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1、第三章 条件概率与事件的独立性,一、条件概率,例1.4.1袋中有5球，3新2旧，从中任取一球，无返回的取 两次，A=第一次取新球，B=第二次取新球。,这是当第一次取新球时，第二次取新球的概率,这是当第一次取旧球时，第二次取新球的概率,条件概率的直观定义：设有事件A，B，P（A）0，在事件A发生的条件下，B发生的概率称为条件概率。记为P（B|A）,例1.4.2 某班有学生40人，其中团员15人，全班分为4组，第一组 10人，其中团员4人，今从班内任抽一人去执行某项任务，令：A=抽出第一组的同学，B=抽出团员。,解：,可看出,1.原来的无条件概率是条件概率的特款,2.条件概率中的条件是把原来的样本
2、 空间缩小了。,条件概率的性质：,计算条件概率的方法：1.从实际出发，直接计算；2.利用定义的公式,例1.4.3 据统计，人的寿命超过60岁的可能性为0.4，超过70岁 的可能性为0.28，今有一位老人61岁，问他能超过70 的概率是多大？,这位老人的寿命超过70岁的可能性为70%，远大于0.4，真是越活越有希望！？,应用定义,例1.4.5 有一对青年夫妇已有两个女孩，欲生第三胎，要个男孩，问第三胎是男孩的概率是多少？,解：有三个孩子的家庭，其情形为：,设 A=前两胎是女孩 B=第三胎是男孩。,下面我们推出多个事件积的计算公式,二、乘法公式,看到如此乘法公式，不难联想人生道路的坎坷，要成为一个
3、伟人或做成一件大事是多么的不容易！,例1.4.6（抽样问题）罐中有a个红球、b个黑球，每次随机的任 取一球，取后返回，同时加进c个同色球和d个异色球，若 连续从罐中取三次，求取出两个红球和一个黑球的概率？,从上面的三项计算中可看出，概率与黑球在第几次被抽有关。,1、当 c=，时；,无返回抽样，前次抽取结果影响后次抽去结果。,但只要抽取红球和黑球的个数确定，概率与红黑球出现的次序无关。,2、当，时，,有返回抽样，前次抽取结果不影响后次抽去结果。,为无返回抽样,为有返回抽样。,此模型称为波利亚（Polya)模型，有下列各种变化,每次取出球后，就会增加下一次取出同色球的概率。,每次发生了事故（红球取
4、出），安全工作就会抓的紧一些，下次出现事故的概率就减少了。,全概率公式计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。,综合运用,加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥,乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0,三、全概率公式,若事件A的发生是由多种原因之一所引起的，则事件A发生可能性的大小是由各原因自所占的“地位”及其“内部素质”所决定,例1.4.7袋中有5球，3新2旧，从中任取一球，无 返回的取两次，求第二次取得新球的概率？,例.15.7某厂甲乙丙三个车间生产同种产品，其产量分别为总产的 50%，30%，20%。在生产中各自出现次品的概率分别为 0.
5、05 0.03 0.01 此产品放在同一库中。,=0.03,=0.01,乙中3%,丙中1%,甲中5%,现在，我们对例7再提出一个问题：若取一件产品发现是次品，问这件产品是哪个车间生产的可能性大？,同理,也即是说，总的次品中：69.4%是甲生产的25%是乙生产的 5.6%是丙生产的,四、Bayes公式,贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因.,例1.4.8、8支步枪中有5支已校准过,3支未校准。一名射手用校准 过的枪射击时,中靶的概率为0.8;用未校准的枪射击时,中靶的概率为0.3。现从8支枪中任取一支用于射击,求（1）击中目标的概率？（2）结果中靶，
6、所用的枪是校准过的概率。,设A=射击时中靶,B1=使用的枪校准过,B2=使用的枪未校准,解:,例1.4.9 盒内有12个乒乓球，其中9新3旧，第一次任取3个使用，用后放回，第二次任取3个使用，求第二次用球全新的概 率？若第二次用球全新，问第一次用球也全新的概率？,例 1.4.9 某地区居民的肝癌发病率为0.000.4，用甲胎蛋白进行 普查，医学研究表明，化验结果可能会出现错误，已知患有 肝癌的人化验结果99%呈阳性，没有患有肝癌的人，其结果 99.9%的呈阴性，现某人化验结果为阳性，问他患肝癌的概率？,“患肝癌”和“呈阳性”哪一个是原因？哪一个是结果？,如果我们把检查结果呈阳性的人群再进行一次
7、复检，若再次呈阳性，则可能患肝癌的概率，由逆概公式得：,这样用甲胎蛋白法检查肝癌的精确度就大大提高了。,乍一看，不切合实际！,事实上，这是普查中所有呈现阳性的人群，其中28.4%的可能患肝癌。,医生初步诊断某病人可能患肝癌，再令其做血液检查，若呈阳性，则患肝癌的可能性是相当大的。,二者考虑问题的空间是不一样的,例1.5.11 伊索寓言“孩子与狼”讲的是一个小孩每天上山放羊，山上可能有狼出 没，第一天他在山上喊“狼来了”，山下村民闻声山上打狼，发现狼没有来，第二天仍如此，第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没有人上山 救他，因为村民不相信他了，试分析小孩的可信度是怎样下降的？,解：分析：令
8、 A=“小孩说谎”，B=“小孩可信”。,在平时生活中，一个人说谎多了，会使人们对他产生不信任。所以A是原因，B是结果。,而在此问题中，小孩的可信度（B）是引起村民是否上山的原因。,可信度高，村民认为他没说谎，（A不发生）就上山,可信度低，村民认为他说谎，（A发生）就不上山,假设：村民平时对此小孩的印象（可信度）P（B）=0.8，,村民们习惯评判标准为：,“是谎言才使世界显得格外美丽”。,“不说谎话办不成大事”。,因为我们研究的是可信度，所以要用逆概公式,第一次村民上山打狼，发现狼没有来，即小孩说谎（A发生），村民对小孩的可信度改变为：,小孩第一天说了谎，可信度由0.8下降到0.444，,第二天
9、说了谎，可信度下降到0.138,第二次村民上山打狼，发现狼没有来，即小孩说谎（A发生），村民对小孩的可信度改变为：,村民经过两次上当，对此小孩的可信度降到0.138，如此低的可信度，当村民听到第三次呼叫时，认为他还是撒谎，就不会上山了。,可见诚信之重要！,例1.5.14（敏感性问题调查）求学生中有阅读黄色书籍 或观看黄色影像行为的比例？,解：设置 问题A：你的生日是在7月1日之前？,问题B：你是否看过黄色书籍或影像？,将两个问题制成形同内容不同的两种签，各n个。在每支签上提供两个答案“是”和“不是”。,操作：1、被调查者在没有旁人在场的情况下，单独回答问题。,2、被调查者任意抽出一支签，如实地回答签上提出的问题，用笔在签上对提供的答案打“勾”。,假设共调查了m 个人，其中回答“是”的有k 人。,即认为被调查人群众回答“是”的概率为,另一方面，带有“是”的签来自问题A和B，而A、B又构成完备事件组。,？,抽得B签的人是学生的一部分，由调查原则可得；,学生中看黄色书籍或影像的比率,
