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1、第二章 误差理论及应用,本章主要内容,误差来源、概念与分类()系统误差 分类()消除方法()综合()随机误差过失误差,第一节 误差的来源与分类,一、来源及基本概念误差的来源：测量方法、测量仪器、测试环境条件以及测试人员的技术水平等误差的概念：绝对误差：测量值与真值之差。相对误差：测试系统测量值（即示值）的绝对误差 与被测参量真值X0 的比值，称之为测试系统测量（示值）的相对误差，常用百分数表示,*用相对误差通常比其绝对误差能更好地说明不同测量的精确程度，一般来说相对误差值小，其测量精度就高；相对误差本身没有量纲。误差是绝对的 测量条件相同，测量结果不同，表明误差存在 测量结果相同，但不能说明没
2、有误差测量误差分析的目的：研究在测量中产生误差的大小、性质及产生的原因，以便对测量精度做出评价。,二、测量误差的分类按产生误差因素的出现规律以及它们对测量结果的影响程度分为：系统误差、随机误差、过失误差。系统误差 1.定义 在相同条件下，多次重复测量同一被测参量时，其测量误差的大小和符号保持不变；或在条件改变时，误差按某一确定的规律变化，这种测量误差称为系统误差。2.系统误差可控，结果可加以修正 正确的测量结果不应该包含系统误差,3.产生系统误差的主要原因仪器不良，如零点未校准刻度不准;测试环境的变化，如外界湿度、温度、压力变化等;安装不当;测试人员的习惯偏向，如读数偏高;测量方法不当。,随机
3、误差 1.定义 在相同条件下多次重复测量同一被测参量时，测量误差的大小与符号均无规律变化，这类误差称为随机误差。2.随机误差是不可控的，不可排除的 随机误差必然存在于测量结果之中 3.随机误差完全服从统计规律 误差的大小及正负符号的出现，完全由概率决定；误差与测量的次数有关，随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值将逐渐接近于零。,过失误差 1.定义 一种显然与事实不相符的误差称为过失误差.2.原因 测量者粗枝大叶、过度疲劳或操作不正确等引起的 3.过失误差无规则可寻，但可以避免的 包含过失误差的测量结果是不可采用的,精度：,测量结果与真值吻合程度,定性概念,测量精度举例,不精密（随机误差大）
4、准确（系统误差小）,精密（随机误差小）不准确（系统误差大）,不精密（随机误差大）不准确（系统误差大）,精密（随机误差小）准确（系统误差小）,测量精度,精密度：,(precision),表述：,概念：,重复测量时，测量结果的分散性,准确度：,表述：,精确度：,(正确度),测量结果与真值的接近程度，系统误差的影响程度,性质：,随机误差的标准差(standard deviation),性质：,系统误差和随机误差综合影响程度,平均值与真值的偏差(deviation),表述：,不确定度(uncertainty),工程表示：,最大允许误差相对于仪表测量范围地百分数,0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,
5、2.5,5.0 七级,第二节 系统误差,一、系统误差分类1.按误差值变化规律分 误差值恒定不变的又称为定值系统误差。误差值变化的则称为变值系统误差。A.累进性系统误差：指在整个测量过程中，误差的 数值向一个方向变化。B.周期性系统误差：指在测量过程中，数值是按周 期性变化的。C.按复杂规律变化的系统误差：指误差变化的规律 复杂，一般用表格、曲线或公式表示。,2.按误差产生的原因分 仪器误差：由于测量仪器本身不完善或老化所产生的误差。安装误差：由于测量仪器安装和使用不正确而产生的误差。环境误差：由于测量仪器使用环境条件不符而引起的误差。,方法误差：由于测量方法或计算方法不当，测量或计算理论本身不
6、完善等原因产生的误差。操作误差：也称人为误差，由于测量者先天缺陷或观测位置不对或操作不当引起的误差。动态误差：由于测量仪器的自振频率、阻尼以及与被测迅变量之间的关系而产生的振幅和相位的误差。,二、消除系统误差的方法1.交换低销法 将测量中的某些条件相互交换，使产生系统误差的原因相互抵消。2.替代消除法 在一定的测量条件下，用一个精度较高的已知量，在测量系统中取代被测量，而使测量仪器的指示值保持不变，则被测量等与该已知量。3.预检法 将测量仪器与较高精度的基准仪器对同一物理量进行多次重复测量，测量仪器读数的平均值为L,基准仪器读数的平均值为L0,则=L-L0，看作是测量仪器对该物理量测量时的误差
