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1、一、平面曲线积分与路径无关的条件,二、二元函数的全微分求积,第三节(2)线积分与路径无 关的条件,第十一章,p197.例2,回顾,结果：被积函数相同,起点终点也相同,但是由于积分路径不同,导致积分结果不同.,称此曲线积分与路径有关,被积函数相同,起点和终 点也相同,虽然积分路径不同,但是积分结果相同.称此曲线积分与路径无关,回顾,p197.例2,结果：,1、曲线积分与路径义无关的定义,B,A,如果在区域G内有,一、平面曲线积分与路径无关的条件,2、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2.设D 是单连通域,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有,(2)对D 中任一
2、分段光滑曲线 L,曲线积分,(3),(4)在 D 内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为,证明(1)(2),设,为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),证明(2)(3),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B(x,y),与路径无关,有函数,证明(3)(4),设存在函数 u(x,y)使得,则,P,Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,证明(4)(1),设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得,所围区域为,证
3、毕,注意:1.常用 来判断曲线积分与路径无关;,2.当曲线积分与路径无关时，常选择最简路径平行于坐标轴的直线段组成的折线作为积分路径;,如果D是复连通域,即使曲线积分也不一定与路径无关。,例1,证,则,因此有,例2,解,二、二元函数的全微分求积,1.原函数:,如果存在一个函数u(x,y)，使得,du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,原函数,全微分式,例如,全微分式,2.判别定理,定理3.设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通域D内具有一阶连续偏导数，则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在D内为某一函数全微分,在D内恒成立.,3.全微分求积,当Pdx+Qdy为全微分式时，求其原函数u(x,y)的过程.,与路径无关，可选平行于坐标轴的折线作为积分路径.,如图取 为积分路径,得,如图取 为积分路径,得,例1,解,或,例2,解1,取积分路线如图,故,故,例3,解,*全微分方程及其求法,定义:,若有全微分形式,例如,所以原方程是全微分方程.,全微分方程,全微分方程的解法:,1应用曲线积分与路径无关,则全微分方程的通解为,例,解,这是全微分方程.,方程的通解为,解,是全微分方程,将左端重新组合,原方程的通解为,例2,用直接凑全微分的方法.,
