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1、第二章,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数与微分,导数思想最早由法国,数学家 Ferma 在研究,极值问题中提出.,英国数学家 Newton,注,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、函数的可导性与连续性的关系,五、单侧导数,第一节,导数的概念,第二章,一、引例,1.变速直线运动的速度（瞬时速度）,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,自由落体运动,注,2.切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,(
2、当 时),割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题 注,二、导数的定义,定义1.设函数,在点,存在,且极限为,记作:,即,则称函数,的某邻域内有定义,若,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在 M 点处的切线斜率,注,若上述极限不存在,在点 不可导.,若,也称,在,若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函
3、数称为导函数.,记作:,注意:,就说函数,就称函数在 I 内可导.,的导数为无穷大.,例1.求函数,(C 为常数)的导数.,解:,例2.求函数,解:,说明：,对一般幂函数,(为常数),例如，,（以后将证明）,例3.求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,例4.求函数,的导数.,解:,即,或,原式,是否可按下述方法作:,Ex 1.证明函数,在 x=0 不可导.,证:,不存在,Ex 2.设,存在,求极限,解:原式,三、导数的几何意义,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与 x 轴平行,称为驻点;,若,切线与 x 轴垂直.,切线方程:,法线方程:,例5.问曲线,哪一点有垂直切线?哪一
4、点处,的切线与直线,平行?写出其切线方程.,解:,令,得,对应,则在点(1,1),(1,1)处与直线,平行的切线方程分别为,即,故在原点(0,0)有垂直切线,四、函数的可导性与连续性的关系,定理1.,证:,设,在点 x 处可导,存在,因此必有,其中,故,所以函数,在点 x 连续.,注意:函数在点 x 连续未必可导.,反例:,在 x=0 处连续,但不可导.,即,在点,的某个右 邻域内有定义，,五、单侧导数,若,则称之为函数,在 处的右 导数,记作,即,(左),(左),例如,在 x=0 处有,定义2.设,存在,定理2.,存在,定理3.,(左),(左),若函数,与,都存在,则称,显然:,在闭区间 a
5、,b 上可导,在开区间 内可导,在闭区间 上可导.,且,内容回顾,1.导数的实质:,3.导数的几何意义:,4.可导必连续,但连续不一定可导;,5.已学求导公式:,6.判断可导性,不连续,一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,作业：P86:6,7，9,13,16,17,练习,1.函数 在某点 处的导数,区别:,是函数,是数值;,联系:,有什么区别与联系?,与导函数,2.设,存在,则,3.设,问 a 取何值时,在,都存在,并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在 x=0 连续.,第二节,二、反函数的求导法则,三、复合函数求导法则
6、,四、初等函数的求导问题,一、四则运算求导法则,函数的求导法则,第二章,思路:,(构造性定义),求导法则,其它基本初等函数求导公式,证明中利用了两个重要极限,初等函数求导问题,本节内容,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商(除分母,为 0的点外)都在点 x 可导,且,下面证明（2）、（3）,并同时给出相应的推论和,例题.,(2),证:设,则有,故结论成立.,推论:,(C为常数),例1.,解:,(3),证:设,则有,故结论成立.,推论:,(C为常数),1.导数-增量比值的极限,复习第一节与四则运算求导法则,例.已知,则,3.导数的几何意义:,4.可导必连续,但连续不一定可导;,
7、5.已学求导公式:,2.,切线的斜率;,复习,6、四则运算求导法则,复习,例2.求证,证:,类似可证:注,二、反函数的求导法则,定理2.,y 的某邻域内单调可导,且由反函数的连续性知,因此,例3.求反三角函数及指数函数的导数.,解:1)设,则,类似可求得,2)设,则,在点 x 可导,三、复合函数求导法则,定理3.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,证:,在点 u 可导,故,（当 时),故有,例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,例4.求下列导数:,解:(1),(2),(3),说明:类似可得,例5.设,求,解:,思考:若,存在,如何求
8、,的导数?,练习:设,例6.设,解:,记,则,(反双曲正弦),其它反双曲函数的导数见 P96例17.,的反函数,四、初等函数的求导问题,1.常数和基本初等函数的导数(P95),练习1.,求,解:,练习2.,设,解:,求,1.有限次四则运算的求导法则,(C为常数),2.复合函数求导法则,3.初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数,内容小结,4.求导公式及求导法则(见 P95),注意:1),2)搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,P 97 2.单号;6.(9,10);7.(5,8);8.(2,3,6);11.(3，5，8),作业,内容小结,1.求下列函数的导数,解:(1),(2),或,第1
9、、2节课外练习,2.设,求,解:方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,课外练习 1.设,解：,2.设,解:,求,解:因为,3.设,存在,且,求,所以,在,处连续,且,存在，,证明:,在,处可导.,证：因为,存在，,则有,所以,即,在,处可导.,4.设,故,5.,求,解:,关键:搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,6.设,求,解:,牛顿(1642 1727),伟大的英国数学家,物理学家,天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书(1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等.,莱布尼兹(1646 1716),德国数学家,哲学家.,他和牛顿同为,微积分的创始人,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.,他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计,数法,并把它与中国的八卦联系起来.,
