《机械振动》PPT课件.ppt

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1、第六章 振动和波动,大学物理学,山西大学物电学院,Chapter 6.Vibration and Motion,机械振动：物体在平衡位置附近作往返的周期性位移。例如，钟摆的摆动、气缸中活塞的运动、人的心脏跳动、机器运转时的振动和一切发声物体(声源，如音叉)内部的运动等。若把机械运动范围内的这一概念推广到分子热运动、电磁运动物质运动形式，则广义而言，对于任一物理量，当它们围绕一定的平衡值作周期性的变化时，都可称该物理量在振动。,概 述,振动：物理量(位移、电量、电压、电流、电场强度和磁感应强度等)围绕一定的平衡值作周期性的变化。物理量在振动，就具有共同的物理特征。,广义：物理量在某一定值附近反复

2、变化即为振动。,简谐振动：物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函数描述。,复杂振动=若干个简谐振动的合成。,研究目的 利用、减弱 或 消除,周期振动：物理量每隔一固定的时间间隔其数值重复一次,波：振动在空间的传播。声波、水波、地震波、电磁波和光波等都是波，各种各样信息的传播几乎都要借助于波。尽管各类波又各自的特性，但它们大都具有类似的波动方程，具有干涉和衍射等波所特有的普遍的共性，通常把它们称为波动性。振动和波动是紧密联系着的，都是物质的运动形式。振动是波动产生的根源，波动是振动传播的过程，也是能量传播的过程。在科学技术领域，振动和波动理论是声学、地震学、光学、无线电技术及原子物理学等学科的

3、基础。本章以机械振动和机械波为具体内容，讨论振动和波动的共同特征、现象和规律，这些基本规律对各种振动和波一般都是适用的。,6-1 简谐振动6-2 弹性系统的振动6-3 机械波的产生和传播6-4 驻波6-5 多普勒效应,本章习题：6-1，2，4，5，7，8，10，11，14，1721,主要内容,右键单击,“播放”,一、描述简谐振动的特征量,令,6.1 简谐振动,质量可忽略的弹簧，一端固定，一端系一有质量的物体，称此系统为弹簧振子。建 立 如 图的 坐 标系，物体 质 量 m，坐 标 x，所 受 回 复 力 为 F.,此方程的通解为：,(1)简谐运动或简谐振动,物理量随时间的变化规律可以用正弦、余

4、弦函数描述，称之为简谐振动。,上式称之为 简谐 振 动表 达式（简谐函数或振动方程）,简谐振动的动力学特征方程,简谐振动的动力学条件,2)周期T：物体作一次完全振动所需的时间。频率：在单位时间内物体所作的完全振动的次数，它是周期的倒数。角频率或圆频率：频率 的2 倍。,物体离开平衡位置的最大位移或角位移。,(2)描述简谐振动的特征量,0：初相位,1)振幅A：,3)相位=,：确定振动系统的瞬时运动状态。,简谐振动可由振幅A、角频率(或频率、周期T)和相位 这三个特征量完全确定下来。,简谐振动的振幅给出了振动的范围或幅度，简谐振动的角频率、频率或周期则给出了振动往复的快慢。,简谐振动的各阶导数也都

5、作简谐振动。,(4)简谐运动的速度和加速度,(3)简谐振动的位移时间曲线 振幅A的大小决定曲线的高低，角频率或周期T决定曲线的密集和疏散，而相位决定曲线在横轴上的位置。,(5)简谐振动的旋转矢量表示设有一矢量(大小等于振幅A)，在平面内绕原点O以角速度(大小等于角频率)逆时针旋转。称 为旋转矢量。简谐量x对应于旋转矢量 在x轴上的投影。,x,参考圆,例已知简谐振动表达式：,x,A(0),A,试画出振动曲线.,-A,解：先画出旋转矢量图，然后再画出振动曲线.,x,O,(6)描述简谐振动瞬时运动状态的特征量相位 振幅和频率不能完全确定振动系统在任意瞬时的运动状态(位移、速度和加速度)。当振幅A和角

6、频率 一定时，简谐振动的瞬时位移、速度和加速度都决定于,两个同频率的简谐振动在同一时刻的相位差，恒等于它们的初相位之差，即当,当t=0时，物体的初始位移和速度分别为：,则,相位的相对性：对于单个简谐振动来说，总可以选择适当的计时零点，使初相位 0=0；对于多个简谐振动来说，它们之间的相位差 则起了重要的作用。,时，有,相位=,相位差有以下几种情况(n=0,1,2,3,)：,=2n，两振动步调一致，同相位。=(2n+1)，两振动步调相反，反相位。0，2 超前1，x2(t)振动步调领先。-0，2落后 1，x2(t)振动步调落后。实际上，“x2比x1领先”与“x2比x1落后(2)”这两种说法是等价的

