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1、2023/8/2,1,第二章 逻辑代数基础,2023/8/2,2,内容提要,逻辑代数的基础知识逻辑代数的运算及基本公式逻辑函数及其化简方法,2023/8/2,3,2.1 概述,基本概念 逻辑运算：当0、1表示逻辑状态时，两个二进制数 码按照某种指定的因果关系进行的运算。逻辑：条件与结论之间的关系 逻辑运算的数学基础：逻辑代数或布尔代数 逻辑运算的结果并不表示数值大小,而是表示一 种逻辑状态，其结果为成立（true)或不成立（false)由逻辑变量和逻辑运算组成,2023/8/2,4,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,与（AND）或（OR）非（NOT）,A=1：开关A合上；A=0：开关A断开Y=
2、1：表示灯亮；Y=0：表示灯灭,2023/8/2,5,与,条件同时为真，结果为真Y=A AND B=A&B=AB=AB,国际标准符号,欧美流行符号,2023/8/2,6,或,条件任意一个为真，结果真Y=A OR B=A+B,2023/8/2,7,非,条件为真，结果为假条件为假，结果为真,2023/8/2,8,几种常用的复合逻辑运算,与非 或非 与或非,2023/8/2,9,几种常用的复合逻辑运算,异或Y=AB+AB=A B,2023/8/2,10,几种常用的复合逻辑运算,同或Y=AB+AB=A B,2023/8/2,11,逻辑函数的表示方法,逻辑函数：当输入变量取值确定之后，输出变量取值便随之
3、而定，输出变量和输入变量之间是一种函数关系。逻辑函数的表示方法：逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图和卡诺图。1.逻辑函数的表示方法（1）逻辑真值表：是由输出变量取值与对应的输入变量取值所构成的表格。列写方法是：a)找出输入、输出变量，并用相应的字母表示b)逻辑赋值c)列真值表,2023/8/2,12,例如三人表决电路，当输入变量A、B、C中有两个或两个以上取值为1时，输出为1；否则，输出为0。,三人表决电路的真值表,三人表决电路的逻辑函数式：,(2)逻辑函数式：是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻辑关系用与、或、非等逻辑运算符号连接起来的式子，又称函数式或逻辑式。,2023/8/2,13,（3
4、）逻辑图逻辑图：是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻辑关系用与、或、非等逻辑符号表示出来的图形。三人表决电路的逻辑图：,三人表决电路的逻辑图,2023/8/2,14,（4）波形图,2023/8/2,15,2逻辑函数表示方法之间的相互转换（1）真值表 函数式a)找出真值表中使函数值为1的输入变量取值；b）每个输入变量取值都对应一个乘积项，变量取值为1，用原变量表示，变量取值为0，用反变量表示。c)将这些乘积项相加即可。,2023/8/2,16,（2）函数式 真值表首先在表格左侧将个不同输入变量取值依次按递增顺序列出来，然后将每组输入变量取值代入函数式，并将得到的函数值对应地填在表格右侧即可。
5、（3）函数式 逻辑图从输入到输出分别用相应的逻辑符号取代函数式中的逻辑运算符号即可。（4）逻辑图 函数式从输入到输出分别用相应的逻辑运算符号取代逻辑图中的逻辑符号即可。,2023/8/2,17,逻辑变量：布尔代数中的变量称为逻辑变量，如前述的A、B等，每个变量只有“0”或“1”两种取值，可用以描述信号的有无、电平的高低、器件的导通或截止。,布尔代数可直接用来研究二值逻辑系统,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,2023/8/2,18,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,逻辑函数：如果逻辑变量Y的取值依赖于其它逻辑变量A、B、C，则称Y为A、B、C 的逻辑函数，记作：Y=F(A，B，C),在
6、布尔代数中，逻辑变量及函数的结果只有“0”和“1”两种取值,2023/8/2,19,基本公式常用公式,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,2023/8/2,20,2.3.1 逻辑代数的基本公式、常用公式和基本定理,1.18个基本公式,2023/8/2,21,2.5个常用公式,2023/8/2,22,定理2 A+A=A；A A=A,证明 A+A=(A+A)1 公理4=(A+A)公理5=A+公理3=A+0 公理5=A 公理4,定理3 A+A B=A；A(A+B)=A,证明 A+AB=A1+AB 公理4=A(1+B)公理3=A(B+1)公理1=A1 公理4=A 公理4,可以理解成吸收定理,2023
