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1、第八章 二阶电路,含有储能元件的动态电路中的电压电流仍然受到KCL、KVL的拓扑约束和元件特性VCR的约束。一般来说，根据KCL、KVL和VCR写出的电路方程是一组微分方程。由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。由n阶微分方程描述的电路称为n阶电路。,81 LC电路中的正弦振荡,在由电容和电感两种不同的储能元件构成的电路中，随着储能在电场和磁场之间的往返转移，电路中的电流和电压将不断地改变大小和极性，形成周而复始的振荡。这种由初始储能维持的振荡是一种等幅振荡。,LC电路振荡变化规律,根据元件的VCR可得：这就是描述这一二阶电路的两个联立的一阶微分方程。这两个式子表明：电压的存在要求电流的变化；
2、电流的存在要求有电压的变化。因此电压、电流都必须处于不断的变化状态之中。结合到初始条件：,可以猜想到：因为这两个式子显然符合初始条件，而且在 时:因此，LC回路中的等幅振荡是按正弦方式随时间变化的。,LC电路的储能 LC电路的储能为：并考虑到L=1H,C=1 F 可得：储能在任何时刻都为常量。而且 即对所有 这就表明：储能不断地在电场和磁场之间往返，永不消失。,82 RLC串联电路的零输入响应,一、电路分析,已知,求:Vc,根据固有频率S1和S2是：不等负实数、相等负实数、共轭复数和共轭虚数等四种情况，零输入响应i、vC、vL也相应地被分为过阻尼、临界阻尼、欠阻尼和无阻尼（或无损耗）四种类型。
3、,1、过阻尼情况,2、临界阻尼情况,(3)欠阻尼的情况,(4)无阻尼的情况 R=0,例:图所示的电路中，开关K在t=0时闭合。试求下列各种情况下的电压vC和电流i：(a)L=1H，R=7，C=0.1F，vC(0)=1V,i(0)=0；(b)L=1H，R=2，C=1F，vC(0)=3V,i(0)=0；(c)L=2H，R=4，C=0.1F，vC(0)=20V,i(0)=0；(d)L=2H，R=0，C=0.5F，vC(0)=4V,i(0)=0；,解 已知描述本题所给电路的微分方程为,t0,（1）将已知数据代入方程，得,t0,特征方程为 s2+7s+10=0,解得特征根,s1=-2 和 s2=-5,零
4、输入响应,由初始条件i(0)=0和vC(0)=1列出决定常数k1和k2的两个方程，即i(0)=k1+k2=0,由此解得,t0,t0,(b)L=1H，R=2，C=1F，vC(0)=3V,i(0)=0；,特征方程为s2+2s+1=0解得特征根s1=s2=-1,零输入响应由初始条件i(0)=0和vC(0)=3列出决定常数k1和k2的两个方程，即,i(0)=k1=0,由此解得k1=0，k2=-3,于是可得,t0,特征方程为s2+2s+5=0解得特征根s1=-1+j2，s2=-1-j2零输入响应,（3）将已知数据代入描述电路的微分方程中，得,由初始条件i(0)=0和vC(0)=20列出决定常数k1和k2
5、的两个方程，即i(0)=k1=0,由此解得k1=0，k2=-5,t0,于是可得,（4）将已知数据代入描述电路的微分方程中，得 t0 特征方程为s2+1=0解得特征根s1=j，s2=-j零输入响应i=k1cost+k2sint,由初始条件i(0)=0和vC(0)=4列出决定常数k1和k2的两个方程，即i(0)=k1=0由此解得 k1=0，k2=-2 i=-2sint,于是，可得,t0,一、电路分析,t0,及初始条件,83 RLC串联电路的全响应,全响应线性定常二阶电路的全响应是电路在输入和初始状态对共同作用下的响应，是零输入响应和零状态响应之和。,RLC串联电路中的全响应也可以分解成暂态分量和稳
6、态分量。其中暂态分量是全响应必须满足的电路方程的齐次解（即齐次方程的通解）；稳态分量则是同一方程的特解。,若以y(t)代表待求的全响应，yh(t)代表齐次解，yp(t)代表特解，则有y(t)=yh(t)+yp(t)显然，对线性定常二阶电路，先列写出二阶微分方程，再将从方程求得的齐次解和特解相加，最后根据初始条件定出积分常数，是求全响应的另一种方法。,非周期性充电，或者称为阻尼充电和临界非周期性充电的情况,周期性的或振荡性的充电。,84 RLC并联电路分析,下图为RLC并联电路：,对GCL并联电路的分析完全可按照对偶性原理，根据RLC串联电路的分析方法进行。在研究了RLC串联电路的零状态响应、零输入响应和全响应后，应用对偶原理研究GCL并联电路的各种响应。,85 一般二阶电路,二阶电路是具有两个动态元件的电路，因而它可分为如图所示的三种基本结构形式，其中N含源电阻双口网络。,从以上的讨论中可以总结出列写二阶电路状态方程的步骤：,第一步 把C用电压为 的电压源置换，把L用电流为 的电流源置换，使原电路成为一个电阻电路；第二步 用任何方法解出这一电阻电路中置换电压源的电流、即电容电流以及置换电流源的电压、即电感电压，得出方程；第三步 以C或L去除所得方程式的两边，即可得到状态方程的标准形式。,
