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1、1,傅里叶,傅里叶级数和傅里叶级数的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质周期信号和非周期信号的频谱分析,2,傅里叶,1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”1822年首次发表在“热的分析理论”一书中,3,傅立叶的两个最主要的贡献,“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点,4,3.1 周期信号的频谱分析,周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数：.三角函数式的 傅立里叶级数 cosn1t,sinn1t.复指数函数式的傅里叶级数 e j n 1t,5,一、三角函数的傅里叶级数:
2、,直流分量,基波分量n=1,谐波分量n1,6,直流系数,余弦分量系数,正弦分量系数,7,三角函数是正交函数,8,周期信号的另一种三角函数正交集表示,9,二、周期函数的复指数级数,由前知由欧拉公式,10,指数形式的傅里叶级数的系数,两种傅氏级数的系数间的关系,11,两种傅氏级数的系数间的关系,12,周期复指数信号的频谱图的特点,引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导；fn 是实函数，Cn 一般是复函数，当 Cn 是实函数时，可用Cn 的正 负表示0和相位,13,四、对称信号的傅里叶级数,三种对称：偶函数：f(t)=f(-t)奇函数：f(t)=-f(-t)奇谐函数：半周期对称任意周期函数有：
3、偶函数项 奇函数项,14,周期偶函数只含直流和,其中a是实数bn=0Cn是实数,15,例:周期三角函数是偶函数,16,周期奇函数只含正弦项,Cn为虚数,17,例:周期锯齿波是奇函数,18,例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量,周期偶函数，只含基波和奇次谐波的余弦分量,周期奇函数，只含奇次谐波的正弦分量,19,例：求方波信号的频谱,20,解:1)展开为三角级数:,21,2)展成复指数指数级数,22,例：求信号的频谱,23,解：,24,25,3.2 非周期信号的频谱分析,当周期信号的周期T1无限大时,就演变成了非周期信号的单脉冲信号,频率也变成连续变量,26,从周期信号FS推导非周期的F
4、T,傅立叶变换,27,傅立叶的逆变换,傅立叶逆变换,28,三.从物理意义来讨论FT,(a)F()是一个密度函数的概念(b)F()是一个连续谱(c)F()包含了从零到无限高 频的所有频率分量,29,傅立叶变换一般为复数,FT一般为复函数,若f(t)为实数，则幅频为偶函数,相频为奇函数,30,傅立叶变换存在的充分条件,用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅立叶变换,31,傅立叶变换的基本性质,对称性和叠加性奇偶虚实性尺度变换特性时移特性和频移特性微分和积分特性卷积,32,一、对称性,若已知则,证明：,33,若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称直流和冲激
5、函数的频谱的对称性是一例子,34,FT,对称性,t 换成,换成,35,二、线性（叠加性）,若 则,36,三、奇偶虚实性,无论f(t)是实函数还是复函数，下面均成立,时域反摺频域也反摺,37,实偶函数的傅立叶变换仍为实偶函数,f(t),0,t,0,38,四、尺度变换特性,若则,39,时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）,f(t/2),压缩,扩展,40,五、时移特性,若 则证明：,41,带有尺度变换的时移特性,若a 0,则有绝对值,42,例：求三脉冲信号的频谱,单矩形脉冲 的频谱为有如下三脉冲信号其频谱为,43,六、频移特性,若则证明同理,44,调幅信号的频谱（载波技术）,求：,的频谱？,
6、45,载波频率,46,频移特性,47,调幅信号都可看成乘积信号,矩形调幅指数衰减振荡三角调幅,48,七、微分特性,若则,49,八、积分特性一,若则,50,八、积分特性（二）,若则,51,积分特性的证明,令两边求导FT 微分特性FT 积分特性,52,时域 卷积定理,若则,53,例：求三角脉冲的频谱,三角脉冲可看成两个同样矩形脉冲的卷积,卷,乘,54,卷,乘,55,频域 卷积定理,若则,56,例：求余弦脉冲的频谱,相乘,卷积,57,乘,FT,FT,卷,58,卷积,利用卷积证明,59,实频谱,虚频谱,幅频谱,相频谱,60,我们将周期函数的复指数形式的傅立叶级数展开与非周期函数的傅立叶变换相比较，看出
7、两点不同：,1周期函数中所包含的频率成分，是基频0的整倍数。而非周期函数中包含了一系列从0到无穷大的所有频率成分，是连续变量。,2周期函数的傅立叶系数Cn反映的是对应频率成分幅值的大小，而非周期函数的傅立叶变换F()反映的是单位频率宽度上的振幅。所以又称F()为频谱密度函数。,61,幅值谱密度,相位谱密度,62,The Fourier Transformation of Periodic Signals,3.3周期信号的傅立叶变换,63,周期信号：,非周期信号：,引言,讨论：下列信号的域变换,64,基本周期信号的傅立叶变换,周期信号不满足 Dirichlet 条件，不能直接从定义出发,65,由傅里叶级数的指数形式：,其傅立叶变换,一般周期信号的傅里叶变换,66,解：,例,
