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1、双曲线及其标准方程一、教学目标（一）知识教学点使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导.（二）能力训练点在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、.推理等能力.（三）学科渗透点本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识.二、教材分析1 .重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程.（解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识.）2 .难点：双曲线的标准方程的推导.（解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比.）3 .疑点：双曲线的方程
2、是二.次函数关系吗？（解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式.）三、活动设计提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结.四、教学过程（一）复习提问1 .椭圆的定义是什么？（学生回答，教师板书）平面内与两定点Fl、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆.教师要强调条件：（1）平面内；（2）到两定点Fl、F2的距离的和等于常数；（3）常数2aFlF2.2 .椭圆的标准方程是什么？（学生口答，教师板书）焦点在嫡上的椭圆标准方程为4+=l（abO）焦点在曾由ab上的椭圆标准方
3、程为p-+p=l（abO）.（二）双曲.线的概念把椭圆定义中的“距离的和改为距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？1 .简单实验（边演示、边说明）如图223,定点Fl、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，IMFlHMF2|是常数，这样就画出曲线的-一支；由IMF2HMF1是同一常数，可以画出另一支.注意：常数要小于F1F2,否则作不出图形.这样作出的曲线就叫做双曲线.2 .设问问题1：定点Fl、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？请学生回答，不能.强调“在平面内”.问题2：IMFIl与IMF2|哪个大？请学生回答，不定：当M在双曲线
4、右支上时，IMFlIMF2;当点M在双曲线左支上时，MF1F1F2时，无轨迹.3 .定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点Fl、F2的距离的差的绝对值是常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点Fl、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距.教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记.（三）双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程.我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程.这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导.标准方程的推导：（1）建系设点取过焦点Fl、F2的直线为
5、X轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴（如图224）建立直角坐标系.F2的坐标分别设M(x,y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c0),那么FI、是(-c,0)、(c,0).又设点M.与Fl、F2的距离的差的绝对值等于常数.(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：P=MMFl-MF2=2a)=(MMFl-MF2=2a).(3)代数方程VMFl=(x+c)jy3.MEl=7(x-c)j+y(x+c)2*y2-(x-c)ay2=2a.(4)化简方程(由学生演板)将这个方程移项，两边平方得：(x+c)3y3=4a4aJ(xc)+y+(x-c)3+y3.X = -l+JAPcos45*=|AP
6、|sm45。化简得：2cosa1since-coscesnaSIna-cosa(QX=ljMPcosay=IMPISina两边再平方，整理得:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.)由双曲.线定义，2c2a即ca,所以c2-a20.设c2-a2=b2(b0),代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2.这就是双曲线的标准方程.两种标准方程的比较(引导学生归纳)：()三l.=l(a0,b0)表示焦点祗轴上的双曲线焦点居卬0)、F3(c,0),这里=M+b%Ya=3b0)表示焦点在弹上的双曲线，焦点是耳(0，-c)wFa(0,c)这里c=a?+b*只
7、须将(1)方程的x、y互换即可得到).教师指出：(1)双曲线标准方程中，a0,b0,但a不一定大于b；(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在X轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上.注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上.(3)双曲线标准方程中a、b、C的关系是c2=a2+b2,不同于椭圆方程中c2=a2-b2.(四)练习与例题1 .求满足下列的双曲一线的标准方程:焦点Fl(-3,0)、F2(3,0),且2a=4；2 .证明：椭圆各W=I与双曲线，“5/=15的焦点相同.由学生演板完成.椭圆焦点耳(40)、F4.0).双曲线焦点FI(40)耳(4,0).3 .已知两
8、点Fl(-5,0)、F2(5,0),求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程.如果把这里的数字6改为12,其他条件不变，会出现什么情况？由教师讲解：按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5,a=3,所以b2=c2-a2=52-32=42.因此，所求方程是号即(=L因为2a=12,2c=10,且2a2c.所以动点无轨迹.(五)小结1.定义：平面内与两定点Fl、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2)的点的轨迹.2.标准方程,-j,= 1(a0 bQ),-j0=l(aO, b0)3.图形(见图2-25)：4.焦点：Fl(-c,0)、F2(c,0)；F1(O,-c)F2(0,c).5. a
9、、bc的关系,：c2=a2+b2;c=a2+b2.五、布置作业1 .根据下列条件，求双曲线的标准方程：(D焦点的坐标是(-6,0)、(6,0),并且经过点A(-5,2)；(2)点P(3,27)和Q(6)-7),焦点在州上.2 .己知二+Wr=I表示双曲线，求出取值范围.1+k1-k3 .已知圆锥一曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m0b0)-1(a0b0)y22p0)总九UlIk范围-XG-byQ0yR关于x56y地对新关于朦点时称关于X轴.y轴对称关于朦点对秣关于X辑对称顶点g.OXa,0)(0,b0,b)(Y,o0)(0，0)离心率0-lQe-1渐进线无y士X无2.由(l+k)(l-k)VO解得：kVl或kl3.原方程可化为:+=1(m*n)m(mn)/n0.,故此曲线为焦点在井上的双曲缥a3=,mnnmnn_r/mn2C=际YH，焦点FI(0,m2-n2FT)、耳。m2-2mn
