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1、,目录,第1章 函数极限连续,1.1 函数,1.4 函数的连续性,1.2 极限的概念,1.3 极限的运算,主要内容,1.3.1 极限的四则运算,1.3.2 两个重要极限,1.3 极限的运算,主要内容,法则 1、2 可推广至有限个函数的情形.,设在某极限过程中,函数f(x)、g(x)的极限存在,且limf（x)=A、limg(x)=B,则,1.3 极限的运算,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,高等数学,B0,1,2,3,推论,主要方法,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,多项式与分式函数代入法求极限;,消去零因子法求极限;,无穷小因子分出法求极限;,利用无穷小运算性质求极限
2、;,利用左右极限求分段函数极限.,高等数学,一、多项式与分式函数代入法求极限,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,高等数学,解,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,高等数学,求,解,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,高等数学,求,解,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,高等数学,解,先变形再求极限.,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,高等数学,作业：教材P32 75-78,试一试:,（1）因式分解（2）有理化法（3）变量替换法,消去零因子法：,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,二、消去零因子法求极限,高等数学,解,(消去零因子法
3、),（1）因式分解,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,高等数学,解,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,高等数学,（2）有理化法,解,将分子或分母有理化，约去极限为零的因式。,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,高等数学,（3）变量替换法,解：,令,原式=,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,高等数学,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,三、无穷小因子分出法求极限,高等数学,问题：求.,解,(无穷小因子分出法),1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,高等
4、数学,课堂练习,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,高等数学,作业：教材P33 81-84,解,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,四、利用无穷小运算性质求极限,高等数学,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,高等数学,这是两个无穷大量相减的问题.我们首先进行通分运算,设法去掉不定因素,然后运用四则运算法则求其极限.,解,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,五、一般采用先通分法再求极限,高等数学,不定型的极限（如）,解,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,高等数学,有理化,解,1.3.1 极限四则运
5、算,1.3 极限的运算,高等数学,试一试：教材P33 79、80。作业：85、86,复习回顾几种求函数极限的方法,1.代入法2.不定型（1）分解消去零因子（2）有理化后消零因子（3）通分后消零因子（4）分子分母同除以最高次幂,解,左右极限存在且相等,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,高等数学,六、利用左右极限求分段函数在分段点的极限,由函数的极限与其左、右极限的关系,得,b=2,解,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,高等数学,所以,由复合函数求极限法则,这类复合函数的极限通常可写成,解,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,七、复合函数求极限方法,解,1.3.1
6、 极限四则运算,1.3 极限的运算,课堂练习,1.3.1 极限四则运算,1.3 极限的运算,一、填空题:,二、求下列各极限:,-5,3,2,0,0,3,2,2x,解：,1.求极限：,1.3.2 两个重要极限,复习引入,1.3 极限的运算,高等数学,1.3.2 两个重要极限,1.3 极限的运算,高等数学,因为,1.3.2 两个重要极限,1.3 极限的运算,高等数学,注意,1.3.2 两个重要极限,1.3 极限的运算,注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：,1.3.2 两个重要极限,1.3 极限的运算,求极限:,1.3.2 两个重要极限,1.3 极限的运算,求极限:,1.3.2 两个重要极限,1.
7、3 极限的运算,课堂练习,1.3.2 两个重要极限,1.3 极限的运算,练习P33 89-92,1.3.2 两个重要极限,引入,1.3 极限的运算,高等数学,用e表示该数,e是无理数。,1.3.2 两个重要极限,1.3 极限的运算,高等数学,注意：,2.底数中的无穷小量（可以是字母 或是 代数式）和指数互为倒数。,1.公式中底数的极限是1，指数的极限是无穷大,函数极限为 型,1.3.2 两个重要极限,1.3 极限的运算,高等数学,解：,1.3.2 两个重要极限,1.3 极限的运算,高等数学,复习回顾,两个重要极限及其特征,解：,1.3.2 两个重要极限,1.3 极限的运算,高等数学,解：,1.
8、3.2 两个重要极限,高等数学,另解：,1.3.2 两个重要极限,课堂练习,1.3.2 两个重要极限,高等数学,作业 P33 91、92、105、107,设和是同一变化过程中的两个无穷小，即lim=0和lim=0,()如果，那么称是的高阶无穷小,()如果，那么称是的低阶无穷小,定义18,1.2.无穷小量和无穷大量,1,1,1,1,1,1,常用等价无穷小:,P35,等价无穷小替换计算极限,对于0/0型的极限问题，有时可以通过等价无穷小的替换，变得方便。,解：,例3,利用等价无穷小计算下列极限:,例4,解,解,错,等价无穷小量只能在乘除中替换,在加减中不能替换,小结,1.无穷小的比较:,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.,2.等价无穷小的替换:,求极限的又一种方法,注意适用条件.,高(低)阶无穷小;等价无穷小.,练习：P33 93-97；,作业：P37 124、125、126、128、129,P37 119-122,
