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1、12.1无穷积分,第十二章 反常积分与含参量的积分,例1 计算广义积分,解,例2 计算广义积分,解,证,证,12.2 瑕积分,定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.,例5 计算广义积分,解,证,例7 计算广义积分,解,故原广义积分发散.,例8 计算广义积分,解,瑕点,无界函数的广义积分（瑕积分）,无穷限的广义积分,（注意：不能忽略内部的瑕点）,小结,思考题,积分 的瑕点是哪几点？,思考题解答,积分 可能的瑕点是,不是瑕点,的瑕点是,练 习 题,练习题答案,12.3 无穷限的广义积分的审敛法,不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛性的判定方法.,由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积分有以下比较收
2、敛原理,证,由定理知,例如，,例,解,根据比较审敛法，,例,解,所给广义积分收敛,例,解,根据极限审敛法，所给广义积分发散,例,解,根据极限审敛法，所给广义积分发散,证,即,收敛.,例5,解,所以所给广义积分收敛.,12.4 瑕积分的审敛法,例6,解,由洛必达法则知,根据极限审敛法2,所给广义积分发散.,例7,解,根据比较审敛原理,特点:,1.积分区间为无穷;,12.5 欧拉积分,在本节中我们将讨论由含参量反常积分,定义的两个很重要的非初等函数,含参量积分：,称为格马函数.,函数可以写成如下两个积分之和：,的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得);,时是收敛的无穷限反常积分(也可用柯西,上连续
3、.,用上述相同的方法考察积分,同理可证,2.递推公式,对下述积分应用分部积分法,有,在 上可导,且,可以得到,么在其他范围内的函数值可由它计算出来.,若s为正整数n+1,则(4)式可写成,故有,由于,4.延拓,改写递推公式(3)为,这时,用同样的方法,利用,式又可定义 在,内的值,而且,这时 依此,以外),其图象如图19-2所示.,定义这一事实,由(6),则有,二、B 函 数,含参量积分：,称为贝塔(Beta)函数(或写作 B 函数).,注 与前讨论的单参变量的含参数积分不同,B 函数,是含两元的含参量积分，但讨论的步骤与方法是完,全类似的.,这两个无界函数反常积分都收敛.所以函数,的定义域为
4、,2.对称 性,3.递推公式,证 下面只证公式(8),公式(9)可由对称性及公式(8),推得,而最后一个公式则可由公式(8),(9)推得.,当 时,有,移项并整理就得(8).,在应用中 B 函数也常常以如下形式出现:如令,则有,所以,即,对任何正实数 p,q 也有相同的关系:,这个关系式将在第二十一章8 中加以证明.,例1 求证,复习思考题,函数,上连续.,小结,12.6 含参量正常积分,对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分,它可用来构造新的非初等函数.含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.,一、含参量正常积分的定义,五、例题,四、含参量正常积分的可积性,三、含参量
5、正常积分的可微性,二、含参量正常积分的连续性,一、含参量正常积分的定义,续函数(图19-1),或简称为含参量积分.,二、含参量正常积分的连续性,在 a,b上连续.,只要,就有,所以由(3),(4)可得,在c,d 上连续.,注1 对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:,都有,这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极,限运算与积分运算的顺序是可以交换的.,为任意区间.,注2 由于连续性是局部性质,定理19.1中条件,证 对积分(6)用换元积分法,令,当 y 在c(x)与d(x)之间取值时,t 在 0,1 上取值,且,所以从(6)式可得,由于被积函数,(6)所确定的函数 F(x)在a,b
6、连续.,三、含参量正常积分的可微性,则函数,区间的端点,则讨论单侧函数),则,就有,其值含于 p,q内的可微函数,则函数,证 把 F(x)看作复合函数:,由复合函数求导法则及变动上限积分的性质,有,注 由于可微性也是局部性质,定理12.3 中条件 f 与,四、含参量正常积分的可积性,由定理12.1与定理12.2推得:,上连续,则 I(x)与 J(x)分别在,求积顺序不同的积分:,与,为书写简便起见,今后将上述两个积分写作,与,表示求积顺序相反.它们统称为累次积分.,连续,则,证 记,其中,定理12.3,取 就得到所要证明的(8)式.,五、例 题,例1 求,都是 a 和 x 的连续函数,由定理19.2 已知,I(a)在 处连续,所以,上连续.,例3 计算积分,解 令,上满足定理19.3的条件,于是,因为,所以,因而,另一方面,所以,的各阶导数存在，且,例4 设 在 的某个邻域内连续,验证当|x|充,是由定理 19.4 可得,同理,如此继续下去，求得 k 阶导数为,其各导数为,例5 求,解 因为,条件,所以交换积分顺序得到,用交换积分次序的方法求出积分值.,上连续,由定理12.6,复习思考题,1.参照定理12.1的证明,定理12.1中条件是否可减,弱为:,(2),验证你的结论.,