7、/8/2,23,定理4 A+B=A+B;A(+B)=A B,证明 A+B=(A+)(A+B)公理3,=1(A+B)公理5=A+B 公理4 可以理解成吸收定理,定理5=A,证明 令=X 因而 X=0+X=1 公理5 但是 A=0+A=1 公理5 由于X和A都满足公理5。因此，根据公理5的唯一性，得到A=X。,2023/8/2,24,定理6,证明 由于()+(A+B)=(+A)+B 公理2=(+A)+B 定理4=A+(B+)公理1,2=A+1 公理5=1 公理4 而且()(A+B)=A+B 公理3=0+0 公理1,5=0 定理1 所以，根据公理5的唯一性可得,2023/8/2,25,定理7 AB+
8、A=A(A+B)(A+)=A,证明 AB+A=A(B+)公理3=A 1 公理5=A 公理4,2023/8/2,26,定理8 A B+C+B C=A B+C(A+B)(+C)(B+C)=(A+B)(+C),证明 AB+C+BC=AB+C+BC(A+)公理5=AB+C+BCA+BC 公理3=AB+ABC+C+BC 公理1=AB(1+C)+C(1+B)公理3=AB(C+1)+C(B+1)公理1=AB+C 公理4,2023/8/2,27,3.3个基本定理代入定理：在任何一个含有变量A的逻辑等式中，若以一函数式取代该等式中所有A的位置，该等式仍然成立。反演定理(摩根定理）：在一个逻辑式 中,若将其中所有
9、的“+”变成“”，“”变成“+”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，原变量变成反变量，反变量变成原变量，所得函数式即为原函数式的反逻辑式，记作：。注意：a）运算的优先顺序。b）不是单个变量上的非号应保留不变。,2023/8/2,28,2.3.1 基本公式之运算定律,交换律10、A B=B A结合律11、(AB)C=A(BC)分配律12、A(B+C)=AB+AC,10、A+B=B+A11、(A+B)+C=A+(B+C)12、A+BC=(A+B)(A+C),2023/8/2,29,例 试用反演定理求函数式 的反逻辑式。解：对偶式：在一个逻辑式 中,若将其中所有的“+”变成“”，“”变成“+”，“
10、0”变成“1”，“1”变成“0”，所得函数式即为原函数式的对偶式，记作：。对偶定理：若两个函数式相等，那么它们的对偶式也相等。例 试求函数式 的对偶式。解：,2023/8/2,30,证明：A+BC=(A+B)(A+C),2023/8/2,31,2.3.1 基本公式之特殊定理,摩根定理代入定理-在任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立。,2023/8/2,32,代入定理,应用举例：A+BC=(A+B)(A+C)A+B(CD)=(A+B)(A+CD)=(A+B)(A+C)(A+D),2023/8/2,33,反演定理-对任一逻辑式,变换顺序：先括号，然
11、后乘，最后加,不属于单个变量的上的反号保留不变,2.3.1 基本公式之特殊定理,2023/8/2,34,反演定理,应用举例：,2023/8/2,35,对偶定理 若两个逻辑式相等，则它们的对偶式相等对偶式的定义：对于任何一个逻辑式Y，若乘加互换、“0”“1”互换，得到一个新的逻辑式YD，则称YD为Y的对偶式，即Y和YD互为对偶式,2.3.1 基本公式之特殊定理,2023/8/2,36,对偶定理,应用举例：,Y=AB+(C+D),Y D=(A+B)(CD),2023/8/2,37,2.3.常用公式(形式定理),14、A B+A B=A消项法,15、A+AB=A吸收法,16、A+A B=A+B 去因
12、子法,证明：A+A B=(A+A)(A+B)=A+B,2023/8/2,38,2.3.常用公式(形式定理),2023/8/2,39,电路设计,要求：三个输入变量A、B、C，如果其中奇数个为1，输出Y为1，否则输出为0。,电路设计的最终目的往往是为了得到电路图(逻辑图),2023/8/2,40,逻辑图,函数式,真值表,+,+,+,真值表,函数式,2023/8/2,41,真值表,函数式的一般方法(课本P32),2023/8/2,42,函数式,电路图(逻辑图),将逻辑函数式中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用图形符号表示出来。,课堂练习,2023/8/2,43,电路分析,分析给定电路的功能,逻辑图,
