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1、7-1 应力状态概述7-2 二向和三向应力状态的实例7-3 二向应力状态分析解析法7-4 二向应力状态分析图解法（应力圆）7-5 三向应力状态,第七章 应力和应变分析,1、问题的提出,7-1 应力状态概述,轴向拉伸杆件,斜截面应力：,问题1：同一点处不同方位截面上的应力不相同；,横截面应力：,梁弯曲的强度条件：,问题2 B点处应力该如何校核？,有必要研究一点的应力状态。,2、点的应力状态的概念,横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。,应力的三个重要概念,2、点的应力状态的概念,应力的三个重要概念,单元体平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面
2、上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。,过一点不同方位截面上应力情况，称为这一点的应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。,应 力,指明,2、点的应力状态的概念,研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最 大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当 的强度条件。,过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。,应力状态分析就是研究一点处沿各个不同方位的截面上的应力及其变化规律。,3、一点的应力状态的描述,研究一点的应力状态，可对一个包围该点的微小正六面体单元体进行分析,各边边长,在单元体各面上标上应力,应力
3、单元体,（1）、主平面与主应力：,主平面：切应力为零的平面。,主应力：作用于主平面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值由大到小。,过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,4、应力状态的分类,a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态。,b、二向应力状态：有两个主应力不等于零，另一个主应力 等于零的应力状态。,c、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。,（2)、应力状态的分类,平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。,复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。,空间应力状态：三向应力状态,简单应力状态：单向应力状态。,纯剪切应力状
4、态：单元体上只存在剪应力无正应力。,空间应力状态,平面应力状态,单向应力状态,纯剪应力状态,应力表示单元体：,dx、dy、dz（微小的正六面体）单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对应点同方位截面上的应力。,B、C单向受力，0,A纯剪切，0,D既有，又有,取单元体示例一,S截面,S 截面,取单元体示例二,S 截面,忽略弯曲切应力,y,z,x,7-2 二向和三向应力状态的实例,一、斜截面上的应力计算,73 二向应力状态分析 解析法,空间问题简化为平面问题,-逆时针转为正。,设：斜截面面积为A，由分离体平衡得：,单元体各面面积,由切应力互等定理和三角变换，可得：,符号规定：1)“”正负号同“”；2
5、)“t a”正负号同“t”；3)“a”为斜面的外法线与 x 轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针 为负。注意：用公式计算时代入相应的正负号。,讨论：,1)、,即单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。,即又一次证明了剪应力的互等定理。,讨论：,2)、的极值 主应力以及主平面方位,可以确定出两个相互垂直的平面主平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。,主平面的方位,主应力的大小,讨论：,2)、的极值 主应力以及主平面方位,显然,在面上,3)、切应力t a 的极值及所在截面,最大切应力 所在的位置,xy 面内的最大切应力,由,面上的正应力:,主平面的位置,最大切应力 所在的位置,将 与 画在
6、原单元体上。,例：如图所示单元体，求a 斜面的应力及主应力、主平面。,（单位：MPa）,300,40,50,60,解：1、求斜面的应力,2、求主应力、主平面,主应力：,主平面位置：,分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。,低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。,低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿450出现滑移线，是由最大切应力引起的。,例题,低 碳 钢 拉 伸 试 验,问题?,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。,铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应力作用面（即450螺旋面）断开的。因此，
