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1、第5章 时域离散系统的网络结构,5.1 引言 5.2 用信号流图表示网络结构 5.3 无限长脉冲响应基本网络结构 5.4 有限长脉冲响应基本网络结构 5.5 线性相位结构 5.6 频率采样结构,内 容 提 要,时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应，也可以用系统函数进行描述。如果系统输入、输出服从N阶差分方程：,则其系统函数H(z)为,5.1 引 言,为了用计算机或专用硬件完成对输入信号的处理,变换成一种算法，按照这种算法对输入信号进行运算,同一个差分方程或系统函数可以有多种算法。不同的算法直接影响系统运算误差、运算速度以及系统的复杂程度和成本等，因此研究实现信号处理的算法是一个很重要
2、的问题。我们用网络结构表示具体的算法，因此网络结构实际表示的是一种运算结构。,返回本章,数字信号处理中有三种基本运算，即乘法、加法和单位延迟。,5.2 用信号流图表示网络结构,图5.2.1 三种基本运算的流图表示,方框图表示法,信号流图表示法,a1y(n-1),几个基本概念：a）输入节点或源节点，x(n)所处的节点；b）输出节点或阱节点，y(n)所处的节点；c）分支节点，一个输入，一个或一个以上输 出的节点；将值分配到每一支路;d）相加器（节点)或和点，有两个或两个以上输入的节点。e)节点值：任何一节点值等于所有输入支路的信号值之和。而输入支路的信号值等于这一支路起点处节点信号值乘以支路上的传
3、输系数，支路不标传输系数时，就认为其传输系数为1。,1,2,3,5,4,6,7,y(n),和点：1，5；分支节点：2，3，4；源点：6；阱点：7,a1y(n-1),例,x(n),y(n),b0,a1,a2,z-1,z-1,1,2,3,5,4,根据信号流图可以求出网络的系统函数，方法是列出各个节点变量方程，形成联立方程组，并进行求解，求出输出与输入之间的z域关系。,求如下信号流图决定的系统函数H(z)。,【例5.2.1】,解：信号流图的节点变量方程为,经过联立求解得到,一般将网络结构分成两类：有限长单位脉冲响应网络，简称FIR（Finite Impulse Response）网络；无限长单位脉冲
4、响应网络，简称IIR（Infinite Impulse Response）网络。,返回本章,系统函数,系统函数,5.3 无限长脉冲响应基本网络结构,IIR系统的特点,单位冲激响应h(n)是无限长的。系统函数H(z)在有限z平面上（0|z|)有极点存在。结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。,IIR网络的基本网络结构,直接型,级联型,并联型,1,直接型,差分方程,系统函数,以下我们讨论M=N情况,直接型结构由差分方程直接实现,方程看出：y(n)由两部分组成：第一部分 是一个对输入x(n)的M节延时链结构，每个延时抽头后加权相加，是一个横向网络。第二部分 是一个N节延时链结构网络。不过它是对
5、y(n)延时，因而是个反馈网络。,y(n),z-1,z-1,z-1,b0,b1,b2,b M+1,bM,x(n),z-1,z-1,a1,a2,z-1,a N-1,aN,直接I型,由于对调后前后两路都有一条内容完全相同的延时链，可以合并为一条即可。,直接II型的结构流图,【例】,设IIR数字滤波器的系统函数H(z)为,画出该滤波器的直接型结构。,解：由H(z)写出差分方程如下：,图5.3.2 例5.3.1图,系统函数H(z)的分子、分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数。现将分子、分母多项式分别进行因式分解，得到：,2,级联型,因为H(z)的系数ai、bi都是实数，所以零、极点cr、dr只有两
6、种情况（a）或者是实根（b）或者是共轭复根,式中：gj、pj为实根；hj、qj为复根。其中：N1+2N2=N；M1+2M2=M。若将每一对共轭因子合并起来构成一个实系数的二阶因子。则：,式中，0j、1j、2j、1j和2j均为实数,式中i(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的子系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，H(z)则由k个子系统级联构成。,令,这样H(z)就分解成一些一阶或二阶的子系统函数相乘的形式：,图5.3.3 一阶和二阶直接型网络结构,一阶的分子、分母多项式组成一个一阶网络二阶的分子、分母多项式组成一个二阶网络,【例5.3.2】,设系统函数H(z)如下式：
