《结构的动力计算》PPT课件.ppt

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1、1,第10章 结构的动力计算,本章导读,基本要求 掌握结构动力计算的基本方法和动力自由度数的判别方法；掌握单自由度体系的自由振动和在简谐荷载作用下的受迫振动的计算方法；了解单自由度体系在一般动荷载作用下的动力反应的计算方法；掌握两个自由度体系自由振动的计算方法；了解两个自由度体系在简谐荷载作用下的受迫振动的计算方法；了解阻尼对振动的影响；了解振型分解法；了解近似计算频率的能量法。,2,本章导读,重点 结构动力分析的基本方法及动力自由度的概念；无阻尼单自由度体系的自由振动及其在简谐荷载作用下的受迫振动；阻尼对振动的影响；无阻尼两个自由度体系的自由振动及其在简谐荷载作用下的受迫振动。,难点 单自由

2、度体系和两个自由度体系运动方程的建立与求解；无阻尼单自由度体系在一般动荷载作用下的动力反应；有阻尼单自由度体系在简谐荷载作用下的动力反应；振型分解法；近似计算频率的能量法。,3,动荷载与静荷载的区别 动荷载：大小、方向或位置随时间而变，静荷载：大小、方向或位置不随时间而变，,而且变得很快。,或变得很慢。,10.1 概 述,严格地说，所有的荷载均是变化的，是动力荷载。其中一部分荷载的变化周期若大于结构的自振周期（用T表示）的5倍以上时，可认为其变化非常缓慢，将其视为静力荷载计算而引起的误差可忽略不计。,结构动力计算的特点,4,动力计算与静力计算的区别 动力荷载作用下的结构计算称为结构动力计算，与

3、静力荷载计算相比，结构在动力荷载作用下引起的各质点的加速度以及结构的惯性力是不能忽略的。因此，考虑惯性力的影响是结构动力学计算最主要的特点。,同时应注意：在结构的动力计算中，动荷载、动力反应等均是时间的函数，这是动力计算要注意的另一特点。,5,动荷载的分类,分确定性动荷载和非确定性动荷载两大类。,确定性动荷载：荷载在将来任一时刻的数值都可以事先确定。如周期荷载、冲击荷载、突加荷载等。,非确定性荷载：荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。如地震荷载、风荷载等。,6,偏心质量m,偏心距e,匀角速度惯性力:P=m 2e,其竖向分量和水平分量均为简谐荷载.,(1)简谐荷载:按正余弦规律变化。,一般周期

4、荷载,（2)冲击荷载:短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）,t1,t1,（3）突加荷载,7,（4）随机荷载：（如地震荷载、风荷载）,随机变化的地面加速度,8,结构体系的动力自由度,定义：确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的动力自由度。,单自由度体系,多自由度体系,无限自由度体系,9,水平振动时的计算体系,多自由度体系,构架式基础顶板简化成刚性块,(t),v(t),u(t),三个自由度,三个自由度,复杂体系可通过加支杆限制质量运动的办法确定体系的自由度,10,几点注意：对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集中质量数，可能比它多，也可能比它少。,体系的自由度与其超静定次数无关。

5、,体系的自由度决定了结构动力计算的精度。在几何组成分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度，动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。,两个自由度,单自由度,11,10.2单自由度体系的运动方程,单自由度体系动力分析的重要性,具有实际应用价值，或进行初步的估算。多自由度体系动力分析的基础。,建立运动微分方程的依据：达朗伯原理。有刚度法与柔度法两种基本方法。,10.2.1 刚度法,从力系平衡角度建立的运动微分方程。,12,动力荷载,阻尼力,弹性力,惯性力,这就是根据平衡条件建立的单自由度体系运动方程。,13,柔度法,质点的位移，可以视为由于动力荷载、惯性力 和阻尼力 共同作用下产生的。,

6、阻尼力,弹性力,惯性力,14,15,【例10.1】如图（a）所示，质量m集中于横梁上，不计阻尼，试建立体系的运动方程。设柱的抗弯刚度EI为常数。,16,运动方程为,【解】,刚度系数为,17,【例10.2】试用刚度法建立图（a）所示静定梁的运动方程。,解：本例为单自由度体系。取a为坐标。在某一时刻t，体系位移如图b所示。,受力如图c所示。,【解】由MA0，得,整理后，得运动方程,18,【例10.3】图示结构，不计阻尼，试建立振动方程。,【解】图示刚架质点m作水平振动，现以柔度法建立振动方程，步骤如下：,作出,图和,图，求出柔度系数为,质点m沿水平方向振动时任一时刻的位移为:,将,代入上式，即得,