7、可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。,例题,铸铁 扭 转 试 验,问题?,为什么脆性材料扭转时沿45斜截面断开？,7-4 二向应力状态分析 图解法,一、应力圆：,(1),(2),对(1)(2)式两边平方，将两式相加，并利用,消去 和，得,一、应力圆：,这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆,圆心：,半径：,应力圆：,2.应力圆是个信息源(从力学观点分析）（1）若已知一个应力单元体两个互相垂直面上的应力就一定可以作一个圆，圆周上的各点就是该单元体任意斜截面 上的应力。（2）平面应力状态下任意斜截面 上的应力相互制约在圆周上变化。,二.应力圆的画法,在s-t坐标系中，标定与微元A、D面上
8、应力对应的点a和d。,连ad 交 s 轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径。,点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面 上的正应力和切应力,三、几个对应关系,转向对应半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致；,二倍角对应半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。,d,a,c,四、应力圆的应用,（1）对基本变形的应力分析,单向拉伸,单向拉伸,t45o,s45o,45方向面既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。,可见：,s-45o,t-45o,B,E,主应力单元体,纯剪切,纯剪切,四、应力圆的应用,（2）平面应力状态下求任意截面上的应力,点面相对应，首先找基准。转向要相同，
9、夹角两倍整。,四、应力圆的应用,（3）平面应力状态下主平面、主应力及主方向,20,A,D,主平面：=0,与应力圆上和横轴交点对应的面,主平面的确定,四、应力圆的应用,（3）平面应力状态下主平面、主应力及主方向,主应力的确定,四、应力圆的应用,（3）平面应力状态下主平面、主应力及主方向,主应力的排序,四、应力圆的应用,（3）平面应力状态下主平面、主应力及主方向,主方向的确定,s1,s2,s1,(sx,txy),负号表示从主应力的正方向到x轴的正方向为顺时转向,四、应力圆的应用,（4）面内最大切应力,对应应力圆上的最高点的面上切应力最大，称为“面内最大切应力”。,tmax,D,例：求 1）图示单元
10、体=300 斜截面上的应力 2）主应力、主平面（单位：MPa）。,60,E,2、量出所求的物理量,解：1、按比例画此单元体对应的应力圆,7-5 三向应力状态,主单元体：六个平面都是主平面,若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力:,(1)求平行于3的方向面的应力、,其上之应力与3 无关.于是由1、2作出应力圆I,(2)求平行于2的方向面的应力、,其上之应力与2 无关.于是由1、3作出应力圆II,(3)求平行于1的方向面的应力、,其上之应力与1 无关.于是由2、3作出应力圆III,这样，单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆圆周上各点的坐标来表示。,至于与三个主方向
11、都不平行的任意斜截面，弹性力学中已证明，其应力n和n可由图中阴影面内某点的坐标来表示。,在三向应力状态情况下：,max 作用在与2平行且与1和3的方向成45角的平面上，以1，3表示,1).弹性理论证明，图a单元体内任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。,图a,图b,2).整个单元体内的最大切应力为：,结论,例7-5-1：求图示应力状态的主应力和最大剪应力。（应力单位为MPa）。,解：,7-5-2 求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。,解：,7-5-3 试根据图a所示单元体各面上的应力作出应力圆，并求出主应力和最大切应力的值及它们的作用面方位。,(a),解:
12、1.图a所示单元体上正应力z=20 MPa的作用面(z截面)上无切应力，因而该正应力为主应力。,2.与主平面z截面垂直的各截面上的应力与主应力z无关，故可画出显示与z截面垂直各截面上应力随截面方位角变化的应力圆。,(a),从圆上得出两个主应力46 MPa和-26 MPa。这样就得到了包括z=20 MPa在内的三个主应力。他们按代数值大小排序为 146 MPa，220 MPa，3-26 MPa。,(b),(a),3.依据三个主应力值作出的三个应力圆如图b所示。,2a034可知为a017且由x截面逆时针转动，如图c中所示。,(c),(b),4.最大切应力max由应力圆上点B的纵座标知为 max36
13、 MPa，作用在由1 作用面绕2 逆时针45 的面上(图c)。,(c),(b),二、三向应力状态：,+,+,一、单向应力状态：,7-8 广义胡克定律,（广义虎克定律）,三、广义胡克定律的一般形式:,广义胡克定律的应用求平面应力状态下任意方向 的正应变：,a,a+90,例 槽形刚体内放置一边长为a=10 cm 正方形钢块，试求钢块的三个主应力。F=8 kN，E=200 GPa,=0.3。,解：1)研究对象：,2)由广义虎克定律：,正方形钢块,展开上式，并略去高阶微量：,四、体积应变,体积应变与应力分量间的关系:,-平均应力。,体积应变单位体积的体积改变,体积虎克定律:,即体积应变与三个主应力之和
14、有关,与主应力的大小比例无关.,讨论:纯剪切平面应力状态的体积应变,剪应力的存在不影响体积应变.,因此对于一般空间的应力状态单元体,7-9 复杂应力状态下的应变能密度,(1)单向应力状态下的比能,比能,变形能,外力所做的功,应变能密度:单位体积内储存的变形能,s1,s2,s3,(2)三向应力状态下的比能,式中主应变用主应力表示,则,图 b 体积改变，,形状不变；,图 c 形状改变，体积不变。,单元体的比能：,称为体积改变比能,图 C 单元体的体积应变：,单元体的比能 体积改变比能(b)形状态改变比能(c),称为形状改变比能,所以图 C 单元体体积不变,图 a 单元体的体积应变：,称为形状改变比能 或 畸变能密度,b图的体积应变比能：,