7、,试画出其级联型网络结构。,解：将H(z)的分子、分母进行因式分解，得到：,图5.3.4 例图,它的每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点。调整0j，1j，2j，只单独调整滤波器第j对零点，而不影响其它零点。同样，调整a1j,a2j,只单独调整滤波器第j对极点，而不影响其它极点。,级联结构的特点,由于每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点，所以有利于控制频率响应。分子分母中二阶因子配合成基本二阶节的方式不同，以及各二阶节的排列次序不同，可以得到不同结构的滤波器。所以存在着最优化问题。,级联结构的特点,对应的网络结构为这k个子系统并联。上式中，Hi(z)通常为一阶网络或二阶网络，网络
8、系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为,3,并联型,如果将级联形式的H(z)展成部分分式形式，则得到：,【例】,已知,解：将H(z)展成部分分式形式,画出其并联型结构。,图5.3.5 例5.3.3图,并联型特点,可以单独调整极点位置，但不能象级联那样直接控制零点(因为只为各二阶节网络的零点，并非整个系统函数的零点)。其误差最小。因为并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联误差小。,返回本章,5.4 有限长脉冲响应基本网络结构,系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值处不为零。即h(n)是个有限长序列。系统函数H(z)在|z|0处收敛，有限z平面只有零点，极点全部在z=0处（因果系统）。结构上主要
9、是非递归结构，没有输出到输入反馈。但有些结构中（例如频率采样结构）也包含有反馈的递归部分。,FIR DF的特点,FIR的系统函数及差分方程,长度为N的单位冲激响应h(n)的系统函数为：,它实际上为,一般ai=0，即无反馈情况，其差分方程为,FIR网络的基本网络结构,直接型,级联型,线性相位型,频率采样型,1,直接型,y(n),倒下,FIR滤波器的直接型结构,FIR滤波器的直接型结构,2,级联型,当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)系统函数分解成一阶和二阶实系数因子的形式：,即可以由多个二阶节级联实现，每个二阶节用直接型结构实现。,图5.4.2 例5.4.1图,解：将H(z)进行因式分解，
10、得到：,【例5.4.1】,设FIR网络系统函数H(z)如下式：,画出H(z)的直接型结构和级联型结构。,由于这种结构所需的系数比直接型多，所需乘法运算也比直接型多，很少用。由于这种结构的每一节控制一对零点，因而在需要控制传输零点时用。,级联型结构特点,返回本章,5.5 线性相位结构,所谓线性相位：是指滤波器产生的相移与输入信号的频率成线性关系。,1 线性相位的定义,FIR的线性相位是非常重要的，因为数据传输以及图像处理都要求系统具有线性相位，而FIR滤波器由于它的冲激响应是有限长的,因而有可能做成严格线性相位的。,若FIR DF的h(n)是实数，且满足对称性。即满足约束条件：偶对称 h(n)=
11、h(N-1-n);奇对称 h(n)=-h(N-1-n);也就是说h(n)的对称中心在（N-1）/2，则这种FIR滤波器就具有严格线性相位。下面我们针对h(n)的奇、偶进行讨论。,第一类线性相位滤波器,第二类线性相位滤波器,令n=N-1-n代入,用n=n,并应用线性FIR特性：h(n)=h(N-1-n),（1）N=偶数时FIR的线性相位的特性,2 h(n)为偶对称,其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2),(1)h(n)为偶，N=偶数时,线性相位FIR的结构流图,共有（N/2-1）项,当N=奇数时，有一中间项h(N-1)/2)无法合并，需提出来：,（2）h(n)为偶，N=奇数时FIR的