7、整理得振动方程：,19,在没有动力荷载（即）作用时所发生的振动称为自由振动。,体系的自由振动是由初位移或初速度激发产生的。自由振动的分析将能揭示体系本身的特性。,自由振动反应,根据公式,并令,即无阻尼自由振动方程为：,10.3 单自由度体系的无阻尼自由振动,20,单自由度体系无阻尼自由振动的解,21,振幅:,初始相位角:,结构的自振周期和自振频率,周期函数的条件:y(t+T)=y(t),是周期函数,且周期是:,频率:,每秒钟内的振动次数.,圆频率:,2秒内的振动次数.,无阻尼自由振动是简谐振动,22,自振周期计算公式的几种形式：,圆频率计算公式的几种形式：,其中11是沿质点振动方向的结构柔度系

8、数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。k11使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。st=W11在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的位移。计算时可根据体系的具体情况，视11、k11、st 三则中哪一个最便于计算来选用。,一些重要性质：自振周期与 且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅 a。自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）。两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来

9、并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。,W是质点的重力,23,【例10.4】图示三根单跨梁，EI=常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。,【解】1）求,3l/16,5l/32,l/2,结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。,：,24,【例10.5】求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。,【解】,25,【例10.6】图（a）所示为一等截面悬臂柱，截面面积为A，抗弯刚度为EI。柱顶有重物，重量为W。设柱本身质量忽略不计，试分别求重物作水平振动和竖向振动的自振周期。,【解】,（1）水平振动,（2）竖向振动,26,【例10.

10、7】图示为一机器基础，机器与基础的总重量W=60kN，基础下土壤的抗压刚度系数（即单位面积产生单位沉陷时所需施加的压力）为k=0.6N/cm3=0.6106N/m3,基础的底面积A=20 m2。试求机器连同基础作竖向振动时的自振频率。,【解】,s-144.27s-1,体系的刚度系数，为基底总面积 A 产生单位沉陷时所需施加的压力。即,自振频率为,27,【例10.8】图（a）所示具有两个集中质量的体系，杆AB的抗弯刚度EI1=，杆AC的抗弯刚度EI为有限值，试求体系的自振周期，不计阻尼。,该体系可等效为图（b）所示，其中的抗转动弹性约束由AC杆提供。,【解】,由图（c）求得,28,29,10.4

11、 单自由度体系的无阻尼受迫振动及共振,简谐荷载,1）动力反应,设,式中，为简谐荷载的频率（扰频）；F为荷载的最大值（动力荷载幅值）。将式(a)代入运动方程后，得,微分方程的解为,(b),(a),30,(1)齐次解,(2)特解 y*,设为,于是有,代入式(b)，得,(b),令,yst动荷载幅值产生的位移(最大“静”位移),31,(3)通解,系数C1和C2由初始条件确定:,设,则得,故通解为,亦即,当y0=0和v0=0时，有,讨论,前两项(为自由振动部分)，与初始条件y0和v0有关。,第三项与y0和v0无关，是随干扰力的出现而伴随产生的，仍属自由振动(按自频w 振动)，称为伴生自由振动。,第四项为

12、纯强迫振动(无阻尼)，按扰频 振动。,自由振动，很快衰减至零。,32,在工程中有实际意义的是平稳阶段的y，即,称最大动位移（即A），为强迫振动的振幅，是控制设计的重要依据。,令动力系数,33,则强迫振动的振幅,所以有,b的物理意义是：,表示动位移的最大值(亦即振幅A)是最大“静”位移yst的多少倍，故称动力系数。,对于单自由度体系，当在简谐荷载作用下，且干扰力作用于质点上时，结构中内力与质点位移成比例。所以动力系数b既是位移的动力系数，又是内力的动力系数。,34,讨论（关于振幅算式的分析）,平稳阶段：,最大动位移（振幅A）为：,动力系数b为：,重要特性：,(1)0，b 1：这说明机器转动很慢(