7、。,同相,反相,x2,x1,x2,x1,2 超前 1/2,x2,x1,2 落后 1/2,x2,x1,解：(1),0?,例 一质点沿x 轴作简谐运动，A=0.12 m，T=2s，当t=0时，质点离开平衡位置的位移 x0=0.06m，且向 x 轴正向运动。求：(1)简谐运动表达式，并画出振动曲线；(2)t=T/4 时，质点的位置、速度、加速度；(3)第一次通过平衡位置的时刻。,A=0.12 m,（2）t=T/4 时，质点的位置、速度、加速度：,（3）第一次通过平衡位置的时刻：,振幅矢量旋转角度,问题转化为：已知旋转角速度=，问旋转 5/6 需要多少时间？,还可以求“第二次”旋转角度11/6,平衡位

8、置,1)代数方法(解析法或三角函数法)：,二、简谐振动的合成,同方向同频率的简谐振动的合成 设两个振动有不同的振幅和初相位:,其中,令,2)几何方法,(矢量图解法或旋转矢量法),结论：,仍然是同频率的简谐振动。,上面得到：,讨论：,同相，合振幅最大。,当,1),2),当，,反相，合振幅最小。,3),一般情况：,2.同方向不同频率的简谐振动的合成,1)分振动,2)合振动,可见，合振动不是简谐振动。,随缓变,随快变,合振动可看作振幅 缓变的角频率为 的“准简谐振动”。,包络线,3)拍:,拍频(单位时间内强弱变化的次数):,频率都较大但两者相差很小的两个同方向简谐振动，合成时所产生的合振幅，时而加强

9、时而减弱作周期性变化的现象。例如用音叉对弦。,拍的周期(合振动振幅强弱变化一次所需要的时间)为包络线的周期的一半,例两个同方向、不同频率谐振动的表达式分别为：,则它们合振动的频率为,每秒的拍数(拍频)为,3.相互垂直的同频率的简谐振动的合成,这是一个椭圆方程，质点合振动的轨迹一般是个斜椭圆。具体形状取决于相位差：,变形处理,消去t,y 超前 x/2，轨迹顺时针右旋,y 落后 x/2，轨迹逆时针左旋,几种特殊情况：,如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形(Lissajous figures)。,反过来，在无线电技术中，利用李

10、萨如图形可以测量频率：,在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。,*4.相互垂直的不同频率的简谐振动的合成,1:2,1:3,2:3,几幅典型的李萨如图形,6-2 弹性系统的振动,振动,受迫振动,自由振动,阻尼振动,无阻尼自由振动,无阻尼自由非谐振动,(简谐振动),无阻尼自由谐振动,欠阻尼振动,临界阻尼振动,过阻尼振动,一、简谐振动的自由振动,(1)动力学方程,水平弹簧振子,一个劲度系数为k的弹簧放在水平桌面上，一端固定不动，另一端系着一个质量为m的物体。,令,建 立 如 图的 坐 标系，物体 质

11、量 m，坐 标 x，所 受 回 复 力 为 F.,此方程的通解为：,此即简谐振动的动力学方程。,1)弹簧质量不计,2)物体大小不计,3)阻力(摩擦力)不计,2)单摆(数学摆),1、细线质量不计，阻力不计,3、逆时针转动为正,摆角 在作简谐振动,O,质点 m在重力和拉力作用下绕O点在竖直平面内作定轴转动，根据定轴转动定理,设初始条件,振幅和初相=,？,3)复摆(物理摆)当复摆(转动惯量为I)离开平衡位置转过 角时，受到一个使其转向平衡位置的净力矩,1、转轴摩擦不计,3、空气阻力不计,约定,4、逆时针转动为正,则,或,方程及其解与单摆形式相同，可认为单摆是复摆的特例。,(2)固有(圆)频率,弹簧振

12、子:,固有频率决定于系统内在性质。,单摆:,复摆:,(3)自由振动的谐振子1)谐振子判据力学系统的振动都是由恢复力(弹性力或重力等)与惯性联合作用造成的。恢复力驱使系统回复平衡位置，而惯性则阻止系统停留在平衡位置。力与位移或角位移之间的线性关系，如,势能与(角)位移之间的平方函数形式，如,大部分稍微偏离平衡状态的稳定系统，都可以看成是谐振子。对于物理学中的许多问题，谐振子都可以作为一个近似的或相当精确的模型。,动能,势能,单摆的能量?,(4)谐振子的机械能自由振动谐振子的线性恢复力是保守力，系统机械能守恒。以水平弹簧振子为例：,2)能量随时间变化,1)能量随空间变化,3)平均动能与平均势能相等

