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1、第十三讲 线性回归法,齐海波2010年5月26日,讲课内容,1、回归分析方法的意义2、一元线性回归分析3、一元非线性回归分析4、多元线性回归分析,实验数据之间的关系如何？,1、回归分析的意义,1.1 回归分析的意义1.2 回归分析解决的主要问题1.3 回归分析的类型,回归分析是一种处理变量与变量之间关系的数学方法，主要是建立变量之间的关系式。,Regression,退回到不完美或较不发达的状态。随机变量的平均值和相应的一个或多个独立变量的值之间的关系。The relationship between the mean value of a random variable and the cor
2、responding values of one or more independent variables.,1.1 回归分析的意义,在生产和科学实践中，变量往往是相互联系、相互依存的，即存在一定的关系。进行了一组试验后，人们总是希望把试验指标与影响这些指标的数量因子之间的经验公式找出来。经验公式好找，但对否？需要用统计方法解释。,1.2 回归分析解决的主要问题,(1)从一组数据出发确定这些变量之间的定量关系式；(2)对这些关系式的可信程度进行检验；(3)从影响着某一个量的许多变量中判断哪些变量的影响是显著的，哪些是不显著的；(4)利用所求得的关系式对生产过程进行控制或预测。,1）一元线性回
3、归2）一元非线性回归3）多元线性回归,1.3 回归分析的类型,回归分析方法不仅提供建立变量间关系的数学表达式经验公式，而且利用概率统计知识进行了分析讨论，从而判断经验公式的正确性。,2、一元线性回归分析,一元线性回归分析，需要解决：（1）求变量x与y之间的回归直线方程；（2）判断变量x和y之间是否确为线性关系；（3）根据一个变量的值，预测或控制另一变量的取值。,2.1 一元线性回归方程的确定,对谁求导？,最小二乘法,为简化计算，引入符号：,最小二乘法,1）方差分析法2）相关系数检验法,2.2 一元线性回归方程检验方法,1）方差分析法,把所给数据的总波动分解为两部分，一部分反映水平变化引起的波动
4、，另一部分反映由于存在试验误差而引起的波动。然后把各因素水平变化引起的波动与试验误差引起的波动大小进行比较，而达到检验因素显著性的目的。,这里的水平指的是什么？,自由度,F检验,例1：,在某产品标明腐蚀刻线，下表是试验活得的腐蚀时间（x）与腐蚀深度（y）间的一组数据。试研究两变量（x，y）之间的关系。,作散点图,方差检验法,Q=44.61U=1420.6N-2=9F=9*1420.6/44.61=286.6查表,2）相关系数法,所谓相关就是指事物或现象之间的相互关系。事物之间在数量上的变化关系有的是属于因果关系。有的却不能直接作出因果关系的解释。相关的种类：（1）正相关、负相关、零相关；（2）
5、简相关，复相关；（3）高度相关、低度相关衡量相关程度的指标：相关系数！,相关系数,残差,残差的平方和,总平方和,SSE=0,r=1,没有残差，完全拟合；SSE=SSTO,r=0,残差很大，完全不拟合！,相关系数与回归系数,相关系数r和回归系数b：,1）回归系数b与相关系数r同符合！2）相关系数的绝对值小于1，回归系数的绝对值可以大于1；3）回归线一定过中心点。,回归系数和相关系数：点斜式和一般式,r=1,b=?r=0,b=?,相关系数三种情形,相关系数检验步骤：,2.3 预报与控制,当求得变量x、y之间的回归直线方程后，往往通过回归方程回答这样两方面的问题：（1）对任何一个给定的观测点x0，推
6、断y0大致落的范围（2）若要求观测值y在一定的范围y1yy2内取值，应将变量控制在什么地方。前者就是所谓的预报问题，后者称为控制问题。,1）预报问题,2）控制问题,图解法,图解法,2.4 算例,例1：在某产品标明腐蚀刻线，下表是试验活得的腐蚀时间（x）与腐蚀深度（y）间的一组数据。试研究两变量（x，y）之间的关系。,作散点图,2.5 非线性回归转化,两个变量之间的回归关系不是线性的，称为非线性关系。很多情况下，非线性问题可以通过简单的转换，成为线性问题。,例2、盛钢水的钢包，在使用过程中由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的浸蚀，使它的容积不断增大。在生产过程中，积累了钢包的容积与使用次数间的13组数
7、据。,数据散点图,非线性问题可以通过对数据进行适当变换，转化成线性问题。,究竟用什么曲线去拟合?,第一步：确定变量之间关系式。根据专业知识或实验数据。第二步：数据转换，线性回归。对于例2，把X和Y先求一下倒数，看有没有什么变化！,再折腾一下！,常见非线性类型（1）,常见非线性类型（2）,常见非线性类型（3）,3、多元线性回归分析,3.1 多元线性回归问题3.2 多元线性回归模型,多元线性回归问题,影响因变量的因素不是一个而是多个，这类问题称为多元回归分析。多元线性回归分析的原理与一元线性回归分析完全相同，但在计算上却要复杂得多。多元回归专门程序。,SPSS,Analyze Regression
8、 Linear,例3：,根据我国某地区乡镇企业总产值、从业劳动者人数和固定资产原值的历年资料，求回归方程。（总产值 y,从业劳动者人数x1,固定资产原值x2),作业,1、计算例1。2、计算例2。3、某10名高中毕业生高中成绩和高考成绩如下。试建立高中成绩相对于高考成绩的回归模型。,作业,4、合金的强度y(107Pa)与合金中碳的含量x(%)有关。12组数据列于表中，求关系式，并进行方差分析。,方差分析：,若取=0.01，则F0.99(1,10)=10F，因此在显著性水平0.01下回归方程是显著的。,大作业,1、采用VBA或VB或VC+编写多元线性回归分析程序。2、采用EXCEL进行多元线性回归分析。,THE END谢谢！,