13、q w)，干扰力接近于静力。一般当 1/5时，可当作静力计算（例如，当 1/5时，b1.041）。,(2)，b0,以 轴为渐近线。这说明机器转动非常快时(q w，高频荷载作用于质体)，质体基本上处于静止状态，即相当于没有干扰力作用(自重除外)。,(3)01，又b 随 的增大而增大。与 同号，即质点位移与干扰力的方向每时每刻都相同(同相位)。,(4)1，b为负，其绝对值 随 的增大而减小。与 异号，即质点位移与干扰力的方向相反(相位相差)。,1，b（无阻尼）：，体系发生共振。,此时有：,即惯性力与弹性力平衡，而没有什么力去与实际存在的外力FP(t)平衡，因此无论振幅多大，再维持动力平衡均不可能。

14、,35,防止共振的措施：一是调整机器的转速；二是改变体系的自振频率w（要改变w的思路，不外就是改变k11，即改变截面形式、结构形式，或是改变m）。但“共振”也是可以利用的，如利用w时，结构振幅突出大的这一特点，不断改变机器（激振器）转速，可以测定结构的w。,2）计算步骤（单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动）,(1)求自振频率,36,(2)求干扰力频率,(3)求动力系数,（注意正负号）,(4)求动位移幅值动（即A）,先求最大“静”位移,37,再求动位移幅值,38,【例10.9】设有一简支钢梁，如图所示，跨度,型号为I32b，惯性矩，截面抵抗矩，弹性模量。在跨度中点有一电动机，重量,转速n=4

15、00r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力F=20kN,离心力的竖向分力为。忽略梁本身的质量，试求钢梁在上述竖向简谐荷载作用下受迫振动的动力系数和最大正应力。,【解】（1）计算简支钢梁的自振频率为,39,（2）计算简谐荷载的频率,（3）计算动力系数,（4）计算跨中截面的最大正应力,40,【例10.10】图示机器重量W=60kN,底面积。机器运转产生简谐荷载，机器每分钟转速400转。求机器连同基础作竖向振动时的振幅及地基最大压应力。（在例10.7中已求出）,【解】（1）求简谐荷载的频率,（2）计算动力系数,41,（3）计算基础作竖向振动时的振幅,（4）计算地基最大压应力,42,【例10.11

16、】图（a）中动荷载为简谐荷载，即，荷载频率为。试求质点的振幅，并绘最大动弯矩图。,【解】（1）求质点的振幅A在例10.3中，已求出柔度系数,自振频率为,最大静位移为,43,（2）绘最大动弯矩图,用幅值法,即动荷载 与惯性力 同时达各自的最大值。,质点的惯性力幅值为,因其为负值，则应将惯性力幅值沿质点位移y的反方向施加在结构上，与简谐荷载的幅值F共同作用下，绘出最大动弯矩图，如图（b）所示。,44,一般动荷载,1）瞬时冲量的动力反应,设体系在t0时处于静止状态。在质点上施加瞬时冲量。这将使体系产生初速度，但初位移仍为0，即y00。,将y0、v0代入即得,上式就是 时作用瞬时冲量S所引起的动力反应

17、。,如果瞬时冲量S从 开始作用，则上式中的位移反应时间t，应改成，即上式应改为,45,2）一般动荷载的动力反应（总效应）,整个加载过程可看作一系列瞬时冲量所组成。在 时，作用，在微分段 dt 内产生的微分冲量为,由式，得到（对于t t）,46,总反应为,此式称为杜哈梅(J.M.C.Duhamal)积分（卷积）。这是初始处于静止状态的单自由度体系在任意动荷载 作用下的位移公式。,如果(在O点)初始位移y0和初始速度v0不为0，则总位移应为,47,用杜哈梅积分计算突加荷载的动力反应：,当t 0时，,48,所以,仍系周期运动，但不是简谐运动。t 0时，质点围绕其静平衡位置（新的基线）作简谐运动。,突

18、加荷载所引起的最大动位移A比相应的最大静位移 增大1倍。,49,10.5阻尼对振动的影响,关于阻尼的定义,阻尼是使振动衰减的因素，或使能量耗散的因素。振动中的阻尼力有多种来源，例如:,结构与支承之间的摩擦。结构材料之间的内摩擦。周围介质的阻力等。,50,粘滞阻尼理论,该理论最初用于考虑物体以不大的速度在粘性液体中运动时所遇到的抗力，因此称为粘滞阻尼力。该理论假设阻尼力其大小与质点速度成正比，其方向与质点速度的方向相反。即阻尼力,式中，c为阻尼系数。,运动方程为,51,有阻尼的自由振动（单自由度体系）,研究有阻尼的自由振动，其目的在于：求考虑阻尼的自振频率r或自振周期Tr。求阻尼比x，由其大小可

