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1、应用时间序列分析何书元 编著北京大学出版社,概率统计学科中的一个分支，具有非常广泛的应用领域(数据以时间序列的形式出现）：金融经济气象水文信号处理机械振动目的：描述、解释、预测、控制本书主要介绍时间序列（线性平稳序列）的基本知识、常用的建模和预测方法,国际航空公司月旅客数,参考书：时间序列的理论与方法 田铮 译深入学习 Nonlinear Time Series:Nonparametric and Parametric Methods Jianqing Fan Qiwei Yao SPRINGER,Matlab软件http:/统计学研究所王秀云课件下载,目 录,第一章 时间序列第二章 自回归模
2、型第三章 滑动平均模型与自回归滑动平均模型第四章 均值和自协方差函数的估计第五章 时间序列的预报第六章 ARMA模型的参数估计,应用时间序列分析,第一章,时间序列,时间序列、平稳序列 线性平稳序列、平稳序列的谱函数,1.1 时间序列的分解,最早的时间序列分析可以追溯到7000年前的古埃及。古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来，就构成所谓的时间序列。对这个时间序列长期的观察使他们发现尼罗河的涨落非常有规律。由于掌握了尼罗河泛滥的规律，使得古埃及的农业迅速发展，从而创建了埃及灿烂的史前文明。按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发
3、展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。,例1,德国业余天文学家施瓦尔发现太阳黑子的活动具有11年左右的周期,Wolfer记录的300年的太阳黑子数,例2,国际航空公司月旅客数,某上市公司的周走势图,例3,1790-1980年间每10年的美国人口总数,例4,1985至2000年广州月平均气温,例5（见教材）,北京地区洪涝灾害数据,例5 虚线是成灾面积,图,一、时间序列的定义,时间序列:按时间次序排列的随机变量序列 个观测样本:随机序列的 个有序观测值 称序列 是时间序列(1.1)的一次实现或一条轨道,二、时间序列的分解,时间序列的典型模型趋势项、季节项、随机项注：1.单周期s季节项，则 此
4、时在模型中可要求,2.随机项，可设,三、分解方法,例.某城市居民季度用煤消耗量,例图,分解一般步骤,1.趋势项估计分段趋势线性回归拟合直线二次曲线回归滑动平均估计2.估计趋势项后,所得数据由季节项和随机项组成,季节项估计可由该数据的每个季节平均而得.3.随机项估计即为,方法一：分段趋势法,一、分段趋势图(年平均),趋势项估计为,二、减去趋势项后,所得数据,消取趋势项后图,三、季节项和随机项,1.季节项估计,2.随机项的估计,方法二：回归直线法,一、趋势项估计 一元线性回归模型 最小二乘估计为 可得到,数据和直线趋势项,估计趋势项后,所得数据,（1.0e+003*）1.0764-0.4802-0
5、.9979 0.5542 0.9258-0.3789-1.1878 0.4509 0.6572-0.3406-1.3462 0.40261.0654-0.5541-1.1190 0.51181.2611-0.3112-1.1988 0.55801.2365-0.2964-1.0817 0.5884,二、季节项估计 为,1.0e+003*1.0371-0.3936-1.1552 0.51101.0371-0.3936-1.1552 0.51101.0371-0.3936-1.1552 0.51101.0371-0.3936-1.1552 0.51101.0371-0.3936-1.1552 0.
