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1、主要内容,引入,第一节 线性变换的定义,定义,举例,性质,二、定义,定义 1 线性空间 V 的一个变换 A 称为线性,变换，如果对于 V 中任意的元素,和数域 P 中,任意数 k，都有,A(+)=A()+A(),A(k)=k A().,以后我们一般用花体拉丁字母 A,B,代表,V 的变换，A()或 A 代表元素 在变换 A下,的像.,定义中的等式所表示的性质，有时也说成线性,变换保持向量的加法与数量乘法.,下面我们来看几个简单的例子，它们表明线性,变换这个概念是有丰富的内容的.,三、举例,例 1 平面上的向量构成实数域上的二维线性,空间.把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转 角,就是一个线性变换
2、，我们用 R 表示.,如果平面上,一个向量 在直角坐标系下的坐标是(x,y),那么,像 R()的坐标，即 旋转 角之后的坐标,(x,y)是按照公式,来计算的.,性变换.,如图 7-1 所示.,同样地，空间中绕轴的旋转也是一个线,例 2 设 是几何空间中一固定的非零向量，,把每个向量 变到它在 上的内射影的变换也是,一个线性变换，以 表示它.,这里(,),(,),表示内积.,几何意,义如图 7-2 所示.,用公式表示就是,例 3 线性空间 V 中的恒等变换或称单位,变换 E，即,A()=(V),以及零变换 0，即,0()=0(V),都是线性变换.,例 4 设 V 是数域 P 上的线性空间，k 是
3、 P 中,某个数，定义 V 的变换如下：,k,V.,不难证明，这是一个线性变换，称为由数 k 决定的,数乘变换,可用 K 表示.,显然，当 k=1 时，我,们便得恒等变换，当 k=0 时，便得零变换.,数组成实数域上一线性空间，以 C(a,b)代表.,例 5 在线性空间 P x 或者 P x n 中，求微,商是一个线性变换.,这个变换通常用 D 代表，即,D(f(x)=f(x).,例 6 定义在闭区间 a,b 上的全体连续函,在,这个空间中，变换,I(f(x)=,是一线性变换.,四、性质,线性变换有以下三个简单性质：,性质 1 设 A 是 V 的线性变换，则,A(0)=0,A(-)=-A().
4、,性质 2 线性变换保持线性组合与线性关系式,不变.,换句话说，如果 是 1,2,r 的线性,组合：,=k11+k22+krr,那么经过线性变换 A 之后，,A()是 A(1),A(2),A(r)同样的线性组合：,又如果 1,2,r 之间有关系式,k11+k22+krr=0，,A()=k1A(1)+k2A(2)+krA(r).,那么它们的像之间也有同样的关系,以上两点，根据定义不难验证，由此即得,性质 3 线性变换把线性相关的向量组变成,线性相关的向量组.,但应该注意，性质 3 的逆是不对的，线性变换,可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量,组.,例如零变换就是这样.,k1A(1)+k2A
5、(2)+krA(r)=0.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结
6、束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,