19、知道结构会不会产生振动（x 1，结构才考虑振动），振动衰减的快慢（x 越大，衰减速度越快）。,令，即得有阻尼自由振动方程,52,则 l 由下列特征方程所确定,其解为,设微分方程的解为,令，有,x 称阻尼比。,53,根据 x 1、x=1、x 1三种情况，可得出三种运动状态，现分析如下：,1）考虑 x 1的情况（即低阻尼情况）,此时，微分方程(12-36)的解为,为什么？,54,解为,(12-36),由欧勒公式：,微分方程的解为：,则：,因为 是线性无关的，所以原微分方程的解是它们的线性组合。,即,55,式中，称为衰减系数。,设,56,【讨论】下面讨论两个问题：,当x 0.2时（一般建筑结构x 0

20、.1），阻尼对自振频率的影响可以忽略不计，故取,57,(2)阻尼对振幅 的影响,经过一个周期T r，相邻两个振幅yk+1与yk的比值为,由此可见，振幅是按几何级数衰减的，而且x值越大（阻尼越大），则衰减速度越快。,58,对上式等号两边倒数（分子与分母换位后）取自然对数，得,因此,如果x 0.2，则，于是可取,59,令，称为振幅的对数递减率，则,令，则,工程上通过实测yk及yk+n，并通过式来计算x。,60,关于求体系振动n周后的振幅，其计算式为,（当n=1）,当振动n周后,2）考虑x=1（即临界阻尼）的情况,由，得,微分方程 的解为,61,再引入初始条件，得,其曲线如图所示。这条曲线仍然具有衰

21、减性质，但不具有波动性质。,62,综合以上的讨论可知：当x 1时，体系在自由反应中是会引起振动的；而当阻尼增大到x 1时，体系在自由反应中即不引起振动，这时的阻尼常数称为临界阻尼常数，用cr表示。,在 中，令x 1，则,63,【例10.12】如图所示排架，横杆EA=，横杆质量及柱的部分质量集中在横杆处。为进行振动实验，在横杆处加一水平力F，柱顶产生侧移=0.6cm，这时突然卸除荷载F，排架作自由振动。振动一周后，柱顶侧移为0.54cm。试求排架的阻尼比 及振动10周后柱顶的振幅。,【解】（1）求,假设阻尼比 0.2，则,2）求振动10周后的振幅,在式 中,n=10，则有,64,有阻尼受迫振动（

22、简谐荷载作用下）,(2)特解,自由振动，很快衰减至零。,代入式，整理后得,65,(3)关于平稳振动（有阻尼）的讨论,任一时刻的动力位移:,66,(3)关于平稳振动（有阻尼）的讨论,y比FP(t)滞后一个相位角a:,67,【讨论1】关于动力系数b 的分析结论,共振时,1)当x 由0 1时，相应曲线从险峻的山峰 平缓的小丘。,2)由于有阻尼，b总是一个有限值。,，可看作静力；,，相当于无干扰力；,，但二者数值比较接近。,不发生在 处,而稍偏左。,令，即可求得,68,【讨论1】关于动力系数b 的分析结论,4)当 时，b1。即体系不发生放大反应。,对任意x，当 时，b1。,结论：在共振区范围内(0.7

23、5q/w1.25)，应考虑阻尼影响（减幅作用大）；在远离共振区的范围内，可以不考虑阻尼的影响（偏安全）。,69,【讨论2】关于相位角a,可以看出，有阻尼的位移y(t)比简谐荷载FP(t)滞后一个相位角a。,此时，体系振动很慢，惯性力和阻尼力都很小，故动力荷载主要由弹性力与之平衡。,1)当荷载频率很小，即 时，a 0,位移与荷载趋于同步。,2)当荷载频率很大，即 时，a 180。位移与荷载趋于反向。,此时，体系振动很快，惯性力很大，弹性力和阻尼力相对比较小，故动荷载主要与惯性力平衡。,当荷载频率接近自振频率，即 时，a 90。说明位移落后于荷载90。,因此，当荷载最大时，位移和加速度都接近于零，