7、。,三、系统误差的综合1.代数综合法 如果能估计出各系统误差分量i的大小和符号：绝对误差：=1+2+n 相对误差：=1+2+n2.算术综合法 如果能估计出各系统误差分量i的大小,但不能确定符号：绝对误差：=（|1|+|2|+|n|）相对误差：=（|1|+|2|+|n|）,3.几何综合法 如果能估计出各系统误差分量i的大小,但不能确定符号：但是误差分量较多，易误差估计过大 绝对误差：=（12+22+n2）1/2 相对误差：=（12+22+n2）1/2,第三节 随机误差,分类 就测量个体而言，随机误差是无规律可言的，但就整体而言随机误差遵循着一定的统计规律。正态分布随机误差 非正态分布随机误差：均
8、匀分布随机误差和反正弦分布随机误差。对随机误差所作的概率统计处理是完全排除了系统误差的前提下进行的！,一、随机误差正态分布,假定对某个被测参量进行等精度(各种测量因素相同)重复测量n次，其测量示值分别为 则各次测量的测量偏差即随机误差（假定已消除系统误差）分别为,式中 真值。把各次测量偏差作平面图，其横坐标表示为偏差幅值（有正负），纵坐标标为偏差出现的次数。,大量实验证明，上述随机误差整体上均具有下列统计特性：（1）有界性 即各个随机误差的绝对值（幅度）均不超过一定的界限；（2）单峰性 即绝对值（幅度）小的随机误差总要比绝对值（幅度）大的随机误差出现的概率大；（3）对称性（幅度）等值而符号相反
9、的随机误差出现的概率接近相等；（4）抵偿性 当等精度重复测量次数时，所有测量值的随机误差的代数和为零，即:,所以，在等精度重复测量次数足够大时，其算术平均值 就是其真值 较理想的替代值。,1.正态分布 高斯于1795年提出连续型正态分布随机变量 的概率密度函数表达式为：,式中 数学期望值；自然对数的底；随机变量的均方根差或称标准偏差（简称标准差）；,随机变量的方差，数学上通常用D表示；,随机变量的个数。,从概率论可知，是决定正态分布曲线的两个特征参数。其中 影响随机变量分布的集中位置，或称正态分布的位置特征参数；表征随机变量的分散程度，故称为正态分布的离散特征参数。,图1-1 对正态分布的影响
10、示意图,图1-2 对正态分布的影响示意图,在已经消除系统误差条件下的等精度重复测量中，当测量数据足够多，其测量随机误差大都呈正态分布规律，因而完全可以参照高斯方程对测量随机误差进行比较分析。这时测量随机误差的正态分布概率密度函数为,式中 随机误差变量，相当于高斯方程中的变量；这里，其中 为某个测量示值，为真值；e自然对数的底；,随机误差的标准偏差（简称标准差）；,即随机误差的方差；,方差的量纲是测量数据量纲的平方，所以在测量结果的表示中不是很方便，因而工程上经常不用方差而使用方差的正的算术平方根标准偏差（简称标准差）。,2 测量数据的随机误差估计（1）测量真值估计 在实际工程测量中，测量次数n
11、不可能无穷大，而测量真值通常也不可能已知。因此，前面公式仅是一组不能实际使用的理论公式。根据对已消除系统误差的有限等精度测量数据样本，求取其算术平均值，即,这里算术平均值 是被测参量真值（或数学期望）的最佳估计值，也是实际测量中比较容易得到的真值近似值。这也被称作算术平均值原理。,（2）测量值的均方根误差估计 对已消除系统误差的一组n个（n是有限值）等精度测量数据，采用其算术平均值 近似代替测量真值 后，总会有偏差，但偏差估计有多大，而这个估计的偏差值又有多大把握（即概率），对此目前被广泛使用的贝塞尔（Bessel）公式被认为是解决上述问题工具。贝塞尔公式,式中 第 i 次测量值；测量次数，这
12、里为一有限值；全部 次测量值的算术平均值，简称测量均值；第 i 次测量的残差；标准偏差 的估计值，亦称实验标准偏差或重复性标准差；,表明n次测量残差 并不是数n个独立变量，而只有n-1个独立变量。故式中自由度，而不是n。,d 自由度，这里。自由度d反映被测参量个数t与测量次数n的关系，即。从另一个角度，因为,（3）算术平均值的标准差,严格地讲，贝塞尔公式只有当 时，、才成立。如果对某一被测参量分别进行一系列有限的n次等精度测量，则它们的算术平均值 也是一个随机变量，即每一有限次测量获得的算术平均值 本身也具有一定的随机性。这一点从算术平均值的特性上也不难理解，因为算术平均值是一系列测量值的数学