13、函数式,真值表,2023/8/2,44,函数式,电路图(逻辑图),真值表,2023/8/2,45,以上两函数式对应同一逻辑关系,问题引出：对于同一逻辑关系，有多种描述方式（真值表、自然语言、函数式、逻辑图、波形图、卡诺图），且同一类描述方式中形式多样,电路设计理念：简单的，最好的！,2023/8/2,46,如何做到电路最简？,函数式最简，则电路最简,问题引出：什么形式的函数式最简呢？如何化简给定的函数式呢？,前导知识：函数式的两种标准形式,2023/8/2,47,2.5.2 逻辑函数的表示方法,真值表逻辑式逻辑图波形图卡诺图计算机软件中的描述方式各种表示方法之间可以相互转换,2023/8/2,
14、48,真值表,2023/8/2,49,逻辑式 将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。逻辑图 用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。波形图 将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。,2023/8/2,50,2023/8/2,51,卡诺图EDA中的描述方式HDL(Hardware Description Language)VHDL(Very High Speed Integrated Circuit)Verilog HDL,2023/8/2,52,举例：举重裁判电路,2023/8/2,53,各种表现形式的相互转换：,真值表 逻辑式
15、例：奇偶判别函数的真值表A=0,B=1,C=1时ABC=1A=1,B=0,C=1时ABC=1A=1,B=1,C=0时 ABC=1这三种取值的任何一种都使Y=1，所以Y=ABCABC ABC,2023/8/2,54,真值表 逻辑式：找出真值表中使 Y=1 的输入变量取值组合。每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。将这些乘积项相加即得 Y。,2023/8/2,55,逻辑式 逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。,2023/8/2,56,逻辑式 逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。2.从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。,2023
16、/8/2,57,2.5.3 逻辑函数的两种标准形式,两种标准形式：最小项之和及最大项之积,最小项的引出,真值表,表达式,+,+,+,每一乘积项的特点：所有变量都出现且仅出现一次,2023/8/2,58,最小项 m：m是乘积项包含n个因子n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次,对于n变量函数有2n个最小项,2.5.3 逻辑函数的两种标准形式,最小项的定义：,2023/8/2,59,最大项：,M是相加项；包含n个因子。n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次。如：两变量A,B的最大项,对于n变量函数2n个,2023/8/2,60,最小项举例：,两变量A,B的最小项三变量A,B,C的最
17、小项,2023/8/2,61,最小项的编号：,2023/8/2,62,最大项的编号：,2023/8/2,63,最小项及最大项的性质,在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0最小项与最大项互反全部最小项之和为1 全部最大项之积为0,2023/8/2,64,最小项及最大项的性质,两个不同最小项之积为0例：两个不同最大项之和为1例：,2023/8/2,65,最小项及最大项的性质,两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。-相邻：仅一个变量不同的最小项 如,2023/8/2,66,逻辑函数最小项之和的形式：,例：,2023/8/
18、2,67,逻辑函数最小项之和的形式：,例：,2023/8/2,68,2.6 逻辑函数的化简法,逻辑函数的最简与或形式 两个“最少”：包含的乘积项数目最少；每个乘积项的因子数目最少,2023/8/2,69,2.6.1公式化简法反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和各项中的多余因子常用方法：并项法、吸收法、消项法、去因子法,2023/8/2,70,2.6.1 逻辑函数的公式化简法,一、并项法:,例 1,例 2,2023/8/2,71,二、吸收法：,例 1,例 2,2023/8/2,72,三、消项法：,例 1,例 2,2023/8/2,73,四、去因子法：,例 1,例 2,2023/8/2,
