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1、,一、数列的极限,二、收敛数列的性质,三、函数的极限,四、极限的性质,第二节 极限的概念,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,一、数列极限的定义,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、数列极限的定义,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、数列极限的定义,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、数列极限的定义,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合
2、体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、数列极限的定义,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、数列极限的定义,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、数列极限的定义,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、数列极限的定义,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、数列极限的定义,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、
3、数列极限的定义,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,（2）,（3）,例1 考察下列数列,（1）,（4）,观察它们的变化趋势，并总结规律。,（1）在几何上一个数列可看成实数轴上的一个点列，也可看成实数轴上的一个动点,注意：,（2）数列可看成是以自然数为自变量的函数：,xn=f(n).,总结：可分成两种情形：,（1）当n无限增大，通项无限接近某一常数；,（2）当n无限增大，通项不趋近任何常数。,数列极限的描述定义 对 xn:x1,x2,x3,xn,若随着 n 的无限增大(记作 n)，有xn无限接近某个定数 a，(允许某些xn甚至全部 xn等于a)，则称 xn 有极限(为a)或收敛(于
4、a)，记作:xn=a 或 xn a(n),例2 讨论 的极限,解 因为 xn=1+所以 xn 1(n)，即 xn=1。,二、收敛数列的性质,1、有界性,例如,有界；,无界。,从几何上看：,定理1 收敛的数列必定有界.,推论 无界数列必定发散.,例3 n+(-1)nn:0,4,0,8,0,12,是无界的,n+(-1)nn 发散.,注意,收敛有界;,发散无界.,收敛有界;,发散无界.,2、唯一性,定理2 每个收敛的数列只有一个极限.,三、函数的极限,1、各自变量的变化过程中的极限,由xn=f(n)nN，有,极限问题中的个要素：,（1)自变量的变化过程；,（2）函数。,考虑种自变量的连续变化过程：,
5、x x-x x x0 xx0+xx0-中函数极限的定义。,几何解释 y a-y=f(x)a a-O X x,即 a x+时，曲线 y=f(x)有水平渐进线 y=a.,时,关系：,几何解释:,注意 极限是函数的局部性质。,例1,解：,由于,四、极限的性质,1 唯一性：若对自变量t的某一变化过程，f(t)收敛，则在此变化过程中f(t)的极限唯一。2 有界性：若对自变量t的某一变化过程，f(t)收敛，则在此变化过程中的某一时刻之后f(t)有界。,3 保号性：若在x的某一变化过程中，有，当A0（或A0(或0)。,若在自变量x的某一变化过程中,f(x)收敛，并且在此变化过程中的某一时刻之后，恒有f(x)0(或0),则对此变化过程有 lim f(x)0(或0)。,
