)T，若a1a3，a2a3，则 a1,a3=a1T a3=x1+x2+x3=0 a2,a3=a2T a3=x1 2 x2+x3=0,得从而有基础解系，令,定义：n 维向量e1,e2,er 是向量空间 中的向量，满足e1,e2,er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）；e1,e2,er 两两正交；e1,e2,er 都是单位向量，则
7、称 e1,e2,er 是V 的一个规范正交基例：是 R4 的一个规范正交基,也是 R4 的一个规范正交基,是 R4 的一个基，但不是规范正交基,设 e1,e2,er 是向量空间 V 中的一个正交基，则V 中任意一个向量可唯一表示为 x=l1e1+l2e2+lrer于是特别地，若 e1,e2,er 是V 的一个规范正交基，则问题：向量空间 V 中的一个基 a1,a2,ar 向量空间 V 中的一个规范正交基 e1,e2,er,？,求规范正交基的方法,第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程设 a1,a2,ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令,a1,b1,a2,a3,c2,b2,c3,
8、c31,c32,b3,基,正交基,规范正交基,b1,c2,a2,b2,返回,令 c2 为 a2 在 b1 上的投影，则 c2=l b1，若令 b2=a2 c2=a2 l b1，则 b1b2 下面确定l 的值因为所以，从而,a2b1,第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程设 a1,a2,ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令于是 b1,b2,br 两两正交，并且与a1,a2,ar 等价，即 b1,b2,br 是向量空间 V 中的一个正交基特别地，b1,bk 与a1,ak 等价（1 k r）,第二步：单位化设 b1,b2,br 是向量空间 V 中的一个正交基，那么令因为从而 e1,e
9、2,er 是向量空间 V 中的一个规范正交基,例：设，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化解：第一步正交化，取,例：设，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化解：第二步单位化，令,例：已知，试求非零向量a2,a3，使a1,a2,a3 两两正交.解：若a1a2，a1a3，则 a1,a2=a1T a2=x1+x2+x3=0 a1,a3=a1T a3=x1+x2+x3=0即a2,a3 应满足方程 x1+x2+x3=0 基础解系为把基础解系正交化即为所求,（以保证 a2a3 成立）,定义：如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA=E，则称矩阵 A 为正交矩阵，简称正交阵,即 A1=AT，,于是从而可得
10、方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，且两两正交,即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基,定义：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA=E，即 A1=AT，则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，且两两正交即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基.因为ATA=E 与AAT=E 等价，所以,定义：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA=E，即 A1=AT，则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，且两两正交即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基方阵A 为正交阵的充分必要条件
11、是 A 的行向量都是单位向量，且两两正交,即 A 的行向量组构成Rn 的规范正交基.,例：正交矩阵,R4 的一个规范正交基,正交矩阵具有下列性质：若 A 是正交阵，则 A1 也是正交阵，且|A|=1 或1若 A 和B是正交阵，则 A 和 B 也是正交阵定义：若 P 是正交阵，则线性变换 y=Px 称为正交变换经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保持不变），这就是正交变换的优良特性,表示一个从变量 到变量 线性变换，其中 为常数.,n 个变量 与 m 个变量 之间的关系式,系数矩阵,线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.,返回,2 特征值与特征向量,引言,纯量阵 lE 与任何同阶矩
12、阵的乘法都满足交换律，即(lEn)An=An(lEn)=lAn 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB BA 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即l(AB)=(lA)B=A(lB)Ax=l x?例：,一、基本概念,定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足Ax=l x，那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量例：则 l=1 为 的特征值，为对应于l=1 的特征向量.,一、基本概念,定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足Ax=l x，那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称
13、为 A 对应于特征值 l 的特征向量Ax=l x=lE x 非零向量 x 满足(AlE)x=0（零向量）齐次线性方程组有非零解系数行列式|AlE|=0,特征方程,特征多项式,特征方程|AlE|=0特征多项式|AlE|,二、基本性质,在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,ln，则l1+l2+ln=a11+a22+ann l1 l2 ln=|A|,例：求矩阵 的特征值和特征向量解：A 的特征多项式为所以 A 的特征值为 l1=2，l2=4 当 l1=2 时，对应的特征向量应满足，即解得基础解系,k p1（k 0）就是对应的特征向