24、故动力荷载主要由阻尼力与之平衡。而在无阻尼振动中，因没有阻尼力去平衡动力荷载，故将会出现位移无限增大的情况。,70,【解】（1）求动力系数,即两者很接近。,71,（2）计算振幅,（3）计算最大压应力。,由以上结果可见，因为本题 在共振区附近，阻尼对动力系数、振幅 及基底压应力 均有相当大的影响。,无阻尼时，,无阻尼时，,72,10.6多自由度体系的自由振动,工程实例,拱坝和水闸的振动等,多层房屋的侧向振动,不等高排架的振动,块式基础的水平回转振动,高耸结构(如烟囱)在地震作用下的振动,桥梁的振动,一般均化为多自由度体系计算。,73,方法,刚度法根据力的平衡条件建立运动微分方程。,柔度法根据位移

25、协调条件建立运动微分方程。,对于多自由度体系自由振动分析一般不考虑阻尼。,74,刚度法,(1)运动方程的建立,75,是结构的刚度系数，即,=,+,当mj处发生单位位移（其余质点处位移为零）时，在mi处需施加的力,76,可得运动方程,也可用矩阵表示为,或缩写为,为加速度列阵,为质量矩阵,为刚度矩阵,为位移列阵,77,(2)运动方程的求解,设,上式所表明的运动具有以下特点：,在振动过程中，两个质点同频率（w）、同相位（a）。,在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但二者的比值始终保持不变，即,常数,这种结构位移形状保持不变的振动形式，称为 主振型或振型。,78,(3)求自振频率wi,代

26、入运动方程,得,和,将,或,问题：如何求频率？,称频率方程或特征方程,79,由此式可确定体系的自振频率wi，因此称频率方程或特征方程。,展开，整理后，得,(10-48),约定w1w2，其中w1称第一圆频率（最小圆频率，基本圆频率），w2称第二圆频率。,80,(4)求主振型,由振型方程或特征向量方程，得,81,两个自由度体系的第一主振型和第二主振型，如图所示。,两个自由度体系,第一主振型,第二主振型,主振型要满足正交关系,82,(5)主振型的标准化（规一化）,为了使主振型的振幅具有确定值，需要另外补充条件，这样得到的主振型，叫做标准化主振型。一般可规定主振型中某个元素为给定值，如规定某个元素Yj

27、i等于1，或最大元素等于1。,第一主振型,第二主振型,83,问题1：多自由度体系能按某个振型自振的条件是什么？,初始位移之比初始速度之比,问题2：一般情况下，多自由度体系质点的位移怎么确定？,84,多自由度体系自由振动的重要特性：,多自由度体系自振频率和主振型的个数均与体系自由度的个数相等；,每个自振频率有其相应的主振型，而这些主振型就是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式；,多自由度体系的自振频率和主振型是体系自身的固有动力特性，它们只取决于体系自身的刚度系数及其质量的分布情形，而与外部荷载无关。,85,【例10.14】图示为一两层刚架，柱高h，各柱EI=常数，设横梁EI1=

28、，质量集中在横梁上，且。求刚架水平振动时的自振频率和主振型，并绘主振型图。,【解】水平振动时，两层刚架可看作两个自由度体系。（1）计算刚度系数,86,87,（2）计算自振频率,令，则,由式(10.48)，得,所以，两个频率为,88,（3）计算主振型,两个主振型形状图为：,89,柔度法,1)运动方程的建立,dij是体系的柔度系数（图b,c）。,也可写为,或,90,以上运动方程，也可利用刚度法所建立的运动方程间接导出：,由式,因,所以，有,前乘以d，得,注意：d与K虽然互为逆阵，但d中之dij与K中之kij元素一般并不互逆（仅单自由度体系例外，因其d与K中均只有一个元素）。,91,2)运动方程的求

29、解,3)求自振频率wi,惯性力为:,代入:,得:,此式表明，主振型的位移幅值(Y1及Y2)，就是体系在此主振型惯性力幅值作用下引起的静力位移。,92,将上式通除以，可写成,为了求得Y1、Y2不全为0的解，应使系数行列式等于零，即,称为振型方程或特征向量方程,93,称为频率方程或特征方程。由它可以求出w1和w2。,令l=，代入式(a)，得关于l 的二次方程,可解出l的两个根，即,约定l1l2(从而满足w1w2)，于是求得,(10.54),94,4)求主振型,1)第一主振型：将w=w1代入第一式，得,2)第二主振型：将w=w2代入同一式，得,振型方程或特征向量方程,95,【例10.15】试求图（a