6、51101.0371-0.3936-1.1552 0.5110,随机项估计为,方法三：二次曲线法,数据和二次趋势项估计,二次项估计,季节项,1.0e+003*1.0283-0.4002-1.1630 0.4989 1.0283-0.4002-1.1630 0.4989 1.0283-0.4002-1.1630 0.4989 1.0283-0.4002-1.1630 0.4989 1.0283-0.4002-1.1630 0.4989 1.0283-0.4002-1.1630 0.4989,随机项,-83.0000-176.9667 99.0000 16.8833-116.4000 28.733
7、3 0.7000-7.6167-319.0000 120.2333-117.3000-28.3167104.0000-91.2667 99.1000 57.2833263.3000 102.4333-42.7000 28.6833151.1000 16.8333-38.8000-66.9167,1.2 平稳序列,时间序列的分解中趋势项和季节项通常可以用非随机函数来描述。随机项通常呈现出沿一水平波动的性质，且前后数据具有一定的相关性，与独立序列有所不同。,一、平稳序列,例2.1 平稳序列的线性变换,例2.2 调和平稳序列,自协方差函数的性质,性质(2)的证明,证 任取一个 维实向量有,性质(3)
8、、Schwarz不等式,非负定性、随机变量的线性相关,自相关系数,白噪声,标准正态白噪声的60个样本:A=randn(1,60)；plot(A),例2.3 Poisson过程,Poisson白噪声,Poisson白噪声的60样本的产生,1.随机产生服从(0,1)上均匀的200个样本:2.给出服从参数为1的指数分布的200个独立样本;3.给出参数为1的Poisson过程一条样本轨道在i=1,61上的取值:y=rand(1,100);z=-log(1-y);for i=1:61;sum=0;num=0;for j=1:100sum=sum+z(j);if sum=i num=num+1;end N
9、(i)=num;end end,4参数为的Poisson白噪声的60个样本:t=1:60;plot(t,N(t+1)-N(t)-1)；,布朗运动,标准正态白噪声的60个样本:A=randn(1,60)；plot(A),随机相位,随机相位独立白噪声的60个样本,独立白噪声的60个样本，其中独立同分布且都在上服从 均匀分布for t=1:60;U(t)=rand(1,1);end plot(U)t=1:60;plot(t,sqrt(2)*cos(4*t+2*pi*U(t),二、正交和不相关性,定理2.2,1.3 线性平稳序列和线性滤波,有限运动平均线性平稳序列时间序列的线性滤波,有限运动平均,MA
10、的平稳性,概率极限定理,线性平稳序列,1.线性序列的a.s.收敛性,2.线性序列的平稳性,注:均方意义下的线性序列,3.定理,证 当 时,注：,4.一般平稳序列不一定,则,单边线性序列,线性滤波,矩形窗滤波器,例3.1 余弦波信号的滤波,注:,余弦波信号的滤波,余弦波信号的滤波：t=1:100;epslon(t)=randn(1,100);U=rand(1,1);x(t)=1.5*cos(pi/7*t+2*pi*U)+2*pi*epslon(t);plot(x),t=1:100;epslon(t)=randn(1,100);U=rand(1,1);x(t)=1.5*cos(pi/7*t+2*p
11、i*U)+epslon(t);plot(x);hold ont=4:97;y(t)=1/7*(x(t-3)+x(t-2)+x(t-1)+x(t)+x(t+1)+x(t+2)+x(t+3);plot(t,y(t)+3,-.r),1.4 正态时间序列和随机变量的收敛性,随机向量的数学期望和方差正态平稳序列,随机向量的数学期望和方差,随机向量线性变换,多维正态分布,多维正态分布的充要条件,正态平稳序列,概率极限,正态序列收敛定理,正态线性序列,证明 平稳序列已证。下证为正态序列先证对任何,有其中.,对任何,定义其中 则有当 时,有,由定理4.2,得到 依分布收敛到.故 从而由 和定理4.1得到(4.
12、9).,用同样方法可以证明:对任何 有其中.定理4.4成立.注:当 时结论仍成立.,1.5 严平稳序列及其遍历性,严平稳序列,严平稳与宽平稳关系,遍历性,遍历性例子,遍历定理,线性平稳列的遍历定理,1.6 Hilbert 空间中的平稳序列,Hilbert 空间内积的连续性复值随机变量,Hilbert 空间,Hilbert 空间,Hilbert 空间,Hilbert 空间,Hilbert 空间,Hilbert 空间,内积的连续性,证明,例、n维Hilbert空间,复值随机变量,复值时间序列,1.7 平稳序列的谱函数,时域和频域,谱函数定义,谱函数存在唯一性定理,谱函数和谱密度的关系,线性平稳序列的谱密度,例,自相关函数图,谱密度图,两正交序列的谱,线性滤波与谱,定理7.4,时间序列分析软件,常用软件S-plus，Matlab，Gauss，TSP，Eviews 和SAS 推荐软件SAS，matlab,
