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1、如果积分区域 D 为：,其中函数、在区间 上连续.,2 Evaluation of Double Integral 一、Double Integral in Rectangular Coordinates,X型区域,X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,根据二重积分的几何意义,当 时,D,如果积分区域 D 为：,Y型区域,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的二次积分法仍然有效.,由于,说明:(1)若积分区域既是X型区域又
2、是Y 型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,Eg.1,注意两种积分次序的 计算效果！,Sol.1 将D看作X型区域,则,Sol.2 将D看作Y型区域,则,Eg.2 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,Sol.为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线,则,Eg.3,Sol.,X-型,Eg.4,Sol.,积不出的积分，无法计算。,由以上几例可见，为了使二重积分的计算较为简便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，同时还要兼顾被积函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分
3、区域和被积函数的特点。,有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,Eg.5 交换下列积分顺序,Sol.积分域由两部分组成:,视为Y型区域,则,Sol.积分域由两部分组成:,D1,D2,视为Y型区域,则,Eg.7,Sol.,Sol.,Sol.,化二重积分为二次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来.,另外交换二次积分的次序：先由二次积分找出二重积分的积分区域，画出积分区域，再交换积分次序，写出另一种次序下的二次积分.,以上各例说明,性质:设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D
4、1,当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,在 D 上,在闭区域上连续,域 D 关于x 轴,则,则,仍有类似结果.,在第一象限部分,则有,对称,Eg.10 计算,其中D 由,所围成.,Sol.令,(如图所示),显然,Eg.11 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.,Sol.设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,Sol.,曲面围成的立体如图.,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,小结,Y型,X型,思考与练习,1.设,且,求,解:,交换积分顺序后,x,y互换,2,解,先去掉绝对值符号，如图,将D 分为,添
5、加辅助线,利用对称性,得,3.计算二重积分,解:积分域如图,其中,D由直线,围成.,证明,证:左端,5.,证:左端,练 习 题,练习题答案,二、Double Integral in Polar Coordinates,设 D:,则,若 f 1 则可求得D 的面积,特别,若D:,则,D:,进一步,若,则,Sol.,Eg.2 计算,其中,Sol.在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,注:,利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上,当D 为 R2 时,利用例2的结果,得,故式成立.,Sol.,Sol.,Sol.,A,Eg.6 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,Sol.设,由对称性可知,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,小结,1.计算二重积分,其中,D为圆域,解:利用对称性.,思考与练习,2.,解,练 习 题,练习题答案,