30、）所示体系的自振频率和主振型。不计梁的质量，EI为常数。,【解】该体系有两个自由度。,（1）计算柔度系数,分别绘、图，如图（b）、（c）所示，可求得,96,（2）计算自振频率,由,并注意，则可求得,于是,97,（3）计算主振型,第一主振型为,第二主振型为,，大的则为,。,结论：若体系的刚度和质量分布都是对称的，则其主振型为正对称或反对称的。因此，求自振频率时，可以就正、反对称两种情况各取一半结构来进行计算，这样就将原体系简化成为两个单自由度体系分别进行计算。将计算出的频率加以比较，小的即为，大的则为。,98,【例10.16】试求图（a）所示体系的自振频率和主振型。各杆的EI为相同的常数，质量不

31、计。,和,，,，,【解】此题虽只有一个质点，但有两个自由度，如图（a）所示。,（1）计算柔度系数,分别绘 和 图，则有,99,（2）计算自振频率,将柔度系数代入式(10.54)，并注意到，则可求得,于是,（3）计算主振型,由式(10.56)，可求得两个主振型分别为,100,主振型的正交性,图（a）、（b）分别表示了同一体系的两个主振型及其对应的惯性力幅值。,根据虚功互等定理：第一主振型中的惯性力幅值在第二主振型的相应位移上所做的虚功，应当等于第二主振型中的惯性力幅值在第一主振型的相应位移上所做的虚功。即,整理后，可得,因，则必有,101,这就是两个主振型、应满足的第一正交性。,第一正交性可以表

32、述为：多自由度体系中，两个不同频率对应的主振型向量（如此处的，）关于质量矩阵 正交。,102,可以证明，多自由度体系中，两个不同频率对应的主阵型向量关于刚度矩阵也是正交的，即应满足第二正交性。对于两个自由度体系，第二正交性可表示为,或,主振型的正交性可理解为：相应于某一振型作简谐振动的能量不会转移到其他振型上去，也就不会引起其他振型的振动。因此，各主振型可单独存在而不互相干扰。,103,10.7 多自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动(无阻尼),（刚度法）,1）运动方程的建立,以质点为隔离体，其振动方程为,2）运动方程的求解,104,求位移幅值,由此可解得质点位移的幅值。位移幅值Yi为正号，表

33、示 yi(t)与FPi(t)同方向达到最大值，负号表示 yi(t)与FPi(t)反方向达到最大值。,方程的解答,任意时刻的位移,Y1=D1/D0,Y2=D2/D0,共振现象:,w应满足行列式,所以，当 或 时，Y1、Y2，此时为共振。,105,3）惯性力幅值的确定,4）求最大动位移(位移幅值),106,5）求最大动内力(内力幅值),常采用列写幅值方程法。即将位移达到幅值Y1、Y2时的干扰力幅值FP1和FP2以及惯性力幅值、一起，沿y坐标方向施加于结构上，如图所示(注意：所含Yi要自带本身正负号)，然后按静力计算M动（即Md,max）即可。,107,【例10.17】,质量m1、m2集中在楼层上，

34、层间侧移刚度为k1、k2，求质点振幅。,【解】求刚度系数：,k11=k1+k2,k21=k2,k22=k2,k12=k2,108,问题：为了消除质点m1的振动，可附加一弹性质量系统。,请问该系统的质量m2和刚度k2应分别为多少？,此时m2的振幅为：,则：先根据弹性质量系统的允许振幅 Y2 确定刚度k2,再确定质量m2,动力吸振器的基本原理,109,10.8振型分解法,本节采用振型叠加法分析。振型叠加法又称为正则坐标法、主振型分解法。,已知条件：干扰力FP1(t)、FP2(t)，体系的自振频率w1、w2，主振型、，无阻尼。,计算目标：求任一时刻的动位移y1、y2，并求最大动力反应。,110,1）

