[信息与通信]数电.ppt

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1、2023/8/2,1,数字电子技术,天津工业大学信息与通信工程学院,2023/8/2,2,第1章 数字逻辑基础,学习要点：二进制、二进制与十进制的相互转换 码制与编码 逻辑代数的公式与定理、逻辑函数化简,2023/8/2,3,第1章 数字逻辑基础,1.1 数字信号及数字电路,1.2 二进制数,1.3 码制与编码,1.4 逻辑代数基本知识,2023/8/2,4,1.1 数字信号及数字电路,1.1.1 模拟量与数字量,1.1.3 数字电路的特点与分类,退出,1.1.2 数字信号和数字电路,2023/8/2,5,1.1.1 模拟量与数字量,在时间和数值上都连续变化的物理量 如温度、海拔和气压等,时间

2、和数值上都不是连续的 物理量 如生产线上的产品计件、人口统计等,模拟量：,数字量：,2023/8/2,6,1.1.2 数字信号和数字电路,模拟信号：在时间上和数值上连续的信号。,数字信号：在时间上和数值上不连续的（即离散的）信号。,u,u,模拟信号波形,数字信号波形,t,t,对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为模拟电路。,对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。,2023/8/2,7,1.1.3 数字电路的的特点与分类,（1）工作信号是二进制的数字信号，反映在电路上就是低电平和高电平两种状态（即0和1两个逻辑值）。（2）在数字电路中，研究的主要问题是电路的逻辑功能，即输入信号的状态和

3、输出信号的状态之间的关系。（3）对组成数字电路的元器件的精度要求不高。,1、数字电路的特点,2023/8/2,8,2、数字电路的分类,（2）按所用器件制作工艺的不同：数字电路可分为双极型（TTL型）和单极型（MOS型）两类。,（3）按照电路的结构和工作原理的不同：数字电路可分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两类。,（1）按集成度分类：SSI，MSI，LSI，VLSI，,2023/8/2,9,本节小结,数字信号的数值相对于时间的变化过程是跳变的、间断性的。对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。模拟信号通过模数转换后变成数字信号，即可用数字电路进行传输、处理。,2023/8/2,10,1.2

4、 二进制数,1.2.1 数制,1.2.2 数制转换,2023/8/2,11,1.2.1 数制,数制：表示数量的规则每一位的构成从低位向高位的进位规则我们常用到的：十进制，二进制，八进制，十六进制,2023/8/2,12,逢二进一,逢八进一,逢十进一,逢十六进一,2023/8/2,13,数码为：09；基数是10。运算规律：逢十进一，即：9110。十进制数的权展开式：,1、十进制,103、102、101、100称为十进制的权。各数位的权是10的幂。,同样的数码在不同的数位上代表的数值不同。,任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，称权展开式。,即：(5555)10510

5、3 510251015100,2023/8/2,14,2、二进制,数码为：0、1；基数是2。运算规律：逢二进一，即：1110。二进制数的权展开式：如：(101.01)2 122 021120021122(5.25)10,加法规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10乘法规则：0.0=0，0.1=0，1.0=0，1.1=1,运算规则,各数位的权是的幂,二进制数只有0和1两个数码，它的每一位都可以用电子元件来实现，且运算规则简单，相应的运算电路也容易实现。,2023/8/2,15,数码为：07；基数是8。运算规律：逢八进一，即：7110。八进制数的权展开式：如：(207.04)8 28

6、2 081780081482(135.0625)10,3、八进制,4、十六进制,数码为：09、AF；基数是16。运算规律：逢十六进一，即：F110。十六进制数的权展开式：如：(D8.A)16 13161 816010 161(216.625)10,各数位的权是8的幂,各数位的权是16的幂,2023/8/2,16,2023/8/2,17,1.2.2 数制转换,（1）二进制数转换为八进制数：将二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向右，每3位分成一组，不够3位补零，则每组二进制数便是一位八进制数。,将N进制数按权展开，即可以转换为十进制数。,1、二进制数与八进制数的相互转换,1 1 0 1

7、0 1 0.0 1,0 0,0,(152.2)8,（2）八进制数转换为二进制数：将每位八进制数用3位二进制数表示。,=011 111 100.010 110,(374.26)8,2023/8/2,18,2、二进制数与十六进制数的相互转换,1 1 1 0 1 0 1 0 0.0 1 1,0 0 0,0,(1D4.6)16,=1010 1111 0100.0111 0110,(AF4.76)16,二进制数与十六进制数的相互转换，按照每4位二进制数对应于一位十六进制数进行转换。,3、十进制数转换为二进制数,采用的方法 基数连除、连乘法原理：将整数部分和小数部分分别进行转换。整数部分采用基数连除法，小

