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1、1,自适应格型滤波器,2,优点,自适应收敛速度快，滤波器的阶数易改变，在变化的环境下可动态选择最佳的阶数。权系数对寄存器有限长度效应不敏感；模块式结构，便于高速并行处理；滤波器前后级之间不存在耦合效应。,3,一、前、后向线性预测误差滤波器 设信号为实平稳随机信号1.前向线性预测误差滤波器由n时刻以前的p个数据x(n-1),x(n-2),x(n-p)预测x(n)，为前向线性预测误差滤波器。其估计值和预测误差记为：则预测误差和系数ap,k均是实数。,4,对上式进行Z变换，有：,令,前向预测误差滤波器的系统函数,5,前向预测误差滤波器的结构图：,6,用均方误差最小的准则求前向预测误差滤波器的最佳系数
2、ap,k，令：,k=1,2,，p,有：,k=1,2,3,，p,7,式用矩阵方程表示为,结论：前向预测误差与用于预测的数据正交前向预测误差的正交原理。前向预测误差滤波器的最佳系数ap,k和信号的自相关函数之间的关系式满足Yule-Walker方程式。,8,2.后向线性预测误差滤波器利用x(n+1),x(n+2),x(n+p)数据预测x(n)，则称为后向预测，其估计值 为：,前向、后向预测用同一数据进行，即利用x(n),x(n-1)，x(n-2)，,x(n-p+1)预测x(n-p)，故：,9,前向、后向预测数据之间的关系：,10,后向预测误差为 表示的是信号在n-p时刻的预测误差,利用最小均方误差
3、的准则，可以得到关于后向预测的正交原理以及Yule-Walker方程：,k=1,2,3,p,k=1,2,3,p,11,是后向预测误差的最小误差功率。对比、，利用Toeplitz矩阵的性质，可得到以下重要关系：,表明前、后向预测的最小误差功率相等，系数也相等(如果是复数，则是共轭关系)。,12,当k=0,1,2,3,p时，p-k=p,p-1,p-2,0，因此也可以写成下式：,后向预测误差滤波器的结构图,13,后向预测误差滤波器的系数虽然与前向预测误差滤波器系数一样，但系数排序却是前向预测误差滤波器系数排序的逆转排列。对后向预测误差公式进行Z变换，有：,后向预测误差滤波器的系统函数为：,对比知前、
4、后向预测误差滤波器的系统函数间的关系：,14,为了求解前、后向预测误差滤波器的最佳系数，需要解Yule-Walker方程。1、可以采用高斯消元法解出ap,k(k=1,2,3,p)以及2p,但需要p3量级运算量。2、利用Yule-Walker方程中的自相关矩阵是一个埃尔米特(Hermitain)和托布列斯(Toeplitz)矩阵的特点，且至少是半正定的，可以有效地减少运算量，这就是Levinson-Durbin算法，它的运算量级是p2。,15,3.Levinson-durbin算法 Levinson-Durbin算法首先由一阶AR模型开始，一阶AR模型(p=1)的Yule-Walker为,由该方
5、程解出：,16,然后增加一阶，令p=2，,由上面方程解出：,17,令p=3,4,以此类推，可以得到一般递推公式如下：反射系数,Levinson-Durbin递推公式,18,2p和2p-1是预测误差的均方值，因此1-k2p必须大于等于0，这样kp应满足：,进而有 预测误差随递推次数增加而减少。把kp称作反射系数，是类似于传输线的情况，第p节的输出功率等于前一级的输出功率减去本级的反射功率，为：,19,1.由预测误差滤波器导出格型滤波器,二、格型滤波器,20,因此有，前向预测误差的递推公式：类似地，得到后向预测误差的递推公式：,对于p=0的情况，由前、后向预测误差的定义有：,21,它们组成格型滤波
6、器的第p节的结构图,由于没有反馈支路，这是一个全零点格型滤波器。变形后可得到全极点格型滤波器、全极点横向滤波器等类型。,22,2.格型滤波器的性质(1)各阶后向预测误差相互正交。,设ij,由(3.3.12)式，与x(n-j+1),x(n-j+2),x(n-i),x(n-i+1),x(n)数据正交，由(3.3.16)式，是x(n-i),x(n-i+1),x(n)的线性组合，故 与 正交。这使滤波器前后级互相解耦，系统最小化问题可化为一系列独立的每一级局部最小化问题。用作自适应滤波时，各级可选用不同的自适应步长，使收敛速度提高。另外，为提高线性预测性能，需要增加一节或几节，可以只对新增加的级进行独
7、立的调节，达到输出均方误差最小，无需再调节前面的系数。,23,(2)平稳随机序列可由自相关函数或反射系数表征。按照Levinson-Durbin递推公式，已知rxx(0),k1,k2,kp,从一阶开始，可以推出全部的预测系数ap,1,ap,2,ap,p和2p，把得到的这些数据代入Yule-walker方程，可求得信号的自相关函数rxx(0),rxx(1),rxx(2),rxx(p)。以上说明平稳随机序列可由自相关函数表征，也可由rxx(0),k1,k2,kp表征。(3)前向预测误差滤波器是最小相位滤波器，即它的全部零点在单位圆内。,24,3、复信号的预测误差滤波器和格型滤波,前向预测误差滤波器
8、的系统函数He(z)以及前向预测误差公式 和实信号情况一样，利用均方误差最小原则求解预测系数利用下式：,前向预测误差的正交原理为：,前向预测误差滤波器的预测系数和信号自相关函数之间的Yule-Walker方程仍和实信号情况一样。,25,后向预测误差和后向预测误差滤波器系统函数为：,后向预测误差的正交原理为,复信号的Levinson-Durbin递推公式为,26,k=1,2,3,p-1,复信号的全零点格型滤波器预测误差递推公式为：,27,复信号预测误差全零点格型滤波器,28,三、最小均方误差自适应格型滤波器,p阶格型滤波器，前m节的参数反射系数ki（i=1,2 3,m）为最佳时，相应的预测误差功
9、率最小；后面各节的参数对前面的最佳参数无影响。因此在m节的基础上再加一节，只需根据第m+1节的预测误差功率最小的原则选择km+1即可。求反射系数准则：前、后向预测误差功率的和为最小,(3.3.44),29,代入前、后向预测误差递推公式有,(3.3.45),实际计算时，统计平均值用时间平均代换,(3.3.46),对于复信号情况,(3.3.47),直接利用数据计算反射系数的递推公式,30,讨论：求和限？如果输入数据为x(i),i=0,1,2,n，当p=1时，,这里,因此,求和限计算必须限制在已知的输入数据范围内，因此i=1,2,3,n，有,31,按照前、后向预测误差递推公式得到,考虑到输入数据的范围，具体计算公式为,当p=2时，,32,以此类推。这样，对于 具体计算公式为,(3.3.48),直接采用信号数据计算格型滤波器的反射系数以及最小预测误差的方法：必须从低阶推起，要求较大的存储时，有较大的计算延迟，使应用受到限制。,33,类似于自适应横向滤波器中系数的递推算法，为,(3.3.49),仍然是控制收敛速度和收敛的参数,自适应格型滤波器的梯度算法：可以减少运算量，且适合非平稳情况。,有,式中，=2，为步长因子。,