13、期望 的估计值，不是真值。既然是估计值，就一定存在差值，而且这偏差值是随机误差。那么，如何评价算术平均值的随机误差(离散度)的大小？和其它随机变量一样，算术平均值也是用其方差或标准差来评价。我们先分析算术平均值的方差：,因为各次测量均为等精度独立测量，故有,这样,算术平均值的标准差为,在实际工作中，测量次数n只能是一个有限值，为了不产生误解，建议用算术平均值 标准差和方差的估计值 与 来代替上两式中的,(4)（正态分布时）测量结果的置信度 由上述可知，可用测量值 的算术平均值 作为数学期望 的估计值，即真值 的近似值。其分布离散程度可用贝塞尔公式等方法求出的重复性标准差（标准偏差的估计值）来表
14、征,测量值 与真值（或数学期望）偏差 的置信区间取为 的若干倍，即：,式中 k置信系数(或称置信因子)，可看作是描述在某一个置信概率情况下，标准偏差 与误差限之间的一个系数。它的大小不但与概率有关，而且与概率分布有关。对于正态分布，根据式正态分布概率密度函数，可得测量误差落在某区间的概率表达式,式中。为表示方便，这里令 则有：,置信系数k值确定之后，则置信概率便可确定。由上式，当k分别选取1、2、3时，即测量误差 分别落入正态分布置信区间 的概率值分别如下：,另外，当置信区间扩大到 时，则有为上述不同置信区间的概率分布示意图。,为表达和计算方便，作积分变换，令 则有,而从 的积分限 相应得到
15、的积分限为，将上述关系代入式,式中 称为拉普拉斯函数，具体计算比较复杂。在实际工程应用中，可查前人已做好的拉普拉斯函数专用表格。,得,工程上，通常把测量误差绝对值大于的测量值作为坏值，而予以剔除（此剔除原则称为拉伊达准则）；也就是说把测量误差作为粗大误差而予以剔除。当等精度测量次数n大于30次时，其测量误差趋近于正态分布；因而可以用以上方法来估计测量误差的大小和相应的置信概率。但工程上，为保证等精度测量条件和提高测量效率，一般测量次数仅为几次到一二十次，此时因测量样本小，其误差已不符合正态分布，而成为“t分布”。,定性分析：就是对测量环境、测量条件、测量设备、测量步骤进行分析，看是否有某种外部
16、条件或测量设备本身存在突变而瞬时破坏等精度测量条件的可能，测量操作是否有差错或等精度测量过程中是否存在其它可能引发粗大误差的因素；也可由同一操作者或另换有经验操作者再次重复进行前面的（等精度）测量，然后再将两组测量数据进行分析比较，或再与由不同测量仪器在同等条件下获得的结果进行对比；以分析该异常数据出现是否“异常”，进而判定该数据是否为粗大误差。这种判断属于定性判断，无严格的规则，应细致和谨慎实施。,第四节 过失误差处理,定量判断：就是以统计学原理和误差理论相关专业知识为依据，对测量数据中的异常值的“异常程度”进行定量计算，以确定该异常值是否为应剔除的坏值。这里所谓的定量计算是相对上面的定性分
17、析而言，它是建立在等精度测量符合一定的分布规律和置信概率基础上的，因此并不是绝对的。下面介绍两种工程上常用的粗大误差判断准则。,1拉伊达(又译为莱因达)准则拉伊达准则是依据对于服从正态分布的等精度测量，其某次测量误差大于的可能性仅为。因此，把测量误差大于标准误差（或其估计值）3倍都作为测量坏值予以舍弃。由于等精度测量次数不可能无限多，因此，工程上实际应用的拉伊达准则表达式为：,式中 被疑为坏值的异常测量值；包括此异常测量值在内所有测量值的算术平均值；包括此异常测量值在内所有测量值的标准误差估计值；,拉伊达准则的鉴别值。,当某个可疑数据的时，则认为该测量数据是坏值，应予剔除。剔除该坏值后，剩余测量数据还应继续计算和各，按上式继续计算、判断和剔除其它坏值，直至不再有符合上式的坏值为止。2格拉布斯(Grubbs)准则 格拉布斯准则当小样本测量数据中，满足,式中 被疑为坏值的异常测量值；包括此异常测量值在内所有测量值的算术平均值；包括此异常测量值在内所有测量值的标准误差估计值；格拉布斯准则的鉴别值；测量次数；危险系数，又称超差概率；它与置信概率的关系为。满足上式时，则认为是含有粗大误差的异常测量值，应予以剔除。格拉布斯准则的鉴别值是和测量次数n、危险系数相关数值，可查相应的数表获得。,