8、数部分 采用基数连乘法。转换后再合并。,2023/8/2,19,整数部分采用基数连除法，余数逆序排列,小数部分采用基数连乘法，整数顺序排列,所以：(44.375)10(101100.011)2,2023/8/2,20,1.3 码制与编码,1.3.1 原码、反码和补码,1.3.2 二十进制（BCD）,1.3.3 格雷（Gray）码,退出,2023/8/2,21,1.3.1 原码、反码和补码,书写带符号数时，可以在数前面加正负号，如3，5等等。而计算机中正负号是用数码表示的。,通常带符号数的最高位位符号位：0表示正数；1表示负数，符号位后面表示的数值。,这样方法所表示的带符号数称为机器数,带符号数

9、通常有原码、反码和补码三种表示方法。,2023/8/2,22,1.原码 只需将符号位用0或1表示，后面的数字不变。,如有两个带符号数N1=+1100101和N2=1100101用原码表示为：,N1=(01100101)原 N2=(11100101)原,注：虽然原码表示简单，但是在运算时比较麻烦,2023/8/2,23,2.反码 用反码表示带符号数时，正数的表示方法与原码相同；如果是负数，最高位仍为符号位1，其余各位把原数值按位取反即可。,如有两个带符号数N1=+1100101N2=-1100101,N1=(01100101)原 N2=(11100101)原,N1=(01100101)反 N2=

10、(10011010)反,用原码表示为：,2023/8/2,24,3.二进制数的补码：,最高位为符号位（0为正，1为负）正数的补码和它的原码相同负数的补码=数值位逐位求反+1如+5=（0 0101）-5=（1 1011）通过补码，将减一个数用加上该数的补码来实现,2023/8/2,25,7 4=37+8=3（舍弃进位）4+8=12 产生进位的模8是-4对模数12的补码,2023/8/2,26,1110 0110=1000（14-6=8）1110+1010=11000=1000（舍弃进位）（14+10=8）0110+1010=241010是-0110对模24（16）的补码,16,8,4,12,14

11、,2,6,10,2023/8/2,27,1.3.2 二十进制（BCD）码,码制用不同数码表示不同事物时遵循的规则例如：学号，身份证号，运动员号目前，数字电路中都采用二进制和基于二进制基础上的八、十六和二-十进制。表示数量时称二进制表示事物时称二值逻辑,2023/8/2,28,用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母、符号等信息称为编码。,用以表示十进制数码、字母、符号等信息的一定位数的二进制数称为代码。,二-十进制代码：用4位二进制数b3b2b1b0来表示十进制数中的 0 9 十个数码。简称BCD码。,2421码的权值依次为2、4、2、1；余3码由8421码加0011得到；,用四位自然二进制

12、码中的前十个码字来表示十进制数码，因各位的权值依次为8、4、2、1，故称8421 BCD码。,2023/8/2,29,几种常用的BCD代码,2023/8/2,30,格雷码是一种循环码，其特点是任何相邻的两个码字，仅有一位代码不同，其它位相同。而且首尾(0和15)两个代码也仅有一位不同，构成“循环”。如下表所示：,1.3.3 格雷码,2023/8/2,31,7位ASCII码表,2023/8/2,32,7位ASCII码表（续）,2023/8/2,33,1.4 逻辑代数基本知识,1.4.1 基本逻辑运算,1.4.2 逻辑代数的基本定律,1.4.4 逻辑函数的标准形式,1.4.5 逻辑函数的化简,1.