19、74,五、配项法I：,例 1,例 2,配项法II：,2023/8/2,75,或与式化为与或最简式,2023/8/2,76,2.6.2 卡诺图化简法,逻辑函数的卡诺图表示法实质：将逻辑函数的最小项之和以图形的方式表示出来以2n个小方块分别代表 n 变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡诺图。,2023/8/2,77,表示最小项的卡诺图,二变量卡诺图,四变量的卡诺图,三变量卡诺图,2023/8/2,78,五变量的卡诺图,2023/8/2,79,用卡诺图表示逻辑函数,将函数表示为最小项之和的形式在卡诺
20、图上与这些最小项对应的位置上添入1，其余地方添0。,2023/8/2,80,用卡诺图表示逻辑函数,例：,2023/8/2,81,用卡诺图化简函数,依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子。在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来。,2023/8/2,82,一般与或式 卡诺图,一般与或式是相对于最小项标准表达式而言的，如：,方法I：将一般与或式展开成最小项标准与或式，即：,2023/8/2,83,一般与或式 卡诺图,方法II：观察法,B,AB=1即A,B同时为1，亦即A和B的交集,1,1,同理,1,1,2023/8/2,84,AB,CD,00 01 11 10,00,01,11,
21、10,一般与或式 卡诺图,：先找到 对应的方格(第一二行),再找 对应的方格(第三列),11,相交的方格填入1,1 1,同理可得到 对应的方格,2023/8/2,85,AB,CD,00 01 11 10,00,01,11,10,一般与或式 卡诺图,11 1,1,1,1,1,AB,CD,00 01 11 10,00,01,11,10,2023/8/2,86,与项与卡诺图方格的对应关系,逻辑表达式中的一个与项对应卡诺图中的一个方格、两个方格、八个方格，即按 的规律形成矩形带，其中 为未出现的变量的个数，如对于四变量的函数，一变量的与项占 个方格，两变量的与项占 个方格，三变量的与项占 个方格，都为
22、矩形带,2023/8/2,87,利用卡诺图化简逻辑函数的任务是，将与或式的逻辑函数填入卡诺图后，这样原来的逻辑函数就以最小项的形式出现在卡诺图中，然后，经过重新组合，将具有“1”的小方格按照 的规律尽可能大地圈成矩形带(卡诺圈),2023/8/2,88,化简步骤：-用卡诺图表示逻辑函数-找出可合并的最小项-化简后的乘积项相加（项数最少，每项因子最少）,用卡诺图化简函数,2023/8/2,89,化简原则,一个卡诺圈包含 个相邻项卡诺圈数量最少卡诺圈尽可能大,2023/8/2,90,合并最小项的规律：两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子四个相邻最小项可合并为一项，消去两对因子八个相邻最小项可合
23、并为一项，消去三对因子,2023/8/2,91,两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子,2023/8/2,92,三变量卡诺图4个相邻方格的卡诺圈,共同特点：消去两个变量,2023/8/2,93,例：用卡诺图化简,A,BC,2023/8/2,94,A,BC,例：,2023/8/2,95,例：,化简结果形式不唯一,2023/8/2,96,化简结果：,2023/8/2,97,提醒：卡诺圈要尽可能大,化简结果：,2023/8/2,98,三个卡诺圈,四个卡诺圈,提醒：圈少原则,化简结果：,2023/8/2,99,先求对偶式：,化简结果：,将对偶式再次对偶，得到原函数：,2023/8/2,100,练习题
24、：画卡诺圈,2023/8/2,101,练习题：画卡诺圈,2023/8/2,102,约束项任意项逻辑函数中的无关项：约束项和任意项可以写入函数式，也可不包含在函数式中，因此统称为无关项。,在逻辑函数中，对输入变量取值的限制，在这些取值下为1的最小项称为约束项,在输入变量某些取值下，函数值为1或为0不影响逻辑电路的功能，在这些取值下为1的最小项称为任意项,2.7具有无关项的逻辑函数及其化简2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项,2023/8/2,103,2.7.2 无关项在化简逻辑函数中的应用,合理地利用无关项，可得更简单的化简结果。加入（或去掉）无关项，应使化简后的项数最少，每项因子最少 从卡诺图上直观地看，加入无关项的目的是为矩形圈最大，矩形组合数最少。,2023/8/2,104,AB,CD,2023/8/2,105,AB,CD,2023/8/2,106,AB,CD,2023/8/2,107,例：,AB,CD,
