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1、7.1 一元多项式环,第七章 多项式环,一、多项式的概念,中学多项式的定义：n个单项式（不含加法或减法运算的整式）的代数和叫多项式。,例：,4a+3b，,在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是形式表达式。,后来又把多项式定义为R上的函数：,但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中,并没有交代。,问题：,1、高等代数中采用什么观点定义多项式？,定义1：,设x是一个文字（或符号），n是一个非负整数,其中,，称为数域F上的一元多项式。,常数项或零次项,首项首项系数,称为i次项系数。,高等代数中采用形式观点定义多项式，它在两方面推广了中学的多项式定义：,这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。,
2、系数可以是任意数域。,例1,是Q上多项式；,是R上多项式；,是C上多项式。,都不是多项式。,定义2：,是两个多项式，,除系数为0的项之外，同次项的系数都相等。,多项式的表法唯一。,定义3：,设,最高次项，亦称为首项。,例2,零次多项式：次数为0的多项式即非零常数。,零多项式：系数全为0的多项式。对零多项式不,个多项式不是零多项式。,首一多项式：首项系数为1的多项式。,二、多项式的运算,定义4：,设,是数域F上次数分别,定义次数，因此，在谈论多项式的次数时，意味着这,。当mn时，取。,例3 设,其中,相乘积的和作为,的系数。得：,把 中两个系数下标之和为k的对应项,多项式的运算（加、减、乘）满足以下运算规律：,加法交换律：,加法结合律：,乘法交换律：,乘法结合律：,乘法对加法的分配律：,下面证明多项式乘法满足结合律。,证：设,现证,这只要比较两边同次项（比如t次项系数）相等即可。,左、右两边同次项的系数相等，,乘法满足结合律。,三、多项式的次数定理,定理1：设,证：设,多项式乘法没有零因子。,推论1：若,证：若f=0或g=0，则必有fg=0。,反之，若,，矛盾。,乘法消去律成立。,则,证：,定义6：,对多项式的加、减、乘法是否封闭？,上的多项式环。,对多项式的加、减、乘法封闭，故称为数域F,