13、4.3逻辑函数的表示方法,2023/8/2,34,逻辑运算当二进制代码表示不同逻辑状态时，可以按一定的规则进行推理运算。,1.4.1 基本逻辑运算,2023/8/2,35,基本概念逻辑：事物的因果关系逻辑运算的数学基础：逻辑代数逻辑变量取值：0/1,基本逻辑运算 与（AND）或（OR）非（NOT）,2023/8/2,36,1.4.1 基本逻辑运算,1、与逻辑（与运算）,与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：,开关A，B串联控制灯泡Y,2023/8/2,37,两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表达式为：,A、B都断开，灯不亮。,A断

14、开、B接通，灯不亮。,A接通、B断开，灯不亮。,A、B都接通，灯亮。,2023/8/2,38,这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表真值表。,将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：,功能表,实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号：,真值表,逻辑符号,2023/8/2,39,2、或逻辑（或运算）,或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：,开关A，B并联控制灯泡Y,2023/8/2,40,两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：,+,A、

15、B都断开，灯不亮。,A断开、B接通，灯亮。,A接通、B断开，灯亮。,A、B都接通，灯亮。,2023/8/2,41,实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号：,Y=A+B,真值表,功能表,逻辑符号,2023/8/2,42,3、非逻辑（非运算）,非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：,开关A控制灯泡Y,2023/8/2,43,实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号：,A断开，灯亮。,A接通，灯灭。,真值表,功能表,逻辑符号,2023/8/2,44,2023/8/2,45,（1）与非运算：逻辑表达式为：,（2）或非运算：逻辑

16、表达式为：,4.复合逻辑运算,2023/8/2,46,（3）异或运算：逻辑表达式为：,（4）同或运算：逻辑表达式为：,2023/8/2,47,（5）与或非运算：逻辑表达式为：,2023/8/2,48,几种常用的复合逻辑运算,与非 或非 与或非,2023/8/2,49,异或Y=A B,2023/8/2,50,同或Y=A B,2023/8/2,51,5、逻辑函数及其相等概念,（1）逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中，等式右边的字母A、B、C、D等称为输入逻辑变量，等式左边的字母Y称为输出逻辑变量，字母上面没有非运算符的叫做原变量，有非运算符的叫做反变量

17、。,（2）逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则称Y是A、B、C、的逻辑函数。记为,注意：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变量还是函数，其取值都只能是0或1，并且这里的0和1只表示两种不同的状态，没有数量的含义。,2023/8/2,52,（3）逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数,它们的变量都是A、B、C、，如果对应于变量A、B、C、的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和Y2是相等的，记为Y1=Y2。,若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之，若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。因此，要证明两个

18、逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表，看看它们的真值表是否相同即可。,证明等式：,2023/8/2,53,14.2 逻辑代数的基本定律,1、逻辑代数的公式和定理,（1）常量之间的关系,（2）基本公式,分别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。,2023/8/2,54,（3）基本定理,利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如证明AB=BA：,2023/8/2,55,(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC,分配率A(B+C)=AB+AC,=A+AB+AC+BC,等幂率AA=A,=A(1+B+C)+BC,分配率A(B+C)=AB+AC,=A+BC,0-1率A+1=1,证明分

19、配率：A+BC=(A+B)(A+C),证明：,2023/8/2,56,根据与、或、非的定义，得出如下表的布尔恒等式,证明方法：推演 真值表,2023/8/2,57,（4）常用公式,分配率A+BC=(A+B)(A+C),0-1率A1=1,2023/8/2,58,分配率A(B+C)=AB+AC,0-1率A+1=1,2023/8/2,59,逻辑代数的常用公式,2023/8/2,60,2、逻辑代数运算的基本规则,(1)代入定理-在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立。,2023/8/2,61,应用举例：式17 A+BC=(A+B)(A+C)A+B(CD)=(A

20、+B)(A+CD)=(A+B)(A+C)(A+D),(1),代入定理,2023/8/2,62,应用举例：,(1)代入定理,2023/8/2,63,(2)反演定理-对任一逻辑式,变换顺序 先括号，然后乘，最后加,不属于单个变量的上的反号保留不变,2023/8/2,64,(2)反演定理,应用举例：,2023/8/2,65,应用举例：,(2)反演定理,2023/8/2,66,（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y，Y称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：,对

21、偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：,注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。,2023/8/2,67,逻辑函数的表示方法,真值表逻辑式逻辑图波形图卡诺图计算机软件中的描述方式各种表示方法之间可以相互转换,2023/8/2,68,真值表,2023/8/2,69,逻辑式 将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。逻辑图 用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。波形图 将输入变量所有取值可能与

22、对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。,2023/8/2,70,2023/8/2,71,卡诺图EDA中的描述方式 HDL(Hardware Description Language)VHDL(Very High Speed Integrated Circuit)Verilog HDL EDIF DTIF。,2023/8/2,72,举例：举重裁判电路,2023/8/2,73,各种表现形式的相互转换：,真值表 逻辑式例：奇偶判别函数的真值表A=0,B=1,C=1使 ABC=1A=1,B=0,C=1使 ABC=1A=1,B=1,C=0使 ABC=1这三种取值的任何一种都使Y=1,所以 Y=?,20

