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1、5.4 极限环振荡,在IIR滤波器中由于存在反馈环，舍入处理在一定条件下引起非线性振荡，如零输入极限环振荡。掌握：概念、产生的原因、克服方法。一、IIR DF零输入极限环振荡舍入处理的非线性运算，导至零输入极限环振荡；量化处理是非线性的，在DF中由于运算过程中的尾数处理，使系统引入了非线性环节，数字滤波器变成了非线性系统。对于非线性系统，当系统存在反馈时，在一定条件下会产生振荡，数字滤波器也一样。,IIR滤波器是一个反馈系统，在无限精度情况下，如果它的所有极点都在单位圆内，这个系统总是稳定的，当输入信号为零后，IIR 数字滤波器的响应将逐步趋近于零。但同一滤波器，以有限精度进行运算时，当输入信
2、号为零时，由于舍入引入的非线性作用，输出不会趋于零，而是停留在某一数值上，或在一定数值间振荡，这种现象为“零输入极限环振荡”。,例：设一阶IIR DF的系统函数为：无限精度运算时，差分方程为：在定点制中，每次乘法运算后都必须对尾数作舍入处理，这时的非线性差分方程为：（有限精度）.R表示舍入运算，上述运算过程的非线性流图 如图。,若输入为字长 b=3，系数 a=0.100。无限精度时，系统的极点为 z=a=0.51，在单位圆内，系统稳定。若输入变为零，输出也逐渐衰减到零，但有限精度时，由于舍入处理，系统可能会进入死区。,下面是非线性差分方程的运算结果，n x(n)0 0.111 0.000 0.
3、0000 0.000 0.111(7/8)1 0.000 0.111 0.0111 0.100 0.100(1/2)2 0.000 0.100 0.0100 0.010 0.010(1/4)3 0.000 0.010 0.0010 0.001 0.001(1/8)4 0.000 0.001 0.0001 0.001 0.001(1/8),可见，输出停留在y（n）=0.001上再也衰减不下去了，如图（a），y（n）=0.001以下也称为“死带”区域，如果系数a=-0.5，为负数，则每乘一次a 就改变一次符号，因此输出将是正负相间的,如图（b），这时y（n）在0.125之间作不衰减的振荡，这种振荡
4、现象就是“零输入极限环振荡”。,振荡产生的原因：考察上述非线性差分方程的运算结果，在最后一行，当=0.001时，=0.0001，经舍入处理后又进位为=0.001,仍与 的值相同，因此输出保持不变。这可解释为，只要满足 时，舍入处理使系数 a 失效，或者说相当于将 a 换成了一个绝对值为1的等效系数，这时极点等效迁移到单位圆上，系统失去稳定，出现振荡。,极限振荡幅度与字长的关系：极限环振荡的幅度与量化阶成正比；与极点位置和滤波器阶数有关；增加字长，可减小极限环振荡。高阶IIR网络中，同样有这种极限环振荡现象，但振荡的形式更复杂。不一一讨论。,舍入误差范围：,极限环振荡时,5.4.2 大信号极限环
5、振荡（溢出振荡）,如果在IIR滤波器的定点补码加法运算中存在溢出，则会造成在输出端引入很大的误差，在一定条件下，滤波器就会在大幅度的极限值之间产生振荡，这种极限环称为溢出振荡。以定点补码为例。补码加法器的输入输出关系，即溢出特性：在2的补码运算中，二进制小数点左面的符号位若为1，就表示负数。如果两个正的定点数相加大于1，进位后符号变为1，和数就可理解为负数，因此，2的补码累加器的作用，好象对真实总和作了一个非线性变换，且输出具有循环的特性，如图。Ebert P M,Mazo J E,and Taylor M C.Overflow Oscillations in Digital Filter.B
6、ell System Technical J.,1969,V0l.48:2999-3030.,x1、x2两数相加，若真值为x1+x2=x，而用补码加法规律所得的值为fx，|x|1,未溢出时，fx=x，当发生溢出时，fx值具有循环的特点:当1x2，x超过1，fx变成负值，而当x小于-1时，fx出现正值。它是周期为2的周期性函数。用函数表示为（其中K为整数）：,f4.15=f0.15=0.15f-2.75=-0.75且有ffffx1+x2+x3+xm=fx1+x2+x3+xm：由此得到补码的一个主要特性只要最后相加结果不溢出，即使中间结果有溢出也不影响运算。补码加法,最后的结果把进位项（最高位）1
7、丢掉，则为0.110=3/4,例 研究由下例给出的二阶IIR滤波器的溢出极限环的产生：,式中：,x(n)为一有限长随机输入信号。,y=d-2*(ceil(d-1)/2);,当n增大时输出序列不会趋于零，而总是在一定的幅度间振荡。a1+a21，有溢出,克服溢出振荡：1）限制滤波器系数的取值，可防止溢出振荡，但这也限制了设计能力。2）较好的解决方法是采用具有饱和溢出处理的补码加法器，如图，当输入 时，把加法结果限制在最大值或最小值，以消除溢出振荡。处理时如检测到有溢出振荡，就把总和置于最大允许值。不让加法器进位，从而避免系统的崩溃。,具有饱和溢出处理的补码加法器输入输出特性,极限环振荡的产生原因及其处理方法：,舍入误差增加字长加法溢出饱和溢出处理,