14、量,例：求矩阵 的特征值和特征向量解：A 的特征多项式为所以 A 的特征值为 l1=2，l2=4 当 l2=4 时，对应的特征向量应满足，即解得基础解系,k p2（k 0）就是对应的特征向量,例：求矩阵 的特征值和特征向量解：所以 A 的特征值为 l1=1，l2=l3=2,例：求矩阵 的特征值和特征向量解（续）：当 l1=1 时，因为解方程组(A+E)x=0解得基础解系,k p1（k 0）就是对应的特征向量,例：求矩阵 的特征值和特征向量解（续）：当 l2=l3=2 时，因为解方程组(A2E)x=0解得基础解系 k2 p2+k3 p3（k2,k3 不同时为零）就是对应的特征向量,二、基本性质,
15、在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,ln，则l1+l2+ln=a11+a22+ann l1 l2 ln=|A|若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组,例：设 l 是方阵 A 的特征值，证明(1)l2 是 A2 的特征值；(2)当 A 可逆时，1/l 是 A1 的特征值结论：若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l 的特征向量，则l2 是 A2 的特征值，对应的特征向量也是 p lk 是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是 p 当 A 可逆时，1/l 是 A
16、1 的特征值，对应的特征向量仍然是 p,二、基本性质,在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数计算）设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,ln，则l1+l2+ln=a11+a22+ann l1 l2 ln=|A|若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组若 l 是 A 的一个特征值，则 j(l)=a0+a1 l+am l m是矩阵多项式 j(A)=a0+a1 A+am A m 的特征值,例：设3 阶方阵 A 的特征值为1,1,2，求A*+3A2E 的特征值解：A*+3A2E=|A|A1+3A2E=2A1+3A
17、2E=j(A)其中|A|=1(1)2=2 设 l 是 A 的一个特征值，p 是对应的特征向量令则,定理：设 l1,l2,lm 是方阵 A 的特征值，p1,p2,pm 依次是与之对应的特征向量，如果l1,l2,lm 各不相同，则p1,p2,pm 线性无关例：设 l1 和 l2 是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为 p1 和 p2，证明 p1+p2不是 A 的特征向量,3 相似矩阵,定义：设 A,B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足P 1AP=B，则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵，或称矩阵A 和 B 相似对 A 进行运算 P 1AP 称为对 A 进行相似变换称可逆矩阵 P
18、为把 A 变成 B 的相似变换矩阵定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同证明：根据题意，存在可逆矩阵 P，使得 P 1AP=B 于是|B lE|=|P 1AP P 1(lE)P|=|P 1(AlE)P|=|P 1|AlE|P|=|AlE|,定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j(A)和 B 的多项式 j(B)相似证明：设存在可逆矩阵 P，使得 P 1AP=B，则P 1AkP=Bk.设j(x)=cmxm
19、+cm1xm1+c1x+c0，那么 P 1 j(A)P=P 1(cmAm+cm1Am1+c1A+c0 E)P=cm P 1 Am P+cm1P 1 A m1 P+c1 P 1 A P+c0 P 1 EP=cmBm+cm1Bm1+c1B+c0 E=j(B).,定理：设 n 阶矩阵 L=diag(l1,l2,ln)，则l1,l2,ln 就是 L 的 n 个特征值证明：故 l1,l2,ln 就是 L 的 n 个特征值,定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j(A)和 B 的多
20、项式 j(B)相似若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L=diag(l1,l2,ln)相似，则从而通过计算j(L)可方便地计算j(A).若j(l)=|AlE|，那么 j(A)=O（零矩阵）.,可逆矩阵 P，满足 P 1AP=L（对角阵）,AP=PL,Api=li pi(i=1,2,n),A 的特征值,对应的特征向量,其中,?,P.123定理4：n 阶矩阵 A 和对角阵相似当且仅当A 有 n 个线性无关的特征向量,推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似,4 实对称矩阵的对角化,定理：设 l1,l2,lm 是方阵 A 的特征值，p1,p2,pm 依次是与之对应的特征向量，如
21、果 l1,l2,lm 各不相同，则p1,p2,pm 线性无关（P.120定理2）,可逆矩阵 P，满足 P 1AP=L（对角阵）,AP=PL,Api=li pi(i=1,2,n),A 的特征值,对应的特征向量,其中,?,(Ali E)pi=0,矩阵 P 的列向量组线性无关,定理：设 l1,l2,lm 是方阵 A 的特征值，p1,p2,pm 依次是与之对应的特征向量，如果 l1,l2,lm 各不相同，则p1,p2,pm 线性无关（P.120定理2）定理：n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量（P.123定理4）推论：如果 A 有 n 个不
22、同的特征值，则 A 和对角阵相似说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化（P.118例6）,定理：设 l1,l2,lm 是方阵 A 的特征值，p1,p2,pm 依次是与之对应的特征向量，如果 l1,l2,lm 各不相同，则p1,p2,pm 线性无关（P.120定理2）定理：设 l1 和 l2 是对称阵 A 的特征值，p1,p2 是对应的特征向量，如果 l1 l2，则 p1,p2 正交（P.124定理6）证明：A p1=l1 p1，A p2=l2 p2，l1 l2 l1 p1T=(l1 p1)T=(A p1)T=p1T A T=p1T A（A 是
23、对称阵）l1 p1T p2=p1T A p2=p1T(l2 p2)=l2 p1T p2(l1 l2)p1T p2=0因为l1 l2，则 p1T p2=0，即 p1,p2 正交,定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得P 1AP=PTAP=L，其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.（P.124定理7）,定理：n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量（P.123定理4）推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关的特征向量，从
