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1、第十一章 经典谱估计,11.1 概述11.2 自相关函数的估计11.3 经典谱估计的基本方法11.4 经典谱估计的质量11.5 经典谱估计的改进11.6 经典谱估计算法比较11.7 短时傅里叶变换,请抓住并搞清楚如下四个问题：功率谱为什么要估计？如何估计？如何评价估计质量？如不理想，如何改进？,11.1 概述,平稳随机信号功率谱的两个定义：,平稳信号,可将 看作能量信号，因此，可对它作傅立叶变换，并得到功率谱：,问题：的功率谱 和单个样本的功率谱 有何关系？和整个随机信号的功率谱 有何关系？,1.求极限：,2.求均值：,双求和变成单求和：,证明：,功率谱的两个定义都要求：样本无穷多，时间无限长
2、，即需要集总平均。,功率谱估计：古老而又年轻的话题！,实际工作中，我们往往能得到的是：1.单一的样本；2.单一样本的有限长数据；,11.2 自相关函数估计,目的：自身估计的需要；功率谱估计的需要,定义：,近似质量如何,？,Estimation Estimate Estimator（估计子）,估计方法：,从估计方法上看，实际上是把随机信号“视为”单样本有限长的确定性信号。问题是：,偏差,自相关函数估计的质量：,估计方法,单个样本,所以：,那儿来的三角窗？在数据上加矩形窗，长度为 N，该矩形窗函数的自相关函数正是三角窗！注意矩形窗加在数据上，三角窗加在相关函数上，体现在估计的自相关函数的均值上。,
3、方差,2.方差,来自定义,包含两项,前面结果,由：,最后导出：,零均值高斯分布,3.自相关函数的计算,已知单个样本的 N 点数据,估计,Step1:将 补 个零得;Step2:对 做FFT,得；Step3:对 求幅平方，得；Step4:由 得，对其作 IFFT,得。,思考：和 有何关系,（2）利用FFT：,？,自相关函数的另一个估计方法（估计子）：,很容易证明：是 的无偏估计，但方差性能不好。在一些谱估计的方法中，有时用到该公式。,要求：很好掌握自相关函数的估计方法及估计性质。,11.3 经典谱估计,问题的提出：对随机信号，我们往往只能得到它的：1.单一的样本；并且仅是 2.单一样本的有限长数
4、据；如何用这 N 数据去估计原随机信号真实的功率谱,？,1.周期图（Periodogram）法：,经典谱估计中有两个基本的方法：,思路：对 做DTFT(DFT),得到频谱；对该频谱求幅平方，再除以N，即得到“周期图”功率谱，以此作为对真谱的估计。,2.自相关（Blackman-Tukey BT法）法:,Step1,Step2,因为先要估计自相关函数，所以又称间接法。与此相对应，周期图法又称直接法。,3.直接法和间接法的关系：,需要考虑两种情况：,（一）,（二）,数据的范围,自相关函数的范围,（一）,比较用两种方法的估计出的离散谱：,2N 点的谱，把所能估计出的自相关函数都使用上了，而估计自相关
5、函数时，把 N 点数据也全都使用上了。,对 补N 个零，做DFT,得到,结论：在 时，直接法和间接法估计的结果是一样的。,？,不补零，,思考：,即：,如何和 相等？,（二）,所以：,相当于只用了部分自相关函数,直接法和间接法之间的关系,11.4经典谱估计的质量,1.偏差,于是有：,的真实功率谱；,的频谱谱；,的频谱谱；,三角窗；,注意：三角窗频谱恒为正,最后有：,由于,所以：,因为：,2.方差,又遇到四阶矩问题，直接求解困难。,（1）假定 是高斯零均值的随机过程；,思路：,（2）求 在 处的协方差：,定义：,有关方差公式的推导不作要求。主要是掌握结论，并用来说明问题。,（3）令，则,推导的结果
6、：方差,（1）时,经典功率谱估计不是一致估计,解释：,推导的结果：协方差,在,处，,说明：随机变量 在 处不相关;,原因：功率谱的定义中即要求极限，又要求均 值；而实际的估计方法，仅靠单次实现 的有限长，无极限、又无均值运算，因 此产生上述问题。,后果：使估计出的谱曲线起伏加剧；,增大，的主瓣（）将变窄，因此，引起不相关的区域进一步增多，从而引起谱曲线的更加起伏，实际上是方差变大。,分辨率和方差（体现在曲线起伏上），是经典谱估计中的一对矛盾。,通常，增加，会提高谱的分辨率，对经典谱估计来说，增加 固然会有利于提高分辨率，但谱曲线的起伏令使用者难以接受，这是经典谱估计的一个致命缺点。,对白噪声在