23、23/8/2,74,真值表 逻辑式：找出真值表中使 Y=1 的输入变量取值组合每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量将这些变量相加即得 Y把输入变量取值的所有组合逐个逻辑式中求出Y，列表,2023/8/2,75,逻辑式 逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符,2023/8/2,76,逻辑式 逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符2.从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。,利用反演律将逻辑式化简,2023/8/2,77,1.4.4 逻辑函数的标准形式,一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、

24、与或非表达式5种表示形式。,一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能相同。,2023/8/2,78,(1)最小项 m：m是乘积项包含n个因子n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次,对于n变量函数有2n个最小项,1.4.4 逻辑函数的标准形式：最小项之和 最大项之积,1、逻辑函数的最小项及其性质,2023/8/2,79,最小项举例：,两变量A,B的最小项三变量A,B,C的最小项,2023/8/2,80,(2)最小项的编号：,2023/8/2,81,(3)最小项的性质：,任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。,全部最小项的和必为1。

25、,任意两个不同的最小项的乘积必为0。,2023/8/2,82,(3)最小项的性质,在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1全体最小项之和为1任何两个最小项之积为0两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。-相邻：仅一个变量不同的最小项 如,2023/8/2,83,例：,2023/8/2,84,(4)逻辑函数最小项之和的形式：,例：,2023/8/2,85,(4)逻辑函数最小项之和的形式：,2023/8/2,86,练习：将,解：,转化为最小项之和的形式,2023/8/2,87,如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。,将真值表

26、中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。,2023/8/2,88,2.最大项：,M是相加项包含n个因子n个变量均以原变量和反变量的形式在M中出现一次如：两变量A,B的最大项,对于n变量函数2n个,(1)最大项：,2023/8/2,89,通常用符号Mi来表示最大项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为0，反变量记为1，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最大项的下标i。,3个变量A、B、C的8个最大项可以分别表示为：,（2）最大项的表示方法：,2023/8/2,90,（3）最大项的性质：,任意一个最大项，只有一组变量取值使

27、其值为0。,任意两个最大项之和为1。,全体最大项之积为0。,2023/8/2,91,最大项的性质,在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0全体最大项之积为0任何两个最大项之和为1,2023/8/2,92,（4）最小项和最大项的关系.,最大项和最小项互补：,例：,与,互为对偶式,证明：,已知：,2023/8/2,93,2023/8/2,94,（5）逻辑函数的最大项表达式：,对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式AA0 和A+BC(A+B)(A+C)或者利用最大项和最小项的关系来配项展开成最小项表达式。,2023/8/2,95,利用最大项和最小项的关系,Y=ABC+BC,即：已知定能

28、将其化为最小项编号i以外的那些最大项的乘积,2023/8/2,96,1.4.5 逻辑函数的化简,逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。,1、化简的概念,化简的目的是使逻辑函数中的项式最少，每一项包含的因子也最少。它们是同一个逻辑函数。后面的式子要简单得多。,2023/8/2,97,2.逻辑函数的最简表达式,乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与或表达式。,最简与或表达式,（1）最简与或表达式,2023/8/2,98,非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非-与非表达式。,在最简与或表达式的基础上两次取反,用摩根定律去掉下面的非号,括号最

29、少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。,求出反函数的最简与或表达式,利用反演规则写出函数的最简或与表达式,（2）最简与非与非表达式,（3）最简或与表达式,2023/8/2,99,非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或非表达式。,求最简或非-或非表达式,两次取反,非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式。,求最简或非-或非表达式,用摩根定律去掉下面的非号,用摩根定律去掉大非号下面的非号,（4）最简或非或非表达式,（5）最简与或非表达式,2023/8/2,100,3、逻辑函数的公式化简法,反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因

30、子。例：,2023/8/2,101,逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。,若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。,运用摩根定律,运用分配律,运用分配律,3、逻辑函数的公式化简法,（1）合并项法,2023/8/2,102,如果乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。,运用摩根定律,利用公式，消去多余的项。,利用公式+，消去多余的变量。,如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。,（2）吸收法,2023/8/2,103,利用公式，为某项配上其所能