35、运动方程,对于两个自由度体系,即,2）解耦,设h1、h2为两个新的坐标，并使新旧坐标之间有如下关系：,第一主振型,第二主振型,任一瞬时的动位移,=,+,(10.66),111,第一主振型,第二主振型,任一瞬时的动位移,=,+,(10.67),写成矩阵形式为:,(10.67),式中 y是几何坐标，实际位移；,h是正则坐标，把y按振型分解时的组合系数；,Y是主振型矩阵，新旧坐标之间的转换矩阵。Y是非奇异矩阵，因而能保证新旧坐标间存在确定的单值关系。,112,3）主振型矩阵分块,主振型矩阵可表达为,4）广义质量、广义刚度和广义荷载,将 及 代入方程，进行正则坐标变换：,下面利用主振型的正交性，简化式

36、(b)的计算：,(b),将式(b)前乘以，则,113,其中，第一项,同理，第二项,第二正交条件为0,114,于是有,此方程只含一个变量h1及其对时间的导数。引入符号,广义质量,广义刚度,广义荷载,则,对应于第一主振型。,同理,将式 前乘以,对应于第二主振型。,可得,115,在初位移和初速度为零的情况下，微分方程的解为,这样，就将两个自由度体系的受迫振动问题，简化为了两个单自由度体系的受迫振动问题进行计算。解得正则坐标（，）后，可由 求得几何坐标（，）。,116,5）振型分解法的计算步骤,（1）求自振频率和主振型,可选用刚度法或柔度法计算 和。,（2）计算广义质量和广义荷载,（3）计算正则坐标,

37、若 为任意动荷载，可按杜哈梅积分计算正则坐标,若 为简谐荷载，即，可按10.4.1中所述直接解微分方程的方法求解正则坐标，此时,117,（4）计算几何坐标,由坐标变换式，可计算几何坐标，,【例10.18】例10.15中图（a）所示体系，在质点 处受有突加荷载 作用。试求两质点的位移和梁的动弯矩。,【解】（1）例10.15中已求出体系的两个自振频率及振型分别为,两个主振型图分别如图（b）、（c）所示。,118,（2）计算广义质量和广义荷载,119,（3）求正则坐标,120,（4）求质点位移（即几何坐标）,由式 得,两质点的位移，如图（d）所示。,121,（5）求动弯矩,两质点的惯性力分别为,将任

38、一时刻t的动荷载和惯性力作用于梁上，如图（e）所示，根据平衡条件便可求出梁上任一截面的弯矩。例如，所在截面的弯矩分别为,122,（6）讨论,上面求得的质点位移和截面弯矩的算式中均包括两项，前一项是第一振型分量的影响，后一项是第二振型分量的影响。可以看出，第一振型分量的影响比第二振型分量的影响要大得多。一般地说，多自由度体系的动力反应可以只取前几个较低频率的振型分量叠加，高振型的影响很小，可略去不计。,还应注意，由于，不相等，第一和第二主振型分量并不是同时达到最大值，因此求位移或弯矩的最大值时，不能简单地把两个分量的最大值相加。,123,瑞利法适用于求第一自振频率；瑞利里兹(Rayleigh-R

39、itz)法是其推广形式，可用于求最初几个频率。,1）出发点(依据),瑞利法的出发点是能量守恒原理，即一个无阻尼的弹性体系自由振动时，它在任一时刻的总能量(应变能U与动能T之和)应当保持不变，即,机械能=应变能(U)+动能(T)=常数,2）位移表达式,10.9 能量法计算自振频率,124,3）梁的动能,其最大值为:,4）梁的弯曲应变能,125,其最大值为,5）应用能量守恒原理,根据能量守恒原理，可知,Tmax=Umax,126,6）能量法的关键,若假设的位移形状函数正好与第i个主振型相符，则可求得该wi的精确值。,此法一般用于计算第一自振频率w1。,127,振型函数 的假定原则：应满足边界条件,

40、通常对 作如下选择：,其一，选取某个静力荷载q(x)作用下的弹性曲线作为 的近似表示式。,此时，应变能可用相应荷载q(x)所做的功来代替，即,128,因而式(10.74)可改写为,(10.75),其二，选取结构自重作用下的变形曲线作为 的近似表达式（注意，如果考虑水平振动，则重力应沿水平方向作用），则应变能可用重力所做的功来代替，即,于是式(10.75)可改写为,(10.76),129,【例10.19】试用能量法求图示等截面简支梁的第一频率，设分布质量 为常数，梁的 常数。,【解】（1）首先，假设振幅曲线 为抛物线,由式(10.74)，得,与精确解（）比较，误差为+11.0%。,误差偏大的原因

