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1、应用多元统计分析,第二章部分习题解答,2,第二章 多元正态分布及参数的估计,2-1 设3维随机向量XN3(,2I3)，已知,试求Y=AX+d的分布.,解:利用性质2,即得二维随机向量YN2(y,y),其中：,3,第二章 多元正态分布及参数的估计,2-2 设X=(X1,X2)N2(,)，其中,（1）试证明X1+X2 和X1-X2相互独立.（2）试求X1+X2 和X1-X2的分布.,解:(1)记Y1 X1+X2(1,1)X,Y2 X1-X2(1,-1)X，利用性质2可知Y1,Y2 为正态随机变量。又,故X1+X2 和X1-X2相互独立.,4,第二章 多元正态分布及参数的估计,或者记,由定理2.3.
2、1可知X1+X2 和X1-X2相互独立.,5,第二章 多元正态分布及参数的估计,(2)因,6,第二章 多元正态分布及参数的估计,2-3 设X(1)和X(2)均为p维随机向量,已知,其中(i)(i1，2)为p维向量,i(i1，2)为p阶矩阵，(1)试证明X(1)+X(2)和X(1)-X(2)相互独立.(2)试求X(1)+X(2)和X(1)-X(2)的分布.,解:(1)令,7,第二章 多元正态分布及参数的估计,由定理2.3.1可知X(1)+X(2)和X(1)-X(2)相互独立.,8,第二章 多元正态分布及参数的估计,(2)因,所以,注意:由D(X)0,可知(1-2)0.,9,第二章 多元正态分布及
3、参数的估计,2-11 已知X=(X1,X2)的密度函数为,试求X的均值和协方差阵.,解一:求边缘分布及Cov(X1,X2)=12,10,第二章 多元正态分布及参数的估计,类似地有,11,第二章 多元正态分布及参数的估计,0,12,第二章 多元正态分布及参数的估计,所以,故X=(X1,X2)为二元正态分布.,13,第二章 多元正态分布及参数的估计,解二:比较系数法 设,比较上下式相应的系数,可得:,14,第二章 多元正态分布及参数的估计,故X=(X1,X2)为二元正态随机向量.且,解三:两次配方法,15,第二章 多元正态分布及参数的估计,即,设函数 是随机向量Y的密度函数.,16,第二章 多元正
4、态分布及参数的估计,(4)由于,故,(3)随机向量,17,第二章 多元正态分布及参数的估计,2-12 设X1 N(0,1),令,证明X2 N(0,1);证明(X1,X2)不是二元正态分布.,证明(1):任给x,当x-1时,当x1时,18,第二章 多元正态分布及参数的估计,当-1x1时,(2)考虑随机变量Y=X1-X2,显然有,19,第二章 多元正态分布及参数的估计,若(X1,X2)是二元正态分布,则由性质4可知,它的任意线性组合必为一元正态.但Y=X1-X2 不是正态分布,故(X1,X2)不是二元正态分布.,20,第二章 多元正态分布及参数的估计,2-17 设XNp(,),0,X的密度函数记为
5、f(x;,).(1)任给a0,试证明概率密度等高面 f(x;,)=a是一个椭球面.(2)当p=2且(0)时，,概率密度等高面就是平面上的一个椭圆，试求该椭圆的方程式，长轴和短轴.,证明(1):任给a0,记,21,第二章 多元正态分布及参数的估计,令,则概率密度等高面为,(见附录5 P390),22,第二章 多元正态分布及参数的估计,故概率密度等高面 f(x;,)=a是一个椭球面.,(2)当p=2且(0)时,由,可得的特征值,23,第二章 多元正态分布及参数的估计,i(i=1,2)对应的特征向量为,由(1)可得椭圆方程为,长轴半径为 方向沿着l1方向(b0);,短轴半径为 方向沿着l2方向.,24,第二章 多元正态分布及参数的估计,2-19 为了了解某种橡胶的性能，今抽了十个样品，每个测量了三项指标：硬度、变形和弹性，其数据见表。试计算样本均值，样本离差阵，样本协差阵和样本相关阵.,解：,25,第二章 多元正态分布及参数的估计,