31、合并的项。,（3）配项法,2023/8/2,104,（4）消去冗余项法,2023/8/2,105,例：化简函数,解：先求出Y的对偶函数Y，并对其进行化简。,求Y的对偶函数，便得的最简或与表达式。,2023/8/2,106,练习：,解：,解：,2023/8/2,107,解：,2023/8/2,108,解：,解：,2023/8/2,109,解：,2023/8/2,110,解：,2023/8/2,111,解：,2023/8/2,112,4、逻辑函数的卡诺图化简法,(1)逻辑函数的卡诺图构成:实质：将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来以2n个小方块分别代表 n 变量的所有最小项，并将它们排列成

32、矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡诺图。,2023/8/2,113,表示最小项的卡诺图,2变量卡诺图,4变量的卡诺图,3变量的卡诺图,2023/8/2,114,5变量的卡诺图,2023/8/2,115,逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。,卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项）。,每个2变量的最小项有两个最小项与它相邻,每个3变量的最小项有3个最小项与它相邻,(1)、逻辑函数的卡诺图的构成,2

33、023/8/2,116,三变量全部最小项的卡诺图,Y=F（A、B、C）,注意：,左右、上下；,在卡诺图中，,每一行的首尾；,每一列的首尾；,的最小项都是逻辑相邻的。,2023/8/2,117,每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻,最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的,最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的,两个相邻最小项可以合并消去一个变量,逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并,2023/8/2,118,逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。,m4,m12,m1,m13,m9,m14,m

34、15,m11,(2）逻辑函数在卡诺图中的表示,2023/8/2,119,用卡诺图表示逻辑函数,不化成最小项之和的形式能否用卡诺图直接表示？,2023/8/2,120,逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。,变换为与或表达式,2023/8/2,121,练习：,2023/8/2,122,任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。,（3）卡诺图的性质,2023/8/2,

35、123,任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。,2023/8/2,124,2023/8/2,125,任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。,B,2023/8/2,126,(4)图形法化简的基本步骤,(4)图形法化简的基本步骤,化简步骤：-用卡诺图表示逻辑函数-找出可合并的最小项-化简后的乘积项相加（项数最少，每项因子最少）,2023/8/2,127,逻辑表达式或真值表,卡诺图,1,1,(4)图形法化简的基本步骤,2023/8/2,128,合并最小项,圈越大越好，但每个圈中标的方格数目必须为个。同一个方格可同时画在几个圈内，但每个圈都要

36、有新的方格，否则它就是多余的。不能漏掉任何一个标的方格。,最简与或表达式,AB,BD,冗余项,2,2,3,3,将代表每个圈的乘积项相加,2023/8/2,129,两点说明：,在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。,不是最简,最简,2023/8/2,130,在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。,2023/8/2,131,卡诺图化简过程中应遵循以下原则：（1）卡诺圈要尽可能大。因为卡诺圈越大，消去的变量就越多，因此应先找尽可能大的组合来化简，以减少每个与项中的变量数

37、。(2)卡诺圈数要尽量少。因为卡诺圈的数量决定着化简后项数的多少。（3）每个卡诺圈中至少要含有一个其它卡诺圈没有包含的单元，否则就是多余圈。,2023/8/2,132,（4)等于1的小方格必须全被圈到，否则就会遗漏某些项。特别要注意，周围相邻项均是为0的某个为1的单元一定要单独圈起来。（5）根据ABC+ABCABC，各最小项可以重复使用。因此，一个单元可以包含在两个以上的卡诺圈中。（6)卡诺图应看成是上下、左右闭合的图形，因此处在任何一行或一列两端的最小项也能集合成矩形。,2023/8/2,133,卡诺图圈法的正确性比较,不正确（多画了一个圈）,2023/8/2,134,不正确（圈面不够大）,

38、2023/8/2,135,有一个圈无新“1”格,2023/8/2,136,卡诺图化简注意：,“可以重画，不能漏画，圈数要少，圈面要大，每圈必有一个新的“1”格。,2023/8/2,137,例：F(A,B,C,D)=(1,2,4,9,10,11,13,15),2023/8/2,138,2023/8/2,139,Y2=,例：将Y2=(m0 m2 m4 m6 m8 m15)化简为最简与或式。,Y2,Y2,此例说明，为了使化简结果最简，可以重复利用最小项。,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,例：用圈 0 法化简Y2。,解：若卡诺图中1的数目远远大于0的数目，可用圈 0 的