24、而不一定能对角化,定理：n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量（P.123定理4）推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化,推论：设 A 为 n 阶对称阵，l 是 A 的特征方程的 k 重根，则矩阵 A lE 的秩等于 n k，恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值 l 对应,例：设，求正交阵 P，使P1AP=L对角阵.解：因为 A 是对称阵，所以 A 可以对角化求得 A 的特征值 l1=2，l2=l3=1,当 l1=2 时，
25、解方程组(A+2E)x=0，得基础解系 当 l2=l3=1 时，解方程组(AE)x=0，得 令，则.问题：这样的解法对吗？,当 l1=2时，对应的特征向量为；当 l2=l3=1 时，对应的特征向量为.显然，必有x1x2，x1x3，但x2x3 未必成立于是把 x2,x3 正交化：此时x1h2，x1h3，h2h3,单位化：当 l1=2时，对应的特征向量为；当 l2=l3=1 时，对应的特征向量为.,当 l1=2时，对应的特征向量为；当 l2=l3=1 时，对应的特征向量为于是 p1,p2,p3 构成正交阵从而,把对称阵 A 对角化的步骤为：求出 A 的所有各不相同的特征值 l1,l2,ls，它们的
26、重数依次为k1,k2,ks（k1+k2+ks=n）对每个 ki 重特征值 li，求方程组|Ali E|=0 的基础解系，得 ki 个线性无关的特征向量把这 ki 个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到 ki 个两两正交的单位特征向量因为k1+k2+ks=n，总共可得 n 个两两正交的单位特征向量这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P，便有P 1AP=L L 中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应.,例：设，求 An.分析：数学归纳法,定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似
27、，则 A 的多项式 j(A)和 B 的多项式 j(B)相似若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L=diag(l1,l2,ln)相似，则从而通过计算j(L)可方便地计算j(A).若j(l)=|AlE|，那么 j(A)=O（零矩阵）.,例：设，求 An.分析：数学归纳法因为 A 是对称阵，所以 A 可以对角化求得 A 的特征值 l1=1，l2=3下面求满足 P 1AP=的可逆矩阵 P,下面求满足 P 1AP=的可逆矩阵 P 当 l1=1 时，解方程组(AE)x=0，得基础解系 当 l2=3 时，解方程组(A3E)x=0，得基础解系 问题：是否需要单位化？于是 Ap1=p1，A p2=3 p2，即
28、 若，则,于是，即,5 二次型与对称矩阵,投影变换,例 2阶方阵,以原点为中心逆时针旋转j 角的旋转变换,例 2阶方阵,解析几何中，二次曲线的一般形式ax2+bxy+cy2=0 通过选择适当的的旋转变换使得 mx 2+ny 2=0 定义：含有 n 个变量 x1,x2,xn 的二次齐次函数称为二次型,令 aij=aji，则 2 aij xi xj=aij xi xj+aji xi xj，于是,对称阵,对称阵 A 的秩也叫做二次型 f 的秩线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.,对称阵的二次型,二次型的矩阵,对于二次型，寻找可逆的线性变换使二次型只含平方项，即f=k1 y12+k2 y22+kn
29、yn2 定义：只含平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）.如果标准形的系数 k1,k2,kn 只在1,0,1三个数中取值,即 f=k1 y12+kp yp2 kp+1 yp+12 kr yr2 则上式称为二次型的规范形说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.,简记为 x=C y，于是 f=xTAx=(C y)T A(C y)=yT(CTAC)y,定义：设 A,B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足P 1AP=B，则称矩阵A 和 B 相似（P.121定义7）定义：设 A,B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C 满足CTAC=B，则称矩阵A 和 B 合同（P.129定义9）
30、显然，BT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC=B即若 A 为对称阵，则 B 也为对称阵R(B)=R(A)经过可逆变换后，二次型 f 的矩阵由 A 变为与 A 合同的矩阵CTAC，且二次型的秩不变,若二次型 f 经过可逆变换 x=C y 变为标准形，即,问题：对于对称阵 A，寻找可逆矩阵 C，使 CTAC 为对角阵,（把对称阵合同对角化）,定义：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA=E，即 A1=AT，则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得P 1AP=PTAP=L，其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.（P.12
31、4定理7）定理：任给二次型 f(x)=xTAx（其中A=AT），总存在正交变换 x=P y，使 f 化为标准形 f(P y)=l1 y12+l2 y22+ln yn2 其中 l1,l2,ln 是 f 的矩阵 A 的特征值推论：任给二次型 f(x)=xTAx（其中A=AT），总存在可逆变换 x=C z，使 f(Cz)为规范形,推论：任给二次型 f(x)=xTAx（其中A=AT），总存在可逆变换 x=C z，使 f(C z)为规范形证明：f(P y)=l1 y12+l2 y22+ln yn2若R(A)=r，不妨设 l1,l2,lr 不等于零，lr+1=ln=0,令则 K 可逆，变换 y=Kz 把 f(P y)化为f(PKz)=(PKz)T A(PKz)=zTKTPTAPKz=zTKTKz其中,例：求一个正交变换 x=P y，把二次型f=2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准形解：二次型的矩阵根据P.125例12的结果，有正交阵使得于是正交变换 x=P y 把二次型化为标准形f=2y12+y22+y32,如果要把 f 化为规范形，令，即可得 f 的规范形：f=z12+z22+z32,