13、,4)由初始能量求振幅,例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。,静平衡时,自然长度,mg,kb,证明：,平衡位置,O,x,x,在任意位置x处，小球所受到的合外力为：,可见小球作谐振动。,故振动方程,b,mg,k(b+x),(5)物体在平衡位置附近的运动 考虑一维情况下物体的振动。取稳定平衡位置为坐标原点O，则在x=0处势能取极小值，即,与势能相应的作用力,在x=0附近对F(x)作泰勒级数展开，有,而,在x=0附近，如果略去x的二阶和更高阶小量，则有,可见，在没有受到阻力的情况下，物体在稳定平

14、衡位置附近的小振动均可以看作简谐振动。,k为一正常量,例 两个气体分子之间的相互作用势能可以近似地表示为,称为伦纳德琼斯势，式中r是分子间的距离，r0是分子间的平衡距离，Ep0是正的常量。试求气体分子在该势能作用下的振动角频率.,解先求出等效劲度系数k,再求角频率。,其中,表示相对运动的两个分子的约化质量.,二、谐振子的阻尼振动,阻尼振动：物体受到阻碍其运动的力的作用，从而使振动的振幅和能量逐渐衰减的振动。,阻尼种类：,摩擦阻尼(或粘滞阻尼)辐射阻尼,(1)阻尼振动的三种运动方式,对在流体中运动的物体，在运动速度不太大时，物体所受的阻力和速度成正比：,为阻力系数,讨论在阻力作用下的弹簧振子，运

15、动方程变为,则运动微分方程,引入阻尼系子,，固有圆频率,将形如 的解代入上式，得到特征方程,按阻尼度*,两个共轭复根，两个不同的实根，只有一个重根，微分方程有代表振动物体三种运动方式的解：,(或=1)的不同，特征方程有：,其特征根是,1)欠阻尼：*1,2)过阻尼：*1,3)临界阻尼：*=1,特征方程有两个共轭复根,则微分方程解为,或*越大，振幅,随时间衰减得越快，“周期”越长。,特征方程有两个不同实根，则,特征方程只有一个重根,弛豫时间,通过控制阻尼的大小，以满足不同实际需要。,O,则在切线方向,在 很小时变为,则,铅球密度:,空气粘度(20C):,振幅按,衰减，在,内振幅减小10%.,可见，

16、空气粘性对单摆的振幅的确有显著的影响。而对单摆的频率,空气粘性几乎没有影响。,和周期,例单摆由长度1.0m的细绳和半径5.0103 m的铅球构成。试说明空气的粘性对单摆的振幅和周期的影响。解 利用斯托克斯粘滞公式，空气作用在铅球上的粘力为,三、受迫振动与共振,为使振动持久而不衰减，可以利用外界驱动力对系统不断地作功，向系统提供能量。(例如荡秋千)受迫振动：系统在外界驱动力作用下的振动。,1.系统受力,弹性力 k x，,2.振动方程,阻尼力,周期性驱动力Fd=Fd0cosd t,其中,或,在欠阻尼情况下，方程的解为,3.稳态解：经过稍长的一段时间后，可认为暂态解已经衰减掉了，只留下稳态解(定态解

17、),特点：稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化。将稳态解代入受迫振动方程，可求出可求出受迫振动的振幅B和初相。,(1)频率:等于外界驱动力的频率 d.,(2)振幅:,(3)初相:,由,共振角频率,可得：,共振振幅,在阻尼很小，但 时，,但 时，,振动系统在未达到稳定状态以前，就可能因振动过于激烈而最破坏。,Br,4.共振,(1)当 或 时,，受迫振动的定态振幅B都很小，,都与 无关；当,时，振幅B达到极大值Br。,(位移)共振：在受迫振动中位移振幅出现极大值的现象。,塔科马桥倒塌事件 1940年发生於美国华盛顿州塔科马,被小号波共振碎的灯泡,另外，,表示振动位移的相位比驱动力的相位落后/2，此时，振动速度与驱动力同相位，这就能时刻对振动系统作正功，对增大速度有最高的效益，从而振幅急剧增大。即发生速度共振和能量共振。,时,