39、方法。,A,+,2023/8/2,140,2023/8/2,141,其它函数形式的卡诺图化简一个逻辑函数可以有许多不同的表达式，其基本形式有五种。前面我们主要介绍了最常见的“与或”式的化简，下面再简略地介绍一下其它四种函数形式的化简。1.与非式的化简 第一步，先求出最简与或式。第二步，利用“两次求反”法及摩根定律，再将最简与或式转换成与非与非式,2023/8/2,142,例 化简F=(0,4,5,7,8,12,13,14,15)为最简或与式。,保持原式中的运算顺序，求得,解：第一步，先在卡诺图上用圈“0”的方法求得反函数 的最简与或式为,2.或与式的化简,2023/8/2,143,F=(0,4

40、,5,7,8,12,13,14,15),2023/8/2,144,3.或非式的化简 利用“两次求反”及摩根定律，将最简或与式转换为或非式,第二步，再求，但不用摩根定律处理，得,4.与或非式的化简 最简便的化简方法是：第一步，先圈“0”，求得 的最简与或式(上例),2023/8/2,145,约束项任意项逻辑函数中的无关项：约束项和任意项可以写入函数式，也可不包含在函数式中，因此统称为无关项。,在逻辑函数中，对输入变量取值的限制，在这些取值下为1的最小项称为约束项,在输入变量某些取值下，函数值为1或为0不影响逻辑电路的功能，在这些取值下为1的最小项称为任意项,5、具有无关项的函数及其化简,2023

41、/8/2,146,合理地利用无关项，可得更简单的化简结果加入（或去掉）无关项，应使化简后的项数最少，每项因子最少.从卡诺图上直观地看，加入无关项的目的是为矩形圈最大，矩形组合数最少,无关项在逻辑函数化简中的应用：,2023/8/2,147,（1）含无关项的逻辑函数,例如：判断一位十进制数是否为偶数。,5、具有无关项的函数及其化简,2023/8/2,148,输入变量A，B，C，D取值为00001001时，逻辑函数Y有确定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时为0。,A，B，C，D取值为1010 1111的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于随意项。用符号“”、“”或“d”表示。,无关项之和构成

42、的逻辑表达式叫做 任意条件或约束条件，用一个值恒为 0 的条件等式表示。,2023/8/2,149,含有无关条件的逻辑函数可以表示成如下形式：,在逻辑函数的化简中，充分利用无关项可以得到更加简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中，随意项的取值可视具体情况取0或取1。具体地讲，如果随意项对化简有利，则取1；如果随意项对化简不利，则取0。,不利用无关项的化简结果为：,利用无关项的化简结果为：,（2）含无关项的逻辑函数的化简,2023/8/2,150,具有无关项的逻辑函数的化简：在卡诺图中，究竟将作为1（即认为函数式中包含有这个最小项）还是作为0（即认为函数式中不包含这个最小项

43、）对待，原则上：应以得到的相邻最小项矩形组合最大，而且矩形组合数目最少。,例：A,B,C三个逻辑变量，A=1表示电动机正转，B=1表示它反转，C=1表示停止。因为这三个命令只能执行其中一个，所以ABC只能取值001，010，100，而其余最小项则为约束项。约束条件为：,2023/8/2,151,例：,AB,CD,2023/8/2,152,解：填写卡诺图如图,例：化简,合并最小项时,并不一定把所有的“”都圈起来，要合理的利用约束项（需要时就圈，不需要时就不圈）。,合并化简得：,1,1,1,1,2023/8/2,153,练习：化简：约束条件为：解：,2023/8/2,154,练习：化简：约束条件为

44、：解：,Y=D,2023/8/2,155,AB,CD,2023/8/2,156,AB,CD,2023/8/2,157,AB,CD,2023/8/2,158,本章小结,2逻辑运算的基本有与、或、非3种，常用的复合逻辑运算有与非、或非、与或非以及异或和同或。,1逻辑代数是分析和设计逻辑电路的重要工具。,4逻辑函数有真值表、表达式、卡诺图、逻辑图4种常用的表示方法。,3在逻辑代数的公式与定律：交换律、结合律、分配律、吸收律、摩根定律等，其中，摩根定律最为常用。,5逻辑函数化简的方法有公式化简法和卡诺图化简法，公式化简法技巧性强，卡诺图化简法的优点是直观。,6在输入满足约束的前提下，为了得到更为简化的结果，约束项对应的函数值可以取0，也可以取1。,