7、不同长度情况下估计出的谱曲线：,N16 N 32,N64 N 128,经典谱估计质量的讨论：,(二)、,：加在估计的自相关函数上，,周期图谱估计和自相关法的谱估计 不再一样！,1.偏差,2.方差：,考虑特殊情况，为白噪序列，其功率谱应为常数，即,时对白噪声功率谱估计的方差,：方差改进之比,两种情况下估计的方差之比：,?,取哈明窗：,结论：,1.在 加上 后，估计的谱 的偏差劣于 M=N1 时估计的谱，而方差优于 M=N1 时估计的谱；,（2）在 的范围上，因为B变大，不相关的点变少。,2.上加窗 以后，估计谱 方差的改进体现在两个方面：,（1）,原主瓣宽，取决于,现主瓣宽，取决于,3.方差的减
8、小是以牺牲分辨率为代价的！,若分辨率能满足要求，这样做是有意义的。即：既保证了分辨率，又使估计出的谱较为平滑。,11.5 直接法估计的改进,任务：改进 对 估计的性能；,目标：主要是改进方差的性能,方法：平滑与平均；,理论依据:L个独立同分布随即变量和的分布，方差减小 倍，即：,将一个较长的信号分成若干段，对每一段求功率谱，每一段的功率谱都是随机变量，然后平均之。类似相干平均，用以弥补经典谱估计中缺少的求均值运算。注意：信号应是平稳的，且每一段的统计特性基本一样。,2.平均（Average）,（1）.Bartlett平均,将 分成 段，每段 点，即,：的自相关；类似 引入的,2.Welch平均
9、,特点：交叠分段,若重叠一半，段数,变大,：不一定是矩形窗，如Hamming窗,Welch 平均是常用的经典谱估计方法，MATLAB中有相应的命令,Welch平均法的方差比Barttlett方法有明显的减小，而偏差几乎没有减小,3.Nottall 法：平滑与平均相结合,11.6 总结与比较,请掌握如下的方法：,白噪声1,白噪声2,两个输出都是随机信号,由自己指定,令：,则：,构成一复信号,得到 的功率谱；,在 的基础上再加上四个复正弦，归一化频率分别是：,调整，可以得到不同的信噪比，本例取,这样，的真实功率谱可得到，并可画出。我们可以此作为比较各种算法的依据。,实际工作中，对信号 总取有限长，
10、如，由这128点去“求”功率谱，得到的当然是估计值。,（a）真实谱；（b）周期图；（c）Welch平均，四段，无迭合，Hamming窗；（d）同c,但迭合16点,（e）BT法，M32；（f）BT法，M16,经典功率谱估计的特点：,1.物理概念明确，可用FFT快速算法。所以 是大众化的谱估计方法；2.对周期图，分辨率受到 的限制；对自相关法，分辨率受到 的限制；3.方差性能不好，不是一致估计，N 增 大时谱曲线反而起伏加剧；,加在数据上的窗函数，产生了加在自相关函数上的延迟窗窗的作用及影响是什么？,4.改进方法是“平滑”与“平均”，改进的目 的是减小方差，但牺牲了分辨率；5.窗函数的作用与影响：
11、,11.7 短时傅里叶变换,平稳信号：均值、方差及均方都不随时间变换，自相关函数仅和两个观察时间的差有关，和观察的具体位置无关；,非平稳信号：均值、方差都随时间变化，自相关函数也和观察的时间位置有关，信号的频率也随时间而变化，如语音、脑电及其他含有较多突变分量的信号。其一阶、二阶统计量和功率谱的估计显然不能简单地使用平稳信号的估计方法，必须考虑其时变因素。,方法：分段，每一小段可看作是平稳的。,概念：,式中,其STFT定义为:,并且窗函数应取对称函数。,谱图是恒正的，且是实的。,概念：,“谱图（spectrogram）”,由于,所以,谱图是信号能量的分布。,考虑 是随机信号的一个样本，谱图可实
12、现信号功率谱的估计。注意，它们是 的函数,将信号 变换为一个二维函数 的方法称为信号的联合时频分析：,STFT,谱图,Wigner分布,Cohen类分布,例1,信号x(n)由三个不同频率的正弦首尾相接所组成，即,例2,线性频率调制信号（chirp）,其频率与时间成正比非平稳,例2,两个chirp信号，一个频率随时间增长，一个频率随时间减小，求它们和的谱图。,与本章内容有关的MATLAB文件,pwelch.m 本文件用Welch平均法估计一个信号的功率谱，其基本调用格式是：Px,F=pwelch(x,Nfft,Fs,window,Noverlap)式中 x 是随机信号，Fs是抽样频率，Nfft是对x作FFT时的长度，window是选用的窗函数,Noverlap是估计x的功率谱时每一段叠合的长度。缺省时，Nfft=256,noverlap=0,window=Hanning(Nfft),Fs=2。输出的Px是估计出的功率谱，按上述调用格式给出的是幅平方值，F是频率轴坐标。,2.spectrum.m功能和pwelch.m类似，可用Welch平均法来估计一个信号的自功率谱，还可用于估计两个信号的互功率谱。,3specgram.m 估计信号的谱图，但实际上估计的是其短时傅里叶变换。该文件主要针对非平稳信号，当然也可用于平稳信号，甚至确定性信号。,