41、是，振幅曲线满足位移边界条件，；但简支梁端弯矩不等于零（，）却与实际情况不符。,130,【例10.19】试用能量法求图示等截面简支梁的第一频率，设分布质量 为常数，梁的 常数。,（2）其次，取均布荷载q作用下的挠曲线作为，即,【解】,与精确解比较，误差仅为+0.075%，很小。,误差很小的原因：均布荷载q作用下的 既满足位移边界条件，也满足力的边界条件。,131,【例10.19】试用能量法求图示等截面简支梁的第一频率，设分布质量 为常数，梁的 常数。,【解】,（3）最后，设振幅曲线 为正弦曲线，即,为精确解。,原因：正弦曲线是第一主振型的精确解，因此由它求得的 也是第一频率的精确值。,132,

42、注意：用能量法求得的频率的近似值比精确值大，这是因为用近似的振幅曲线去代替真实的振幅曲线时，相当于在体系上增加了约束，使体系的刚度增大，因此求得的频率高于精确值。,133,【例10.20】试用瑞利法计算图示三层刚架的第一自振频率。,【解】(1)选择自重作用下的弹性曲线作为振型曲线（注意：应在各楼层水平方向分别施加自重m1g、m2g、m3g），如图所示。,134,于是，可得,135,(3)求Umax(用外力所做的功来代替)：,(4)求Tmax：,(5)由Tmax=Umax求第一频率（即式(10.76)），可得,136,137,本章小结,结构动力计算与静力计算的主要区别是，动力计算要考虑惯性力（有

43、时也包括阻尼力）和时间因素。动力计算包括自由振动和受迫振动两部分内容。,（1）动力计算的基本未知量是质点的位移。确定体系在振动过程中任一时刻所有质点的位置所需的独立几何参数的数目，称为体系的动力自由度，也就是动力计算基本未知量的个数。,（2）进行动力计算要建立体系的运动方程。建立运动方程的基本方法是动静法，它是根据达朗伯原理，在运动体系的质点上，通过“引入假想惯性力，考虑瞬间动平衡”建立运动方程。用动静法建立运动方程有两种方式：若体系的柔度系数比较容易求得，就列写位移方程（柔度法）；若体系的刚度系数比较容易求得，就列写动力平衡方程（刚度法）。,138,（3）熟练掌握单自由度体系自振频率和周期的

44、计算方法。自振频率为,自振周期为,对于具有多个质点且各质点的位移均不相同的单自由度体系，需重新建立体系的运动方程，再求体系的自振频率或自振周期。,体系的自振频率和周期只与体系的刚度和质量有关，而与引起自由振动的初始条件（初位移或初速度）无关，是体系的固有特性。,139,（4）阻尼对一般土木工程结构的自振频率和周期的影响很小，通常忽略不计。,（5）对于简谐荷载作用于质点的单自由度体系，熟练掌握用动力系数法计算动位移和动内力（以动弯矩为例）的最大值：,在共振区外可不考虑阻尼，动力系数计算式为：,必须注意，上述动力系数法只适用于单自由度体系在质点处受简谐荷载作用的情况。对于干扰力不是简谐荷载，或简谐

45、荷载不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系（不论何种荷载），均不能采用这一方法。因为在这些情况下没有统一的动力系数。,140,（6）对于任意动荷载作用于质点的单自由度体系，质点的动位移用杜哈梅积分计算。应理解杜哈梅积分中各参数的含义。,（7）掌握两个自由度体系自振频率和主振型的计算。具体作法有柔度法和刚度法两种。,两个自由度体系的各质点按某一个自振频率作自由振动时，任一时刻各质点位移之间的比例保持不变，这种特殊的振动形式称为主振型。所谓确定主振型，就是求出每一振型情况下各质点位移之间的比值。,141,（8）掌握两个自由度体系在简谐荷载作用下（不考虑阻尼）的振幅及最大动内力的计算方法（幅值法）。,（9）两个自由度体系中，当干扰力为任意动荷载或为简谐荷载需考虑阻尼时，宜采用振型分解法（或振型叠加法）计算动力反应。理解振型分解法（或振型叠加法）的基本原理。,（10）瑞利能量法是适宜于求体系第一频率的近似方法（计算结果大于精确值），其关键是所假设的振型函数 必须满足体系的位移边界条件，并尽可能满足力的边界条件。,142,土木工程专业系列教材 出版社 科技分社,再见,