12、线性相位的特性,其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2),h(N-3)/2)=h(N-1)/2）,(2)h(n)为偶，N=奇数时,线性相位FIR的结构流图,z-1,z-1,z-1,z-1,共有（N-3）/2项,当h(n)=偶对称时，即h(n)=h(N-1-n),可求出:,N=奇数时,总结：h(n)为偶对称，N=奇、偶数时FIR的线性相位的特性,N=偶数时,当h(n)=奇对称时，即h(n)=-h(N-1-n),可求出:,N=奇数时,N=奇、偶数时FIR的线性相位的特性,N=偶数时,3 h(n)为奇对称,h(n)为奇对称，N=偶数时,线性相位FIR的结构流图,-1,-1,-1,-1,-1
13、,h(n)为奇对称，N=奇数时,线性相位FIR的结构流图,z-1,z-1,z-1,z-1,返回本章,设FIR DF 的脉冲响应为N点有限长序列h(n),则有：,在满足频域采样定理的情况下，可以由H(k)通过内插公式得到H(z)：,5.6 频率采样结构,由：,得到FIR滤波器的频率采样型结构。它由两部分级联而成。,其中：第一部分为梳状滤波器 第二部分由N个谐振器组成的谐振柜,频率采样型滤波器结构,它是一个由N节延时单元所组成的梳状滤波器。,由,看出：,（1）梳状滤波器,令,零、极点特性,而等间隔角度之间为,所以,即,在单位圆上有N个等间隔角度的零点。,的频率响应为：,幅频特性及流图,幅频曲线,梳
14、状滤波器信号流图,一阶网络在频率 处响应为无穷大，此时Hk(z),谐振器：是一阶网络。,谐振器的零极点：此为一阶网络，有一极点：,（2）谐振器,这个谐振器的极点正好与梳状滤波器的一个零点（i=k)相抵消,从而使这个频率（w=2k/N)上的频率响应等于H(k).,谐振柜：它是由N个谐振器并联而成的。,这个谐振柜的N极点正好与梳状滤波器的N个零点相抵消，从而在N个抽样点的频率响应就分别等于N个H(k)值。,(3)谐振柜,（4）频率采样型结构流图,将两部分级联起来，得到频率采样结构流图。,频率域采样结构有两个突出优点：在频率采样点k处，,只要调整H(k)（即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k)）
15、，就可以有效地调整频响特性，使实践中的调整方便，可以实现任意形状的频响曲线。只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N个一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相同部分便可以标准化、模块化。各支路增益可做成可编程单元，生产可编程FIR滤波器。,(5)频率采样型结构特点,系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点相互对消保证的。实际上，因为寄存器字长都是有限的，对网络中支路增益 量化时产生量化误差，可能使零极点不能完全对消，从而影响系统稳定性。结构中，H(k)和 一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。,频率采样结构亦有两个缺点：,首先将
16、单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径为r的圆上，取r1且r1。此时H(z)为 式中，Hr(k)是在r圆上对H(z)的N点等间隔采样之值。由于r1，因此可近似取Hr(k)H(k)。这样，零极点均为 如果由于实际量化误差，零极点不能抵消时，极点位置仍处在单位圆内，保持系统稳定。,（6）为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正,另外，由DFT的共轭对称性知道，如果h(n)是实数序列，则其离散傅里叶变换H(k)关于N/2点共轭对称，即H(k)=H*(Nk)。而且，我们将Hk(z)和HNk(z)合并为一个二阶网络，并记为Hk(z)，则,式中,显然，二阶网络Hk(z)的系数都为实数，其结构如图5.6.2(a)所示。当N为偶数时，H(z)可表示为,H(0)和H(N/2)为实数,图5.6.2 频率采样修正结构,由N/21个二阶网络和两个一阶网络并联构成,当N奇数时，只有一个采样值H(0)为实数，H(z)可表示为,N等于奇数的修正结构由一个一阶网络和(N1)/2个二阶网络结构构成。,由图可见，当采样点数N很大时，其结构显然很复杂，需要的乘法器和延时单元很多。但对于窄带滤波器，大部分频率采样值H(k)为零，从而使二阶网络个数大大减少。所以频率采样结构适用于窄带滤波器。,返回本章,频率采样修正结构的特点,
